湖南省长沙市雅礼教育集团2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-13 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单项选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1. $- 2024$ 的相反数是（）

A、2024 B、 $- 2024$ C、 $\frac{1}{2024}$ D、 $- \frac{1}{2024}$

查看试题解析
2. 式子 $\sqrt{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \geq 0$ B、 $x > 0$ C、 $x > 1$ D、 $x ≥ 1$

查看试题解析
3. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{4} = a^{7}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$ D、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$

查看试题解析
4. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{5} + \sqrt{6} = \sqrt{11}$ B、 $6 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 6$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{15}$ D、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$

查看试题解析
5. 若分式 $\frac{x + 1}{x - 2}$ 的值为0，则x的值为（）

A、0 B、1 C、-1 D、2

查看试题解析
6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 100 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为（）

A、40° B、50° C、60° D、80°

查看试题解析
7. 如图，在直角三角形 $A C B$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $B C = 2$ ，则 $A B$ 等于（）

A、2 B、3 C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

查看试题解析
8. 如图，在A村与 $B$ 村之间有一座大山，原来从A村到 $B$ 村，需沿道路 $A \to C \to B$ （ $∠ C = 90 °$ ）绕过村庄间的大山，打通A ， $B$ 间的隧道后，就可直接从A村到 $B$ 村．已知 $A C = 6 k m$ ， $B C = 8 k m$ ，那么打通隧道后从A村到 $B$ 村比原来减少的路程为（）

A、 $2 k m$ B、 $3 k m$ C、 $4 k m$ D、 $5 k m$

查看试题解析
9. 长沙宁乡曾出土过四羊方尊、人面方鼎等国之重器，还是中国礼乐文化的中心，其周文化基因世代传承．为了丰富学生社会实践活动经历，雅礼中学组织学生乘车去距学校 $105 k m$ 的炭河里青铜博物馆参观学习，回程的平均速度比去程的平均速度快20千米/时，回程路上所花时间比去程节省了 $\frac{1}{5}$ ．设去程的平均速度为 $x$ 千米/时，下列方程正确的（）

A、 $\frac{105}{x + 20} = (1 - \frac{1}{5}) \frac{105}{x}$ B、 $\frac{105}{x} = (1 - \frac{1}{5}) \frac{105}{x + 20}$ C、 $\frac{105}{x + 20} + \frac{1}{5} = \frac{105}{x}$ D、 $\frac{105}{x} = \frac{105}{x + 20} - \frac{1}{5}$

查看试题解析
10. 一个容器装有1升水，按照如下方法把水倒出：第1次倒出 $\frac{1}{2}$ 升水，第2次倒出水量是 $\frac{1}{2}$ 升的 $\frac{1}{3}$ ，第3次倒出水量是 $\frac{1}{3}$ 升的 $\frac{1}{4}$ ，第4次倒出水量是 $\frac{1}{4}$ 升的 $\frac{1}{5}$ ， …，第 $n$ 次倒出水量是 $\frac{1}{n}$ 升的 $\frac{1}{n + 1}$ ．按照这种倒水的方法， $n$ 次倒出的水量共为（）

A、1升 B、 $\frac{n}{n + 1}$ 升 C、 $\frac{2 n + 1}{2 n + 2}$ 升 D、 $\frac{n^{2} + n - 1}{n^{2} + n}$ 升

查看试题解析

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11. 分解因式： $a x - a y =$ ．

查看试题解析
12. 把 $\frac{3}{\sqrt{3}} + \sqrt{27} \times \sqrt{\frac{1}{9}}$ 进行化简，得到的最简结果是．（结果保留根号）

查看试题解析
13. 已知某种病毒的直经是0.000000091米，这个数可用科学记数法表示为米．

查看试题解析
14. 已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x}$ ，则该分式方程的解为．

查看试题解析
15. 如图所示，数轴上点O、A、B分别对应数字0、2、3，过点B作 $P Q ⊥ A B$ ，以点B为圆心， $A B$ 长为半径画弧．交 $P Q$ 于点C ，以原点O为圆心， $O C$ 长为半径画弧，交数轴正半轴于点M ．则点M所对应的数为．

查看试题解析
16. 已知 ${(x - 3)}^{2} = x^{2} + m x + 9$ ，则 $m$ 的值为．

查看试题解析

三、解答题（本大题共9小题，满分72分）

17. 计算： ${(- 1)}^{2004} - \sqrt[3]{27} + | 2 - \sqrt{3} | + {(\frac{1}{3})}^{- 1}$ ．

查看试题解析
18. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x^{2} - 1} \div (1 + \frac{1}{x + 1})$ ，其中 $x$ 从不等式 $- 3 < x < 2$ 中进一个整数．

