四川省成都市郫都区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2024-03-13 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。

1. $\sqrt[3]{27}$ 的值为（）

A、± 3 B、3 C、-3 D、9

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2. 要使二次根式 $\sqrt{3 - x}$ 有意义，则 $x$ 的值不可以为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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3. 平面直角坐标系中，点（－1，3）在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 二元一次方程 $x + 2 y = 0$ 的一个解是（）

A、 $\{\begin{array}{l} x = - 2 \\ y = 1 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 0 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x = - 2 \sqrt{3} \\ y = \sqrt{6} \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$

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5. 下列选项中，可以用来证明命题“若 $n^{2} > 1$ ，则 $n > 1$ ”是假命题的反例是（）

A、 $n = - 2$ B、 $n = - \frac{1}{2}$ C、 $n = \frac{1}{2}$ D、 $n = 2$

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6. 我国民间流传着许多趣味算题，他们多以顺口溜的形式表达，其中 $《$ 孙子算经 $》$ 中记载了这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少二梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有 $x$ 个老头， $y$ 个梨，则可列方程组为（）

A、 $\{\begin{array}{l} x - 1 = y \\ 2 x + 2 = y \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x - 1 = y \\ 2 x - 2 = y \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x + y = 1 \\ 2 x - y = 2 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x + 1 = y \\ 2 x - 2 = y \end{array}$

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7. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $(3，0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $(0，2)$ ，下列结论正确的是（）

A、当 $x = 0$ 时， $y = 3$ B、当 $y = 0$ 时， $x = 3$ C、当 $y = 2$ 时， $x = 3$ D、当 $x = 3$ 时， $y = 2$

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8. 如图，显示某滑雪俱乐部甲、乙两组各六名会员的身高情况，则下列说法错误的是（）

A、甲组的极差为 $13 c m$ B、甲组的众数为 $174 c m$ C、乙组的中位数为 $176 c m$ D、甲组的方差小于乙组的方差

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二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

9. 如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，若点 $A$ 的坐标为 $(- 3 ， - 4)$ ，则其关于 $y$ 轴对称的点 $B$ 的坐标为．

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10. 若一次函数 $y = (m - 3) x + m^{2} - 9$ 是正比例函数，则 $m$ 的值为．

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11. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，过点 $C$ 作 $C D / / A B .$ 若 $∠ β = 35 °$ ，则 $∠ A$ 的大小为．

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12. 化简： $\sqrt{\frac{32}{9}} =$ ．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 ° .$ 按以下步骤作图： $①$ 分别以点 $B$ 、 $C$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作弧，两弧相交于两点 $M$ 、 $N$ ； $②$ 作直线 $M N$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，连接 $C D .$ 若 $A C = 1 c m$ ，则 $△ A D C$ 的周长为．

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14. 如图，在数轴上点 A 表示的实数是．

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15. 若 $x = \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ ，则 $x^{2} - 2 x + 1$ 的值为．

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16. 已知 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 满足 $\{\begin{array}{l} 5 x + y - 4 z = 0 \\ 9 x - y - 3 z = 0 \end{array}$ ，则 $x$ ： $y$ ： $z =$ ．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，图案由全等的 $4$ 个长方形纸片摆成的 $.$ 若点 $A (- 3，7)$ ，则点 $B$ 的坐标为．

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18. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，且 $A B = 4$ ， $A C = 6 \sqrt{3} .$ 以 $B C$ 为边在 $△ A B C$ 外部作等边 $△ B C D$ 点 $D$ ，连接 $A D$ ，则 $A D$ 的长为．

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三、解答题：本题共8小题，共78分。

19. 计算：

(1)、 $2 \sqrt{12} \div \sqrt{6} + \sqrt{6} \times \sqrt{3} - \sqrt{8}$ ；

(2)、 $(\sqrt{5} + 3)^{2} + (\sqrt{5} + 3) (\sqrt{5} - 3) - 3$ ．

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20. 按要求解方程组， $(1)$ 题用代入法， $(2)$ 题用加减法：

(1)、 $\{\begin{array}{l} 2 x - y = 5 ① \\ 7 x - 3 y = 20 ② \end{array}$

(2)、 $\{\begin{array}{l} 6 x - 5 y = 3 ① \\ 6 x + y = - 15 ② \end{array}$ ．

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21. 某校组织了一次“校徽设计“竞赛活动，邀请 $5$ 名老师作为专业评委， $50$ 名学生代表参与民主测评，且民主测评的结果无弃权票．某作品的评比数据统计如下：
专业评委
给分 $($ 单位：分 $)$

