四川省成都市温江区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2024-03-13 类型：期末考试

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一、选择题

1. 如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 某口袋里现有 $12$ 个红球和若干个白球 $($ 两种球除颜色外，其余完全相同 $)$ ，某同学随机从该口袋里摸出一球，记下颜色后放回，共试验 $500$ 次，其中有 $300$ 次是红球，估计白球个数为（）

A、 $8$ B、 $10$ C、 $12$ D、 $14$

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3. 如图，已知直线 $A B / / C D / / E F$ ， $A C = 3$ ， $C E = 6$ ，则 $\frac{B D}{B F}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{5}$

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4. 将抛物线 $y = (x - 1)^{2}$ 向左平移 $1$ 个单位，再向下平移 $2$ 个单位，得到的抛物线解析式为（）

A、 $y = (x - 2)^{2} - 2$ B、 $y = x^{2} - 2$ C、 $y = (x - 2)^{2} - 2$ D、 $y = x^{2} + 2$

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5. 如图，四边形 $A B C D$ 与四边形 $E F G H$ 位似，其位似中心为点 $O$ ，且 $O E = E A$ ，则四边形 $A B C D$ 与四边形 $E F G H$ 的面积比是（）

A、 $1$ ： $2$ B、 $2$ ： $1$ C、 $1$ ： $4$ D、 $4$ ： $1$

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6. 如图，在 $⊙ O$ 中半径 $O A$ ， $O B$ 互相垂直，点 $C$ 在劣弧 $A B$ 上 $.$ 若 $∠ A B C = 18 °$ ，则 $∠ B A C =$ （）

A、 $24 °$ B、 $25 °$ C、 $26 °$ D、 $27 °$

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7. 若点 $A (x_{1} ， 1)$ ， $B (x_{2} ， - 3)$ ， $C (x_{3} ， 3)$ 都在反比例函数 $y = - \frac{3}{x}$ 的图象上，则 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $x_{1} < x_{3} < x_{2}$ B、 $x_{2} < x_{1} < x_{3}$ C、 $x_{2} < x_{3} < x_{1}$ D、 $x_{3} < x_{2} < x_{1}$

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8. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴相交于 $A (- 1，0)$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，对称轴是直线 $x = 1$ ，下列说法正确的是（）

A、 $4 a c > b^{2}$ B、抛物线的顶点坐标为 $(1，4)$ C、 $3 a + c = 0$ D、当 $x > 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大

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二、非选择题

9. 日晷是我国古代的一种计时仪器，它由晷面和晷针组成 $.$ 当太阳光照在日晷上时，晷针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影是投影 $. ($ 填“平行”或“中心” $)$

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10. 若 $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ = ．

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11. $《$ 周髀算经 $》$ 中记载了“偃矩以望高”的方法 $.$ “矩”在古代指两条边呈直角的曲尺 $($ 即图中的 $A B C) .$ “偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度 $.$ 如图，点 $A$ ， $B$ ， $Q$ 在同一水平线上， $∠ A B C$ 和 $∠ A Q P$ 均为直角， $A P$ 与 $B C$ 相交于点 $D .$ 测得 $A B = 30 c m$ ， $B D = 15 c m$ ， $A Q = 10 m$ ，则树高 $P Q =$ $m .$

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12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 没有实数根，那么 $a$ 的取值范围是．

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13. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $⊙ O$ 与 $y$ 轴相交于 $B$ 点，直线 $A C$ 与圆相切， $B C / / O A$ ，若 $\frac{B C}{O A} = \frac{1}{3}$ ，则 $t a n ∠ O A C$ 的值是．

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14.

(1)、计算： $| - \sqrt{3} | - (4 - π)^{0} - 2 s i n 60 ° + (\frac{1}{2})^{- 1}$ ；

(2)、解方程： $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ ．

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15. “校园安全”越来越受到人们的关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅不完整的统计图 $.$ 根据统计图信息，解答下列问题：

(1)、本次调查的学生总人数为，条形统计图中 $m$ 的值为；

(2)、求扇形统计图中“非常了解”对应的扇形圆心角度数；

(3)、本次调查中，校园安全知识达到“非常了解”程度的有 $2$ 名男生和 $2$ 名女生，若从中随机抽取 $2$ 人参加校园安全知识竞赛，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到 $1$ 名男生和 $1$ 名女生的概率．

