湖南省长沙市长郡教育集团联考2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-13 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）

1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，属于轴对称的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $b^{3} \cdot b^{3} = 2 b^{3}$ B、 ${(a b^{2})}^{3} = a^{3} b^{6}$ C、 $a^{10} \div a^{2} = a^{5}$ D、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$

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3. 根据携程发布的《2024年元旦跨年旅游报告》显示：星城长沙上榜2024年元旦跨年热门旅游目的地.元旦假期，长沙市接待游客超过6000000人次.6000000用科学记数法表示应为（）

A、 $0.6 \times 1 0^{7}$ B、 $6 \times 1 0^{7}$ C、 $6 \times 1 0^{6}$ D、 $6 \times 1 0^{5}$

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4. 下列属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{9}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{0.5}$ D、 $\sqrt{4 a}$

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5. 如果 $x^{2} + 6 x + m$ 是一个完全平方式，则 $m$ 的值是（）

A、3 B、9 C、6 D、-9

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6. 把分式 $\frac{x y}{x + y}$ 中的 $x$ 和 $y$ 都扩大10倍，则分式的值（）

A、扩大10倍 B、扩大100倍 C、缩小为 $\frac{1}{10}$ D、不变

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7. 等腰三角形的周长为 $13 c m$ ，其中一边长为 $3 c m$ ，则该等腰三角形的腰长为（）

A、 $5 c m$ B、 $3 c m$ C、 $5 c m$ 或 $3 c m$ D、 $7 c m$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B$ 为直角， $∠ A = 30 °$ ， $C D ⊥ A B$ 于 $D$ ，若 $B D = 1$ ，则 $A B$ 的长度是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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9. 某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设原计划每天植树x棵．则下列方程正确的是（）

A、 $\frac{400}{x - 50} = \frac{300}{x}$ B、 $\frac{300}{x - 50} = \frac{400}{x}$ C、 $\frac{400}{x + 50} = \frac{300}{x}$ D、 $\frac{300}{x + 50} = \frac{400}{x}$

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10. 如图，已知 $∠ A O B = 120 °$ ，点 $D$ 是 $∠ A O B$ 的平分线上的一上定点，点 $E$ ， $F$ 分别在射线 $O A$ 和射线 $O B$ 上，且 $∠ E D F = 60 °$ .下列结论：① $△ D E F$ 是等边三角形；②四边形 $D E O F$ 的面积是一个定值；①当 $D E ⊥ O A$ 时， $△ D E F$ 的周长最小；④当 $D E ∥ O B$ 时， $D F$ 也平行于 $O A$ .其中正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）

11. 计算： $\sqrt{50} - \sqrt{8} =$ .

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12. 若代数式 $\sqrt{2 x - 3}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围为.

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13. 平面直角坐标系中，点 $(3 ， - 6)$ 关于 $x$ 轴的对称点的坐标是.

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， ∠ B = 30 °$ ， DE垂直平分AB ，分别交BC ， AB于点D ， E ，若 $A D = 2$ ，则 $B C =$ ．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线， $D E ⊥ A B$ ，垂足为 $E$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足为 $F$ ，若 $A B = 5$ ， $A C = 3$ ， $D F = 1$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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16. 若代数式 $2 a^{2} + 3 a + 1$ 的值为6，则代数式 $6 a^{2} + 9 a + 5$ 的值为.

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三、解答题（本题共9个小题，共72分）

17. 分解因式：

(1)、 $x^{2} - 4 y^{2}$ ；

(2)、 $3 a^{2} + 6 a b + 3 b^{2}$ .

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18. 计算下列各式：

(1)、 $\frac{1}{a - 2} - \frac{4}{a^{2} - 4}$ ；

(2)、 $(\frac{x}{x + 1} - 1) \div \frac{1}{x^{2} + x}$ .

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19. 解下列分式方程：

(1)、 $\frac{1}{x - 2} = \frac{1 - x}{2 - x} - 3$ ；

(2)、 $\frac{x}{x - 1} - \frac{2 x - 1}{x^{2} - 1} = 1$ .

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20. 先化简，再求值： $\frac{x}{x^{2} - 2 x + 1} \div (\frac{x + 1}{x^{2} + 1} + 1)$ ，其中 $x = \sqrt{2} + 1$ .

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21. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ，且点 $D$ 在线段 $B C$ 上，连 $C E$ .

(1)、求证： $△ A B D ≅ △ A C E$ ；

(2)、若 $∠ E A C = 60 °$ ，求 $∠ C E D$ 的度数.

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = A C$ ， $D$ 是 $A B$ 边上的一点， $C D = 3$ ， $B C = \sqrt{10}$ ， $B D = 1$ .

(1)、求证： $△ B C D$ 是直角三角形；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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23. 某商店购进 $A$ ， $B$ 两种商品，购进一个 $A$ 商品比购买一个 $B$ 商品少10元，并且花费100元购买的 $A$ 商品和花费300元购进的 $B$ 商品的数量相等.

(1)、求购买一个 $A$ 商品和 $B$ 商品各需要多少元；

(2)、商店准备购进 $A$ ， $B$ 两种商品共80件，若 $B$ 商品的数量不少于 $A$ 商品的4倍，并且购买 $A$ ， $B$ 商品的总费用不低于1000且不高于1100，那么商店有几种购买方案？

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24. 我们规定：在最简分式中，分子、分母都是各项系数为整数的整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式.例如，分式 $\frac{4}{x + 2}$ ， $\frac{3 x^{2}}{x^{3} - 4 x}$ 是真分式.如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式.例如，分式 $\frac{x + 1}{x - 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x + 1}$ 是假分式.一个假分式 $M$ 与一个真分式 $N$ 的和为整式，则称 $M$ 与 $N$ 互为“和整分式”.

(1)、已知：下列分式与假分式 $P = \frac{2 x - 7}{x - 3}$ 互为“和整分式”的是.
① $\frac{1}{x + 3}$ ；② $\frac{1}{x - 3}$ ；③ $\frac{7}{x - 3}$ .

(2)、若假分式 $M = \frac{2 x^{2} - 3 x - 4}{x - 1}$ ，存在一个真分式 $N$ 与 $M$ 互为“和整分式”.
①求真分式 $N$ ；②当 $M + N = 0$ 时，求 $M$ 的值.

(3)、若 $A$ 与 $B$ 均与真分式 $\frac{2}{x - 2}$ 互为“和整分式”，直接写出当整数 $x$ 为何值时，分式 $A + B$ 的值为整数.

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25. 如图1，点 $P$ 为 $△ A B C$ 的外角 $∠ B C D$ 的平分线上一点， $P A = P B$ ， $P E ⊥ B C$ 于 $E$ .

(1)、求证： $∠ P A C = ∠ P B C$ ；

(2)、若 $∠ A P B = 90 °$ ，连接 $A E$ ， $S_{△ A C P} = 2 S_{△ A E P}$ ， $P B = 2$ ，求 $P C$ 的长度；

(3)、如图2，若 $M$ ， $N$ 分别是边 $A C$ ， $B C$ 上的点，且 $2 ∠ M P N = ∠ A P B$ ，求证： $B N = A M + M N$ .

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