湖南省衡阳市衡东县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-13 类型：期末考试

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一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 在下列二次根式中，与 $\sqrt{2}$ 是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{18}$

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2. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 3 = 0$ 配方后得到的方程是（）

A、 $(x + 3)^{2} = 6$ B、 $(x - 3)^{2} = 6$ C、 $(x + 6)^{2} = 12$ D、 $(x - 6)^{2} = 12$

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3. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（）

A、守株待兔 B、水中捞月 C、水滴石穿 D、百步穿杨

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4. 在平面直角坐标系中，将二次函数 $y = x^{2}$ 的图像向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（）

A、 $y = (x + 3)^{2} - 1$ B、 $y = {(x + 3)}^{2} + 1$ C、 $y = {(x - 3)}^{2} - 1$ D、 $y = {(x - 3)}^{2} + 1$

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5. 如图，直线 $a ∥ b ∥ c$ ，它们依次交直线m、n于点A、B、C和D、E、F ，已知 $A B = 3 ， B C = 6 ， D E = 2$ ，那么EF等于（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，已知 $∠ B = ∠ A C D$ ，那么补充下列条件后不能判定 $△ A B C$ 和 $△ A C D$ 相似的是（）

A、 $C A$ 平分 $∠ B A D$ B、 $∠ B C A = ∠ D$ C、 $\frac{A B}{A C} = \frac{B C}{C D}$ D、 $\frac{A B}{A C} = \frac{A C}{A D}$

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7. 如图，点A ， B ， C在 $⊙ O$ 上， $∠ B A C = 52 °$ ，则 $∠ B O C$ 的度数为（）

A、 $26 °$ B、 $94 °$ C、 $104 °$ D、 $114 °$

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8. 下列关于二次函数 $y = {(x - 2)}^{2} - 4$ 的说法正确的是（）

A、图象是一条开口向下的抛物线 B、对称轴是直线 $x = - 2$ C、图象的顶点坐标是 $(2 ， - 4)$ D、当 $x > 2$ 时，y随x增大而减小

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9. 已知圆 $O$ 的圆心到直线 $l$ 的距离是一元二次方程 $x^{2} - x - 6 = 0$ 的一个根，若圆 $O$ 与直线 $l$ 相离，圆 $O$ 的半径可取的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 南沙群岛是我国固有领土，我南海渔民要在南沙某海岛A附近进行捕鱼作业，从位于海岛A的南偏东 $30 °$ 方向、距离海岛50海里的B处出发，沿正北方向航行一段时间后，到达位于海岛A的东北方向上的C处，则渔船航行的距离为（）．

A、 $25 \sqrt{2}$ 海里 B、 $25 \sqrt{3}$ 海里 C、 $25 (\sqrt{2} + 1)$ 海里 D、 $25 (\sqrt{3} + 1)$ 海里

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二、填空题（每小题3分，共18分）

11. 若 $\sqrt{x - 5}$ 有意义，则x的取值范围是．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别是边 $A B$ ， $B C$ 的中点，若 $D E$ 的长是3，则 $A C =$ ．

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13. 若一元二次方程 $x^{2} - （ a + 2) x + 2 a = 0$ 的两个实数根分别是3、b ，则 $a - b =$ ．

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14. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是线段 $A B$ 上一点，连结 $A C$ 、 $D E$ 交于点 $F$ .若 $\frac{A E}{E B} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{S_{△ A D F}}{S_{△ A E F}} =$ .

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15. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线交于点O ，过点D作 $D H ⊥ A B$ 于点H ，连接 $O H$ ．若 $A C = 8$ ，菱形 $A B C D$ 的面积为24，则 $s i n ∠ D H O =$ ．

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16. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与一次函数 $y = m x + n$ 的图象相交于A ， B两点，已知点A的横坐标为 $- 2$ ，点B的横坐标为3，二次函数图象的对称轴是直线 $x = 1$ ．下列结论：① $a b c < 0$ ；② $3 a + c < 0$ ；③关于x的不等式 $a x ² + b x + c > m x + n$ 的解集为 $- 2 < x < 3$ ；
④ $a t^{2} + b t \geq a + b$ （t为任意实数）．其中正确的是．（只填写序号）

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三、解答题（共72分）

17. 计算： $| - 3 | + \sqrt{2} \times \sqrt{6} + {(2024 - π)}^{0} - 2 t a n 60 °$ ．

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18. 2023年国际乒联混合团体世界杯于2023年12月4日在成都举行．现有三张不透明的卡片，其中一张卡片的正面图案为会徽，另外两张卡片的正面图案都为吉祥物大熊猫“乒乒”，卡片除正面图案不同外其余均相同，将这三张卡片背面向上并搅匀．

