贵州省遵义市播州区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2024-03-13 类型：期末考试

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一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列四幅中国文字图案中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 某科学家研究发现人类头发的直径是 $0.0008$ 分米 $.$ 将 $0.0008$ 用科学记数法表示为（）

A、 $0.8 \times 10^{2}$ B、 $8 \times 10^{- 3}$ C、 $8 \times 10^{4}$ D、 $8 \times 10^{- 4}$

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3. 若 $2^{n} \times 2^{m} = 2^{6}$ ，则 $m + n =$ （）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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4. 有两根 $30 c m$ 和 $50 c m$ 长的木棒，再找一根木棒与这两根木棒构成一个三角形木架 $.$ 可以选择的木棒是（）

A、 $10 c m$ B、 $20 c m$ C、 $30 c m$ D、 $80 c m$

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5. 计算 $a (a - 1)$ 的结果为（）

A、 $a^{2} - a$ B、 $a^{2} - 2$ C、 $a^{2} - 1$ D、 $a^{2} - 3$

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6. 将分式方程 $\frac{2}{x - 1} - 1 = \frac{3 x}{1 - x}$ 去分母，两边同时乘 $(x - 1)$ 后的式子为（）

A、 $2 - 1 = 3 x$ B、 $2 - (x - 1) = - 3 x$ C、 $2 - (x - 1) = 3 x$ D、 $2 - x + 1 = 3 x$

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7. $2023$ 年 $8$ 月 $31$ 日，贵南高铁全线通车，其中有一隧道全线长 $2040 m .$ 如图，在隧道进口 $A$ 处的正西方 $B$ 处有一人，高铁从 $A$ 处沿北偏西 $60 °$ 的方向穿过隧道，在出口 $C$ 处鸣笛，出口 $C$ 处在 $B$ 处的正北方，已知声音在空气中的传播速度为 $340 m / s$ ，经过多少秒进口处的人能够听到鸣笛声？ $($ 不考虑其他因素 $)$ （）

A、 $4 s$ B、 $3 s$ C、 $2 s$ D、 $1 s$

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8. 数学活动课上，小星制作了一个燕尾形的风筝 $.$ 如图， $A D = C D$ ， $∠ A D B = ∠ C D B$ ，他准备用刻度尺量 $A B$ 和 $B C$ 的长是否相等．
小英却说：“不用再测量，因为 $△ A B D$ ≌ $△ C B D$ ，所以 $A B = B C .$ ”
小英用到的判定三角形全等的方法是（）

A、 $S A S$ B、 $A A S$ C、 $S S S$ D、 $A S A$

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9. 某中学举行攀登一座 $480 m$ 高的山，第一小组的攀登速度是第二小组的 $1.2$ 倍 $.$ 第一小组比第二小组早 $15 m i n$ 到达山顶，求两个小组的攀登速度各是多少，若设第二小组的速度为 $x m / m i n$ ，则可列出方程为（）

A、 $\frac{480}{x} + \frac{480}{1.2 x} = 15$ B、 $\frac{480}{1.2 x} - \frac{480}{x} = 15$ C、 $\frac{480}{x} - \frac{480}{1.2 x} = 15$ D、 $\frac{480}{x} = \frac{480}{1.2 x} - 15$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A F$ 是高， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $∠ B A C = 80 °$ ， $∠ C = 60 °$ ，则 $∠ D A F$ 的度数是（）

A、 $10 °$ B、 $15 °$ C、 $20 °$ D、 $30 °$

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11. 如图， $∠ 1$ 、 $∠ 2$ 、 $∠ 3$ ， $∠ 4$ 是六边形 $A B C D E F$ 的四个外角，延长 $F A . C B$ 交于点 $H .$ 若 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 224 °$ ，则 $∠ A H B$ 的度数为（）

A、 $24 °$ B、 $34 °$ C、 $44 °$ D、 $54 °$

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12. 已知实数 $n$ 满足 $n^{2} - n + 1 = 0$ ，则 $4 n^{3} - 5 n^{2} + 5 n + 11$ 的值为（）

A、 $12$ B、 $10$ C、 $8$ D、 $6$

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二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。

13. 分解因式： $a^{2} - 1$ =.