$①$

$88$

$②$

$87$

$③$

$94$

$④$

$91$

$⑤$

$90$
$($ 专业评委给分统计表 $)$
记“专业评委给分”的平均数为 $\bar{x}$ ．

(1)、求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数；

(2)、对于该作品，问 $\bar{x}$ 的值是多少？

(3)、记“民主测评得分”为 $\bar{y}$ ， “综合得分”为 $S$ ，若规定：
$① \bar{y} =$ “赞成”的票数 $\times 3$ 分 $+$ “不赞成”的票数 $\times (- 1)$ 分；
$② S = 0.7 \bar{x} + 0.3 \bar{y}$ ．
求该作品的“综合得分” $S$ 的值．

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22. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 在 $△ A B C$ 内，连接 $D B$ 、 $D C$ ，延长 $D C$ 到点 $E$ ，使得 $E C = D C .$ 延长 $B C$ 到点 $F$ ，使得 $C F = B C$ ，连接 $A F$ 、 $E F .$ 完成下列问题的证明，要求这写出每步的推导理由．

(1)、求证： $B D / / E F$ ；

(2)、连接 $A E$ ，延长 $B D$ 交 $A E$ 于 $H$ ，连接 $C H .$ 若 $C H = C D$ ，求证： $A E ⊥ E F$ ．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴相交于 $A (12，0)$ 、 $B (0，4)$ 两点，点 $C$ 在线段 $O A$ 上，以 $C B$ 为直角边作等腰直角 $△ B C D$ ， $∠ B C D = 90 °$ ，点 $D$ 恰好落在直线 $A B$ 上．

(1)、求 $k$ 、 $b$ 的值；

(2)、求点 $D$ 的坐标；

(3)、若将 $△ B C D$ 沿直线 $A B$ 翻折到直角坐标系平面得 $△ B C' D$ ，求过点 $C'$ 且与直线 $A B$ 平行的直线的解析式．

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24. 某商场投入资金购进甲、乙两种矿泉水共 $400$ 箱，矿泉水的进价与售价 $($ 单位：元 $/$ 箱 $)$ 如下表：
矿泉水类别
进价 $($ 元 $/$ 箱 $)$
售价 $($ 元 $/$ 箱 $)$
甲
$24$
$36$
乙
$32$
$48$

(1)、若该商场为购进甲、乙两种矿泉水共用 $11520$ 元，则该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？

(2)、若设购进甲种矿泉水 $m$ 箱，甲、乙两种矿泉水全部售完后商场共获得利润为 $w$ 元 $.$ 直接写出 $w$ 与 $m$ 之间的函数关系式．

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25. 对于平面直角坐标系 $x O y$ 中的点 $P$ 、 $Q$ ，给出如下定义：若 $P$ 、 $Q$ 为某个三角形的顶点，且边 $P Q$ 上的高 $h$ ，满足 $h = P Q$ ，则称该三角形为点 $P$ 、 $Q$ 的“等值三角形”，已知点 $A (4，0)$ ．

(1)、若点 $E (1，0)$ ，点 $F$ 在 $y$ 的正半轴上，且 $△ A E F$ 是点 $A$ 、 $E$ 的“等值三角形”，求 $F$ 的坐标；

(2)、若以线段 $O A$ 为底的等腰三角形是点 $O$ 、 $A$ 的“等值三角形”，求该三角形的腰长；

(3)、若 $R t △ A B C$ 是点 $A$ 、 $B$ 的“等值三角形”，且点 $B$ 在 $x$ 轴上，点 $C$ 在直线 $y = 2 x - 5$ 上，求点 $B$ 的坐标．

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26. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 是四边形 $A B C D$ 的对角线， $A B > A D$ ， $C B = C D$ ，且 $∠ A B C + ∠ A D C = 180 °$ ．

(1)、如图 $1$ ，求证： $A C$ 平分 $∠ B A D$ ；

(2)、如图 $2$ ，若 $A B + A D = A C$ ，求 $∠ D A C$ 的度数；

(3)、如图 $3$ ，延长 $A B$ 、 $D C$ 相交于点 $E$ ，再过点 $E$ 作射线 $E F$ 交 $A D$ 的延长线于点 $F .$ 若 $∠ D E F = ∠ D E A$ ，求证： $B E + D F = E F$ ．

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专业评委	给分 $($ 单位：分 $)$
$①$	$88$
$②$	$87$
$③$	$94$
$④$	$91$
$⑤$	$90$

矿泉水类别	进价 $($ 元 $/$ 箱 $)$	售价 $($ 元 $/$ 箱 $)$
甲	$24$	$36$
乙	$32$	$48$