湖南省长沙市芙蓉区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-13 类型：期末考试

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一、选择题（共10小题）

1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（）

A、诚 B、信 C、友 D、善

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2. 要使分式 $\frac{x}{x - 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值应满足（）

A、 $x \neq 2$ B、 $x \neq - 2$ C、 $x = 2$ D、 $x = - 2$

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3. 点 $(3 ， - 5)$ 关于y轴对称的点的坐标是（）

A、 $(- 3 ， 5)$ B、 $(5 ， - 3)$ C、 $(- 3 ， - 5)$ D、 $(3 ， 5)$

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4. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（）

A、 $a (x - y) = a x - a y$ B、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ C、 $x^{2} - 4 x + 3 = x (x - 4) + 3$ D、 $a^{2} + 1 = a (a + \frac{1}{a})$

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5. 下列计算正确的是（）

A、a⁸ ÷ a²=a⁴ B、a³·a⁴=a⁷ C、（2a²）³=6a⁶ D、（ $\frac{1}{2}$ ）^-2= $\frac{1}{4}$

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6. 下列各式中，正确的是（）

A、 $\frac{b}{a + 2 b} = \frac{1}{a + 2}$ B、 $\frac{b}{a} = \frac{b + 2}{a + 2}$ C、 $- \frac{- a + b}{c} = - \frac{a + b}{c}$ D、 $\frac{a + 2}{a - 2} = \frac{a^{2} - 4}{{(a - 2)}^{2}}$

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7. $△ A B C$ 与 $△ A D C$ 的 $A C$ 边重合， $A B = A D$ ．添加下一个条件后，仍无法判定 $△ A B C ≌ △ A D C$ 的是（）

A、 $C B = C D$ B、 $∠ B A C = ∠ D A C$ C、 $∠ B = ∠ D = 90 °$ D、 $∠ A C B = ∠ A C D$

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8. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A B$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $A F$ ，若 $∠ F A C = \frac{21}{5} ∠ B$ ，则 $∠ F A B$ 的度数为（）

A、25° B、30° C、35° D、50°

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9. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $∠ B = 2 ∠ A D B$ ， $A B = 4 ， C D = 7$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、3 B、11 C、15 D、9

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10. 关于 $x$ 的方程 $x + \frac{1}{x} = a + \frac{1}{a}$ 的两个解为 $x_{1} = a ， x_{2} = \frac{1}{a}$ ； $x + \frac{2}{x} = a + \frac{2}{a}$ 的两个解为 $x_{1} = a ， x_{2} = \frac{2}{a}$ ； $x + \frac{3}{x} = a + \frac{3}{a}$ 的两个解为 $x_{1} = a ， x_{2} = \frac{3}{a}$ ，则关于 $x$ 的方程 $x + \frac{10}{x - 1} = a + \frac{10}{a - 1}$ 的两个解为（）

A、 $x_{1} = a ， x_{2} = \frac{10}{a}$ B、 $x_{1} = a ， x_{2} = \frac{a + 8}{a - 1}$ C、 $x_{1} = a ， x_{2} = \frac{10}{a - 1}$ D、 $x_{1} = a ， x_{2} = \frac{a + 9}{a - 1}$

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二、填空题（共6小题）

11. 计算： ${(- 3)}^{0} =$ .

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12. 数0.0000046用科学记数法表示为：．

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13. 已知 $(x + 4) (x - 9) = x^{2} + m x - 36$ ，则 $m$ 的值为．

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14. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知与多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为．

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15. 已知a+b＝5，ab＝3， $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ ＝．

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16. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 和点 $A$ 在直线 $B C$ 的同侧， $B D = B C ， ∠ B A C = 82 ° ， ∠ D B C = 38 °$ ，连接 $A D ， C D$ ，则 $∠ A D B$ 的度数为．

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三、解答题（共9小题）

17. 计算 ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - {(π - \sqrt{3})}^{0} + | 1 - \sqrt{2} |$

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18. 分解因式：

(1)、 $16 - b^{2}$ ；

(2)、 $3 a x^{2} - 6 a x y + 3 a y^{2}$

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19. 先化简，再求值： $(a - 2) (a + 2) - {(a + 2)}^{2}$ ，其中 $a = - \frac{3}{2}$ ．

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20. 解分式方程

(1)、 $\frac{3}{x - 1} + 2 = \frac{x}{x - 1}$

(2)、 $\frac{x}{x - 2} - 1 = \frac{8}{x^{2} - 4}$ ．

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21. 如图，在平面直角坐标系中，点A（-3，0），点B（-1，5）．

(1)、①画出线段AB关于y轴对称的线段CD；
②在y轴上找一点P使PA+PB的值最小（保留作图痕迹）；

(2)、按下列步骤，用不带刻度的直尺在线段CD找一点Q使∠BAQ=45°．
①在图中取点E ，使得BE=BA ，且BE⊥BA ，则点E的坐标为 ▲ ；
②连接AE交CD于点Q ，则点Q即为所求．

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22. 已知，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $A D ⊥ C E$ ， $B E ⊥ C E$ ，垂足分别为点 $D$ ， $E$ ．

(1)、如图 $1$ ，求证： $D E = A D + B E$ ；

(2)、如图 $2$ ，点 $O$ 为 $A B$ 的中点，连接 $O D$ ， $O E .$ 请判断 $△ O D E$ 的形状？并说明理由．

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23. “军运会”期间，某纪念品店老板用5000元购进一批纪念品，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用6000元购进同样数目的这种纪念品，但第二次每个进价比第一次每个进价多了2元．

(1)、求该纪念品第一次每个进价是多少元？

(2)、老板以每个15元的价格销售该纪念品，当第二次纪念品售出 $\frac{3}{5}$ 时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于900元，剩余的纪念品每个售价至少要多少元？

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24. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $B D$ 所在的直线垂直平分线段 $A C$ ，过点 $A$ 作 $A F ∥ B C$ 交 $C D$ 于 $F$ ，延长 $A B$ 、 $D C$ 交于点 $E$ ．

(1)、求证： $A C$ 平分 $∠ E A F$ ；

(2)、求证： $∠ F A D = ∠ E$ ；

(3)、若 $∠ E A D = 90 °$ ， $A E = 5$ ， $△ A E C$ 的面积为 $\frac{15}{4} ，$ 求 $C F$ 的长．

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25. 阅读下面材料并解决有关问题：
（一）由于 ${(a - b)}^{2} \geq 0$ ，所以 $a^{2} - 2 a b + b^{2} \geq 0$ ，即 $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ ，并且当 $a = b$ 时， $a^{2} + b^{2} = 2 a b$ ；对于两个非负实数 $a$ ， $b$ ，由于 ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0 ，$ 所以 ${(\sqrt{a})}^{2} - 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + {(\sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ，即 $a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ ，所以 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，并且当 $a = b$ 时， $a + b = 2 \sqrt{a b}$ ；
（二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如： $\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x - 1 + 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}$ ；

(1)、在① $\frac{2 x + 3}{x + 1}$ 、② $\frac{x^{2} + 1}{x}$ 、③ $\frac{x}{x^{2} + 1}$ 、④ $\frac{x^{4} + 1}{x^{2}}$ 这些分式中，属于假分式的是（填序号）；

(2)、已知： $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$ ，求代数式 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值；

(3)、当 $x$ 为何值时， $\frac{x + 3 \sqrt{x + 2} + 5}{\sqrt{x + 2} + 1}$ 有最小值？并求出最小值．（写出解答过程）

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