湖南省岳阳市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-13 类型：期末考试

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一、选择题．（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 64的立方根是（　　）

A、4 B、±4 C、8 D、±8

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2. 下列分式中，是最简分式的是（）

A、 $\frac{x y}{2 x^{2}}$ B、 $\frac{x - 1}{x^{2} - 1}$ C、 $\frac{x + y}{x}$ D、 $\frac{1 - x}{x - 1}$

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3. 若 $a < b$ ，则（　）

A、 $a - 2 c > b - 2 c$ B、 $a - 2 c \geq b - 2 c$ C、 $a - 2 c < b - 2 c$ D、 $a - 2 c \leq b - 2 c$

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4. 不改变分式的值，将分式 $\frac{0.02 x + 0.5 y}{x + 0.004 y}$ 中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（）

A、 $\frac{20 x + 500 y}{1000 x + 4 y}$ B、 $\frac{20 x + 500 y}{100 x + 4 y}$ C、 $\frac{2 x + 50 y}{1000 x + 4 y}$ D、 $\frac{2 x + 5 y}{x + 4 y}$

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5. 下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{3}$ 与 $\sqrt{8}$ C、 $\sqrt{5}$ 与 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{12}$ 与 $2 \sqrt{3}$

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6. 下列各式计算正确的是（　）

A、 $\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3} = 5 \sqrt{5}$ C、 $4 \sqrt{3} \div 2 \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{3} = 6 \sqrt{6}$

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7. 下列说法错误的是（）

A、有一个角是 $6 0^{∘}$ 的等腰三角形是等边三角形 B、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 C、等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合 D、三个角都相等的三角形是等边三角形

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8.
如图，已知△ABC中，AC＜BC，分别以点A、点B为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AB长为半径作弧，两弧交于点D、点E；作直线DE交BC边于点P，连接AP．根据以上作图过程得出下列结论，其中不一定正确的是（　　）

A、PA+PC=BC B、PA=PB C、DE⊥AB D、PA=PC

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9. 对于a、b定义 $a ★ b = \frac{1}{a - b^{2}}$ ，已知分式方程 $x ★ (- 1) = \frac{x}{3 - 3 x}$ 的解满足不等式 $(2 - a) x - 3 > 0$ ，则a的取值范围是（）

A、 $a < 1$ B、 $a > 1$ C、 $a < 3$ D、 $a > 3$

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10. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 2 ， ∠ B A C = 90 °$ ，直角 $∠ E P F$ 的顶点P是 $B C$ 的中点，两边 $P E ， P F$ 分别交 $A B ， A C$ 于点E ， F ，给出以下四个结论：① $A E = C F$ ；② $△ E P F$ 是等腰直角三角形；③ $S_{四边形 A E P F} = \frac{1}{2} S_{△ A B C}$ ；④ $P F$ 的最小值为1．上述结论正确的有（）个

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题．（本题共6小题，每小题3分，满分18分）

11. 分式 $\frac{x + 2}{2 x - 4}$ 的值为 $0$ ，则 $x =$ ．

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12. 若式子 $\sqrt{4 - 2 x}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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13. 如图， $B P$ 是 $△ A B C$ 中 $∠ A B C$ 的平分线， $C P$ 是 $∠ A C B$ 的外角的平分线，如果 $∠ A B P = 20 ° ，$ $∠ A C P = 50 °$ ，则 $∠ A =$ ．

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14. 若关于x的不等式组 ${\begin{matrix} 2 x + 1 < 3 \\ 6 (x - m) \geq 3 + 4 x \end{matrix}$ 只有3个整数解，则m的取值范围是．

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15. 关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2 - m x}{2 - x} - \frac{6}{x - 2} = 1$ 的解为非负数，则 $m$ 的取值范围．

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16. 大家知道 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是可以用 $\sqrt{2} - 1$ 来表示 $\sqrt{2}$ 的小数部分（因为 $\sqrt{2}$ 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分）．
⑴如果 $\sqrt{7}$ 的小数部分为 $a$ ， $\sqrt{11}$ 的整数部分为 $b$ ，求 $a + b - \sqrt{7}$ 的值．
⑵已知： $21 + \sqrt{10} = x + y$ ，其中x是整数，且 $0 < y < 1$ ，求 $x - y$ 的相反数．

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三、解答题．（本题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 计算：

(1)、 $- 1^{2024} + \sqrt{12} + \sqrt[3]{27} + | \sqrt{3} - 2 |$ ；

(2)、 $| - 7 | + {(- \frac{1}{4})}^{- 1} + (π - 3.14)^{0} - {(\frac{1}{3})}^{- 2}$ ．

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18. 若 $a = \sqrt{5} + 2 ， b = \sqrt{5} - 2$ ．

(1)、求 $a^{2} - b^{2}$ ．

(2)、求 $a^{3} b + a b^{3}$ ．

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19. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 4 x > 2 x - 6 \\ \frac{x - 1}{3} \leq \frac{x + 1}{9} \end{array}$ ，并把解集在数轴上表示出来.

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20. 小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚： $\frac{?}{x - 2} + 3 = \frac{1}{2 - x}$ .

(1)、她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；

(2)、小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是 $x = 2$ ，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？

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21. 如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上．

(1)、求证：△AEC≌△BED．

(2)、若∠1＝40°，求∠BDE的度数．

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22. 如图，AD与BC相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AB、CD、EF，给出以下四个等量关系：① $∠ A = ∠ C$ ，② $O A = O C$ ，③ $∠ B = ∠ D$ ，④ $O E = O F$ .请你以其中两个为条件，另两个中的一个为结论，组成一个真命题，并证明.

(1)、条件：，结论：；（填序号）

(2)、写出你的证明过程.

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23. 某校决定组织学生开展校外拓展活动，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示．学校计划此次拓展活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．
客车
甲种
乙种
载客量/（人/辆）
30
42
租金（元/辆）
300
400

(1)、参加此次拓展活动的老师有多少人？参加此次拓展活动的学生有多少人？

(2)、既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为多少辆．

(3)、你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．

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24. 阅读下面解题过程．
例：化简 $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{1}}$ ．
解： $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{1}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{1}}{(\sqrt{2} + \sqrt{1}) \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{1})} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{1}}{(\sqrt{2})^{2} - (\sqrt{1})^{2}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{1}}{1} = \sqrt{2} - 1$ ．
请回答下列问题．

(1)、归纳：请直接写出下列各式的结果：① $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} =$ ；② $\frac{1}{\sqrt{11} - \sqrt{10}} =$ ．

(2)、应用：化简 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2022}}$ ．

(3)、拓展： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2 n + 1} + \sqrt{2 n - 1}} =$ ．含 $n$ 的式子表示， $n$ 为正整数）

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25.

(1)、观察推理：如图1，△ABC中，∠ ACB=90°，AC=BC ，直线l过点C ，点A、B在直线l同侧， BD⊥ l ， AE⊥ l ，垂足分别为D、E ．求证：△AEC≌△CDB；

(2)、类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至A $B^{^{'}}$ ，连接 $B^{^{'}}$ C ，求△A $B^{^{'}}$ C的面积．

(3)、拓展提升：如图3，等边△EBC中，EC=BC=6cm，点O在BC上，且OC=4 cm，动点P从点E沿射线EC以1 cm/s速度运动，连结OP ，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF ．要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间ts ．

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客车	甲种	乙种
载客量/（人/辆）	30	42
租金（元/辆）	300	400