湖南省张家界市永定区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-13 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．）

1. 已知点 A（2 ，3）在双曲线 y= $\frac{k}{x}$ 上，则下列哪个点也在改双曲线上（）

A、（﹣1，6） B、（6，﹣1） C、（﹣2，﹣3） D、（﹣2，3）

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2. 如果 $a b = c d \neq 0$ ，则下列正确的是（）

A、 $a ： c = b ： d$ B、 $a ： d = c ： b$ C、 $a ： b = c ： d$ D、 $d ： c = b ： a$

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3. 某纺织厂从10万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么估计该厂这10万件产品中合格品约为（　　）

A、9.5万件 B、9万件 C、9500件 D、5000件

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4. 在 $△ A B C$ 中，若∠B=90°， $s i n A = \frac{1}{2}$ 则 $∠ C$ 的度数是（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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5. 2020年10月，新田县中小学生田径运动会，甲、乙、丙、丁四位运动员在“100米短跑”训练中，每人各跑5次，据统计，平均成绩都是13.8秒，方差分别是 $S_{甲}^{2}$ =0.11， $S_{乙}^{2}$ =0.03， $S_{丙}^{2} = 0.05$ ， $S_{丁}^{2} = 1.88$ ，则四人的训练成绩最稳定的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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6. 为执行国家药品降价政策，给人民带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由120元降为98元，设平均每次降价的百分率为x，则列方程得（）

A、 $120 {(1 - x)}^{2} = 98$ B、 $120 {(1 + x)}^{2} = 98$ C、 $98 {(1 + x)}^{2} = 120$ D、 $98 {(1 - x)}^{2} = 120$

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7. 定义一种新运算“ $m ※ n$ ”，对于任意实数m ， n ，则有 $m ※ n = m^{2} - 2 m n - 1$ ，如 $3 ※ 4 = 3^{2} - 2 \times 3 \times 4 - 1 = - 16$ ，若 $x ※ k = 0$ （k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）

A、只有一个实数根 B、有两个相等的实数根 C、有两个不相等的实数根 D、没有实数根

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8. 关于x的函数 $y = k x - k$ 和 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 在同一坐标系中的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，一段与水平面成30°角的斜坡上有两棵树，两棵树水平距离为 $6 \sqrt{3} m$ ，树的高度都是 $4 m$ ．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（） $m$ ．

A、 $6 \sqrt{3}$ B、8 C、11 D、12

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10. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，E为 $A B$ 上一点，且 $A E ： E B = 1 ： 2$ ， $A C$ 与 $D E$ 相交于点F ， $S_{△ A E F} = 2$ ，则 $S_{△ D F C} =$ （）.

A、4 B、8 C、12 D、18

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二、填空题（每小题3分，共24分）

11. 已知（m﹣1）x^|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=

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12. 若m是方程 $x^{2} + x - 2021 = 1$ 的一个根，则代数式 $m (m + 1)$ 的值等于．

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13. 设 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ，那么 $\frac{a + 2 b}{b} =$ ．

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14. 已知线段 $A B$ 的长度为2，点C为线段 $A B$ 上的黄金分割点 $(A C > B C)$ ，则 $A C$ 的长度为．

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15. 在 $△ A B C$ 中， ${(\sqrt{3} t a n A - 3)}^{2} + | 2 c o s B - 1 | = 0$ ，则 $△ A B C$ 为三角形．

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16. 如图，一艘轮船在小岛A的北偏东 $60 °$ 方向距小岛 $80$ 海里的B处，沿正西方向航行4小时后到达小岛的北偏西 $45 °$ 的C处，则该船行驶的速度为海里/小时．

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17. 如图，已知点A、B分别在反比例函数y＝﹣ $\frac{3}{x}$ （x＜0）与y＝ $\frac{6}{x}$ （x＞0）图象上，且OA⊥OB ，若AB＝6，则△AOB的面积为．

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18. 如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝16，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个长度单位的速度向点B运动：同时点Q从点C出发，沿CA方向以每秒3个长度单位的速度向点A运动，其中一点到达终点，则另一点也随之停止运动，当△ABC与以A、P、Q为顶点的三角形相似时，运动时间为秒.

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三、解答题（共66分）

19. 计算： $\sqrt{2} s i n 45 ° + 202 3^{0} \times t a n 60 ° - 2 c o s 60 °$ ．

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20. 解方程

(1)、 $(x + 1)^{2} = 16$

(2)、 $x^{2} + 6 x - 2 = 0$

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21. 已知 $T = {(a + 3 b)}^{2} + (a + 3 b) (a - 3 b) + a^{2} + 3 b^{2}$ ．

(1)、化简 $T$ ；

(2)、若 $a$ 、 $b$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的两个实数根，求 $T$ 的值．

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22. 如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°．

(1)、求证：△ABP∽△PCD；

(2)、若PC=2，求CD的长．

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23. 杭州亚运会吉祥物穿越时空，怀揣梦想，抒体育之欢畅，亮文化之灿烂，树经济之标杆，是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人．某超市销售一种亚运会吉祥物挂件，每套进价为40元，如果按每套60元销售，每周可售出60套，通过市场调查发现，每套挂件的售价每降低1元，每周的销售量将增加20套．

(1)、每套亚运会吉祥物挂件的售价降低多少元时，该超市平均每周能盈利2400元？

(2)、该超市平均每周销售这种亚运会吉祥物挂件的盈利能达到3000元吗？请说明你的理由．

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24. 如图，在平面直角坐标系中， $△ O A B$ 的顶点坐标分别为 $O (0 ， 0)$ ， $A (2 ， 1)$ ， $B (1 ， - 2)$

(1)、以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将 $△ O A B$ 放大为原来的2倍得到的 $△ O A_{1} B_{1}$ ，请写出点A的对应点 $A_{1}$ 的坐标；

(2)、画出将 $△ O A B$ 向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的 $△ O_{2} A_{2} B_{2}$ ，写出点B的对应点 $B_{2}$ 的坐标；

(3)、请在图中标出 $△ O A_{1} B_{1}$ 与 $△ O_{2} A_{2} B_{2}$ 的位似中心M，并写出点M的坐标．

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25. 某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下体育活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项，为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题：

(1)、这次活动一共调查了多少名学生？

(2)、补全条形统计图；

(3)、在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于多少度？

(4)、若该学校有2000人，请你估计该学校选择羽毛球项目的学生人数．

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26. 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点 $D$ ， $B$ ， $O$ 在同一直线上， $D O$ 可绕着点 $O$ 旋转， $A B$ 为云梯的液压杆，点 $O$ ， A ， $C$ 在同一水平线上，其中 $B D$ 可伸缩，套管 $O B$ 的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆 $A B = 3 m$ ， $∠ B A C = 53 °$ ， $∠ D O C = 37 °$ ．

(1)、求 $B O$ 的长．

(2)、消防人员在云梯末端点 $D$ 高空作业时，将 $B D$ 伸长到最大长度 $6 m$ ，云梯 $D O$ 绕着点 $O$ 顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了 $3 m$ ，求云梯 $O D$ 旋转了多少度．（参考数据： $s i n 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $s i n 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $t a n 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ， $s i n 64 ° \approx 0.90$ ， $c o s 64 ° \approx 0.44$ ）

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