(1)、小明从中随机抽取一张，“抽到卡片的正面图案是乒乒”的概率是；

(2)、小亮从中随机抽取一张，记下卡片上的图案后不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小亮抽到的两张卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的概率．（图案为会徽的卡片记为A ，图案为吉祥物“乒乒”的两张卡片分别记为 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ ）

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19. 如图，矩形 $A B C D$ 中，P为 $B C$ 上一点， $D P ⊥ P E$ 交 $D A$ 的延长线于点E ．

(1)、求证： $△ D C P ∽ △ E P D$ ；

(2)、若 $C D = 4 ， P C = 3$ ，求 $D E$ 的长．

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20. 已知关于x的一元二次方程 $（ m - 3) x^{2} - 2 m x + m + 3 = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个不相等的实数根．

(2)、当 $m = 4$ 时，求此时方程的根．

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21. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，点 $C ， M$ 是 $⊙ O$ 上的点，且 $O M ∥ B C$ ， $A C$ 分别与 $O M ， B M$ 相交于点E ， F ．

(1)、求证：点M为弧 $A C$ 的中点；

(2)、若 $M E = 2 ， A C = 8 ，$ 求圆O的半径．

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22. 每年10月至12月是永兴冰糖橙上市的最好季节．某果园2021年的冰糖橙销量为3万千克，2023年销量为 $4 ． 32$ 万千克，已知每年销量增长率a相等．

(1)、求销量增长率a；

(2)、某水果商以90元/箱从果园进货，再以100元/箱卖出，每周可以卖出100箱．该水果商想涨价销售，每箱每涨价1元，每周销量减少4箱．设每周销售冰糖橙获利W元，每箱涨价x元（水果商每周至少卖出80箱）．写出W（元）与涨价x（元/箱）之间的函数关系式；求出水果商每周销售冰糖橙利润W的最大值．

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23. 如图，某数学小组测量街阳三塔之一“来雁塔” $A B$ 的高度，在坡底D处测得测得塔顶A的仰角为 $45 °$ ，沿坡比为 $5 ： 12$ 的斜坡 $C D$ 前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为 $60 °$

(1)、求坡顶C到地面的距离：

(2)、计算来雁塔 $A B$ 的高度．

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24. 如图，已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于点 $A (- 3 ， 0)$ 和点B ，与y轴交于点 $C (0 ， 3)$ ，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A ，点C）．

(1)、求此二次函数的解析式；

(2)、如图1，连结 $P A ， P C$ ，求 $△ P A C$ 的面积的最大值；

(3)、如图2，过点P作x轴的垂线交于点D ，与 $A C$ 交于点Q ．探究是否存在点P ，使得以点P、C、Q为顶点的三角形与 $△ A D Q$ 相似?若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

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25. 定义：平面直角坐标系中有点 $P (m ， n)$ ，若点 $S (x ， y)$ 满足 $| x - m | \leq t$ 且 $| y - n | \leq t (> 0)$ ，则称点 $P (m ， n)$ 为中心点，点 $S$ 是点 $P$ 的 “ $t$ 界环绕点”．例如：对于中心点 $(1 ， 0)$ ，满足 $| x - 1 | \leq 3$ 且 $| y - 0 | \leq 3$ 的点，都是点 $(1 ， 0)$ 的“ $3$ 界环绕点”，这些环绕点组成的图形是一个边长为 $6$ 的正方形，中心点 $(1 ， 0)$ 是正方形的中心．

(1)、点 $(0 ， 0)$ 的“ $1$ 界环绕点”所组成的图形面积为；

(2)、直线 $y = k x + b (k \neq 0)$ 经过点 $E (4 ， 2)$ ．
①在其图象上，点 $(2 ， 3)$ 的“ $2$ 界环绕点”组成的线段长为 $\sqrt{17}$ ，求b的值；
②直线 $y = k x + b (k > b > 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 图象的交点横坐标为 $x_{1} ， x_{2}$ ，求 $| x_{1} - x_{2} |$ 的取值范围；

(3)、关于 $x$ 的二次函数 $y = {(x + 1)}^{2} - h$ （ $h$ 是常数），将它的图象 $M$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 得曲线 $L$ ，若 $M$ 与 $L$ 上都存在 $(1 ， 2)$ 的“1界环绕点”，直接写出 $h$ 的取值范围．

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