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16. 点 $O$ 为塔楼底面中心，测角仪高度 $A B = C D = 1.5 m$ ，在 $B$ ， $D$ 处分别测得塔楼顶端的仰角为 $27 °$ ， $45 °$ ， $B D = 16 m$ ，点 $B$ ， $D$ ， $O$ 在同一条直线上，求塔楼的高度 $. ($ 结果精确到 $0.1$ 米；参考数据： $s i n 27 ° \approx 0.45$ ， $c o s 27 ° \approx 0.89$ ， $t a n 27 ° \approx 0.51)$

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B$ ， $C$ 为 $⊙ O$ 上的点， $⊙ O$ 与 $A B$ ， $A C$ 分别交于点 $D$ ， $E$ ， $∠ B D C = 45 °$ ，作 $C F ⊥ A B$ ，垂足为 $G$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $B C = E C$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径 $\sqrt{2}$ ， $t a n A = \frac{1}{2}$ ，求 $C F$ 的长．

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = - x + 3$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象相交于 $A (1 ， a)$ ， $B$ 两点．

(1)、求反比例函数的表达式及点 $B$ 的坐标；

(2)、直线 $O A$ 交反比例函数的图象于另一点 $C$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、点 $P$ 为 $y$ 轴上任意一点，点 $Q$ 为平面内任意一点，若以 $A$ ， $B$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是菱形，求点 $Q$ 的坐标．

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19. 如图是公园的一座抛物线型拱桥，建立坐标系得到函数 $y = - \frac{1}{4} x^{2}$ ，当拱顶到水面的距离为 $4$ 米时，水面宽 $A B =$ 米 $.$

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20. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B = 8$ ， $C$ 为 $\overset{⏜}{A B}$ 的中点，且 $C$ 到 $A B$ 的距离为 $3$ ，则圆的半径为．

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21. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 m x + m^{2} + m - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，且 $x_{1} + x_{2} - x_{1} \cdot x_{2} = - 5$ ，则实数 $m =$ ．

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22. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ B = 30 °$ ， $P$ 为 $A D$ 边上一动点，将 $△ P C D$ 沿 $C P$ 折叠为 $△ P C D'$ ， $E$ 为 $A B$ 边上一点， $B E = C E$ ，则 $D' E$ 的最小值为．

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23. 如图， $R t △ O A B$ 的顶点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象上， $∠ A O B = 90 °$ ， $A B / / x$ 轴，若 $△ O A B$ 的面积为 $6$ ， $s i n ∠ O A B = \frac{3}{5}$ ，则 $k =$ ．

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24. $2023$ 年成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”受到人们的广泛喜爱，某网店以每个 $32$ 元的价格购进了一批蓉宝吉祥物，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个 $50$ 元上涨到每个 $72$ 元，此时每天可售出 $200$ 个蓉宝吉祥物．

(1)、若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；

(2)、经过市场调查发现：销售单价每降价 $1$ 元，每天多卖出 $10$ 个，网店每个应降价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？

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25. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} + c$ 经过点 $P (2，3)$ ，与 $y$ 轴交于点 $A (0 ， - 1)$ ， $B$ 为抛物线上的一动点 $($ 不与点 $A$ 重合 $)$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、当 $△ A B P$ 是直角三角形时，求点 $B$ 的坐标；

(3)、过点 $A$ 作 $A C ⊥ A B$ ，直线 $A C$ 交抛物线于点 $C$ ，试探究直线 $B C$ 是否经过某一定点，若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

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26. 在 $R t △ A B C$ 中， $A C = 1$ ， $∠ C = 90 °$ ， $D$ 为 $B C$ 边上一动点，且 $\frac{A C}{B C} = \frac{1}{n} (n$ 为正整数 $)$ ，在直线 $B C$ 上方作 $△ A D E$ ，使得 $△ A D E$ ∽ $△ A C B$ ．

(1)、如图 $1$ ，在点 $D$ 运动过程中， $△ A C D$ 与 $△ A B E$ 始终保持相似关系，请说明理由；

(2)、如图 $2$ ，若 $n = 2$ ， $M$ 为 $A B$ 中点，当点 $E$ 在射线 $C M$ 上时，求 $C D$ 的长；

(3)、如图 $3$ ，设 $A E$ 的中点为 $P$ ，求点 $D$ 从点 $C$ 运动到点 $B$ 的过程中，点 $P$ 运动的路径长 $($ 用含 $n$ 的代数式表示 $)$ ．

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