查看试题解析
19. 如图所示，A城与C城的直线距离为60公里，B城与C城的直线距离为80公里，A城与B城的直线距离为100公里．

(1)、现需要在A ， B ， C三座城市所图成的三角形区域内建造一个加油站 $P$ ．使得这个加油站 $P$ 到三座城市A ， B ， C的距离相等，则加油站 $P$ 点一定是 $△ A B C$ 三条的交点；（请在以下选项中选出正确答案并将对应选项序号填写在横线上：①中线②高线③角平分线④垂直平分线）

(2)、判断 $△ A B C$ 形状，并说明理由．

查看试题解析
20. 如图． $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (1 ， 1)$ ， $B (4 ， 2)$ ， $C (3 ， 4)$ ．

(1)、若 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴成轴对称，则 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 三个顶点的坐标分别为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ；

(2)、若 $P$ 为 $x$ 轴上一点，则 $P A + P B$ 的最小值为；

(3)、求点 $B$ 到边 $A C$ 的距离 $h$ ．

查看试题解析
21. 已知 $x = 4 + \sqrt{5}$ ， $y = 4 - \sqrt{5}$ ，求下列各式的值：

(1)、 $x^{2} - y^{2}$ ；

(2)、 $\frac{y}{x} + \frac{x}{y} + 2 {(x y)}^{0}$ ．

查看试题解析
22. 为全面落实长沙市“三高四新”美好蓝图，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的2倍，甲队改造400米的道路比乙队改造同样长的道路少用5天．

(1)、甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？

(2)、若甲队工作一天需付费用5万元，乙队工作一天需付费用3万元，如需改造的道路全长1000米．改造总费用不超过65万元，至少安排甲队工作多少天？

查看试题解析
23. 如图，把一张长方形 $A B C D$ 纸片沿对角线 $A C$ 折叠，点 $B$ 落在点 $E$ 处， $C E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ，重合部分是 $△ F A C$ ， $C D = 2$ ，点 $P$ 是对角线 $A C$ 上一点， $P M ⊥ A D$ 于点 $M$ ， $P N ⊥ C E$ 于点 $N$ ．

(1)、求证： $△ F A C$ 是等腰三角形；

(2)、求 $P M + P N$ 的值；

(3)、若 $A D = 5$ ．求 $△ F A C$ 的面积．

查看试题解析
24. 新定义：如果两个实数 $a$ ， $b$ 使得关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{x} + 1 = b$ 的解是 $x = \frac{1}{a + b}$ 成立，那么我们就把实数 $a$ ， $b$ 组成的数对 $[a ， b]$ 称为关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{x} + 1 = b$ 的一个“关联数对”．
例如： $a = 2$ ， $b = - 5$ 使得关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2}{x} + 1 = - 5$ 的解是 $x = \frac{1}{2 + (- 5)} = - \frac{1}{3}$ 成立，所以数对 $[2 ， - 5]$ 就是关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{x} + 1 = b$ 的一个“关联数对”．

(1)、判断下列数对是否为关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{x} + 1 = b$ 的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．
① $[1 ， 1]$ （ ▲ ）；② $[3 ， - 5]$ （ ▲ ）；③ $[- 2 ， 4]$ （ ▲ ）；

(2)、若数对 $[n^{2} ， 8 - n^{2}]$ 是关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{x} + 1 = b$ 的“关联数对”，求 $n$ 的值；

(3)、若数对 $[m - k ， k]$ （ $m \neq - 1$ 且 $m \neq 0$ ， $k \neq 1$ ）是关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{x} + 1 = b$ 的“关联数对”，且关于 $x$ 的方程 $k x - m + 1 = \frac{- 2 m}{m + 1} x$ 有整数解，求整数 $m$ 的值．

查看试题解析
25. 如图1， $△ A B C$ 和 $△ D B E$ 都是等腰直角三角形， $B A = B C$ ， $B D = B E$ ， $△ D B E$ 的顶点 $D$ 在 $△ A B C$ 的斜边 $A C$ 上，连接 $C E$ ， $D E$ 交 $B C$ 于点 $O$ ， $B H ⊥ D E$ ，垂足为 $H$ ， $B H$ 的延长线交 $A C$ 于点 $F$ ．

(1)、填空：① $A D$ $C E$ （填写“＞”“＜”或“=”）；② $∠ A C E =$ $°$ ；

(2)、证明： $A D^{2} + C F^{2} = D F^{2}$ ；

(3)、①记四边形 $B D C E$ ， $△ B O D$ ， $△ B O E$ ， $△ C O E$ ， $△ C O D$ 的面积依次为 $S$ ， $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ，若满足 $\sqrt{S} = \sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{3}}$ ， $\sqrt{S} = \sqrt{S_{2}} + \sqrt{S_{4}}$ ，求 $\frac{A C}{A D}$ 的值；
②在线段 $C E$ 上取一点 $G$ ，连接 $D G$ ， $G F$ ，如图2，当 $G F$ 平分 $∠ C G D$ 时，求 $\frac{D G + E G}{A D}$ 的值．

查看试题解析