湖南省株洲市炎陵县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-13 类型：期末考试

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一、选择题．

1. 反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 经过点 $(- 1 ， - 4)$ ，则反比例函数的解析式为（　　）

A、 $y = - 4 x$ B、 $y = \frac{4}{x}$ C、 $y = - \frac{4}{x}$ D、 $y = 4 x$

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2. 下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（）

A、4cm，5cm，6cm，7cm B、3cm，4cm，5cm，8cm C、5cm，15cm，3cm，9cm D、8cm，4cm，1cm，3cm

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3. 用配方法解方程 $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ ，配方正确的是（　　）

A、 $(x + 2)^{2} = 2$ B、 $(x - 2)^{2} = 2$ C、 $(x - 2)^{2} = - 2$ D、 $(x - 2)^{2} = - 6$

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4. 如果 $△ A B C$ 中， $s i n A = c o s B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则下列结论正确的是（　　）

A、 $△ A B C$ 是等边三角形 B、 $△ A B C$ 是钝角三角形 C、 $△ A B C$ 是等腰直角三角形 D、 $△ A B C$ 是锐角三角形

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5. 益阳市高新区某厂今年新招聘一批员工，他们中不同文化程度的人数见下表：
文化程度
高中
大专
本科
硕士
博士
人数
9
17
20
9
5
关于这组文化程度的人数数据，以下说法正确的是：（）

A、众数是20 B、中位数是17 C、平均数是12 D、方差是26

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6. 把抛物线y=x²向左平移2个单位得到的抛物线是（　　）

A、y=（x+2）² B、y=（x﹣2）² C、y=x²+2 D、y=x²﹣2

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7. 某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1560份留言，如果全班同学有x名学生，根据题意可列方程为（　　）

A、 $x (x - 1) = 1560$ B、 $x (x + 1) = 1560$ C、 $\frac{x (x - 1)}{2}$ =1560 D、 $\frac{x (x + 1)}{2}$ =1560

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8. 如图所示，过反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 在第一象限内的图象上任意两点 $A$ ， $B$ ，分别作 $x$ 轴的垂线，垂足分别为 $C$ ， $D$ ，连接 $O A$ ， $O B$ ，设 $△ A O C$ 与 $△ B O D$ 的面积为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，那么它们的大小关系是（　　）

A、 $S_{1} > S_{2}$ B、 $S_{1} = S_{2}$ C、 $S_{1} < S_{2}$ D、不能确定

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9. 如图，点A ， B ， C在 $⊙ O$ 上，若 $∠ C = 110 °$ ，则 $∠ A O B$ 等于（　　）

A、 $100 °$ B、 $70 °$ C、 $120 °$ D、 $140 °$

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10. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，图像与 $x$ 轴的一个交点是 $- 1$ ，对称轴是直线 $x = 1$ ，下列结论正确的为（　　）
① $a b c > 0$ ；② $3 a + c > 0$ ；③ $a + b + c = 0$ ；④ $a + b \leq m (a m + b$ )（ $m$ 为实数）

A、①④ B、②③④ C、①②④ D、①②③④

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二、填空题．

11. 若△ABC∽△A′B′C′，且 $\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{3}{4}$ ， △ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为.

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12. 已知 $\frac{y}{x} = \frac{3}{5}$ ，那么 $\frac{x - y}{x + y} =$ ．

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13. 在△ABC中，若 $|tan A - 1 |$ + ${(\frac{\sqrt{3}}{2} - cos B)}^{2} = 0$ ，则∠C的度数为.

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14. 已知 $m$ ， $n$ （ $m \neq n$ ）是一元二次方程 $x^{2} + x - 2023 = 0$ 的两个实数根，则代数式 $m^{2} + 2 m + n$ 的值为．

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15. 如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度 $i = 1 ： 2$ ，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为米.

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16. 若二次函数 $y = x^{2} - 6 x + a$ （a为常数）与x轴没有交点，则a的取值范是．

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17. 如图所示，设C为反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上一点，且长方形 $A O B C$ 的面积为5，则这个反比例函数的解析式为．

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18. 如图， $A$ B是 $⊙ O$ 的弦， $O C ⊥ A B$ ，交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，连接 $O A$ ， $O B$ ， $B C$ ．若 $∠ A B C = 20 °$ ，则 $∠ A O B$ 的度数是．

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三、解答题．

19. 解方程．

(1)、 $2 (x - 5) = 3 x (x - 5)$

(2)、 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$

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20. 计算 $\sqrt{12} - | 4 \sin 30^{°} - 2 \sqrt{3} | + {(- \frac{1}{12})}^{- 1}$ ．

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21. 如图，为了测量出楼房 $A B$ 的高度，从距离楼底 $B$ 处 $18 \sqrt{5}$ 米的点 $D$ （ $B D$ 为水平地面）出发，沿斜面坡度为 $i = 1 ： 2$ 的斜坡 $D C$ 前进30米到达点 $C$ ，在点 $C$ 处测得楼顶 $A$ 的仰角为 $53 °$ ．

(1)、求点 $C$ 到水平地面的距离．（计算结果用根号表示）

(2)、求楼房 $A B$ 的高度（参考数据： $s i n 53 ° \approx 0.8$ ， $c o s 53 ° \approx 0.6$ ， $t a n 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ， $\sqrt{5} \approx 2.236$ ，结果精确到0.1米）．

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22. 为提高公民法律意识，大力推进国家工作人员学法用法工作，今年暑假炎陵县教育局组织全县1350名教师参加“如法网”的法律知识考试，该县A学校参考教师的考试成绩绘制成如下统计图和统计表（满分100分，考试分数均为整数，其中最低分76分）
分数
人数
$85.5$ 以下
10
$85.5$ 以上
35
$96.5$ 以上
8

(1)、求A学校参加本次考试的教师人数；

(2)、若该县各学校的基本情况一致，试估计该县参考教师本次考试成绩在 $90.5$ 分以下的人数．

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23. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ $k g$ ，每日销售量y（ $k g$ ）与销售单价x（元/ $k g$ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于32元/ $k g$ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）．
x（元/ $k g$ ）
10
11
12
y（ $k g$ ）
4000
3900
3800

(1)、求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式并写出自变量的取值范围；

(2)、当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？

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24. 如图，点 $M (1 ， 3)$ 在函数 $y_{1} = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数 $y_{2} = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象于点B、C ．

(1)、求反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x}$ 、直线 $B C$ 的解析式；

(2)、求 $△ B M C$ 的面积．

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25. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC

(1)、求证：EF是⊙O的切线；

(2)、求证：AC²=AD·AB；

(3)、若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．

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26. 如图，已经抛物线经过点 $O (0 ， 0)$ ， $A (5 ， 5)$ ，且它的对称轴为 $x = 2$ .

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、若点 $B$ 是抛物线对称轴上的一点，且点 $B$ 在第一象限，当 $△ O A B$ 的面积为15时，求 $B$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下， $P$ 是抛物线上的动点，当 $P A - P B$ 的值最大时，求 $P$ 的坐标以及 $P A - P B$ 的最大值

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文化程度	高中	大专	本科	硕士	博士
人数	9	17	20	9	5

分数	人数
$85.5$ 以下	10
$85.5$ 以上	35
$96.5$ 以上	8

x（元/ $k g$ ）	10	11	12
y（ $k g$ ）	4000	3900	3800