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A C$ 边的垂直平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $E .$ 且 $∠ C = 15 °$ ， $A B = 2 c m$ ，则 $E C$ 的长是 $c m$ ．

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15. 如图，在 $R t △ A E C$ 中， $∠ A E C = 90 °$ ，以点 $A$ 为圆心、 $A E$ 的长为半径画弧，交 $A C$ 于点 $B$ 、分别以点 $B$ 、 $E$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B E$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，作射线 $A P .$ 交 $C E$ 于点 $D .$ 若 $∠ C = 30 °$ ，则 $\frac{S_{△ A D E}}{S_{△ A D C}}$ 的值为．

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16. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A C B = 30 °$ ， $D$ 是线段 $C B$ 上一动点，以 $A D$ 为边在 $A D$ 下方作等边三角形 $A D E .$ 若 $S_{△ A B C} = 2 \sqrt{3}$ ， $A B = 2$ ，则 $D E + B E$ 的最小值为．

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三、解答题：本题共8小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.

(1)、计算： $\sqrt{4} + (- 1)^{2} - (\frac{1}{2})^{- 2} - (π - 3.14)^{0}$ ；

(2)、解方程： $\frac{2}{x - 2} - 1 = \frac{1}{x - 2}$ ．

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18. 先化简，再求值： $(\frac{a + 2}{a^{2} - 2 a} - \frac{a - 1}{a^{2} - 4 a + 4}) \div \frac{a - 4}{a - 2}$ ，其中 $a = 3$ ．

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19. 如图，已知点 $B$ ， $E$ ， $F$ 、 $C$ 在同一条直线上， $B E = C F$ ， $∠ B = ∠ C$ ， $A B = C D$ ．

(1)、求证： $△ A B F$ ≌ $△ D C E$ ；

(2)、若 $∠ A F B = 40 °$ ，求 $∠ A G E$ 的度数．

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20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 3，4)$ ， $B (- 2，0)$ ， $C (2，1)$ ，连接 $A B$ ， $B C$ ， $C A$ ，得到 $△ A B C$ ．

(1)、将 $△ A B C$ 向右平移两个单位长度得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， $C^{'}$ ；

(2)、在 $(1)$ 的情况下，画出 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 关于 $x$ 轴对称的图形 $△ A ″ B^{'} C ″$ ；

(3)、连接 $A ″ B$ ，得到 $△ O B A ″$ ，求出 $△ O B A ″$ 的面积．

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21. 某水果店从种植园花费 $3000$ 元购进 $A$ 种草莓， $1000$ 元购进 $B$ 种草莓，已知 $A$ 种草莓的进价是 $B$ 种草莓进价的 $2$ 倍， $A$ 种草莓的数量比 $B$ 种草莓的数量多 $100$ 千克．

(1)、求 $B$ 种草莓每千克的进价；

(2)、若该水果店计划两周内销售完这批草莓，第一周：以 $16$ 元 $/$ 千克的价格售出 $A$ 种草莓 $2 m$ 千克，以 $9$ 元 $/$ 千克的价格售出 $B$ 种草莓 $m$ 千克；第二周：把剩下的 $A$ ， $B$ 两种草莓每千克的利润减少一半后出售，若该水果店售完这些草莓的获利不低于 $2300$ 元，求 $m$ 的最小值．

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22. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $D C ⊥ B C$ 于点 $C$ ， $C D / / A B$ ，且 $D M$ 平分 $∠ A D C$ ， $A M$ 平分 $∠ D A B$ ．

(1)、求证： $M$ 为 $B C$ 的中点；

(2)、若 $A D = 10 c m$ ， $C M = 4 c m$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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23. 【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
$① (x + 2) (x + 3) = x^{2} + 5 x + 6$ ；
$② (x - 4) (x + 1) = x^{2} - 3 x - 4$ ；
$③ (y - 5) (y - 3) = y^{2} - 8 y + 15$ ．
通过以上计算发现，形如 $(x + p) (x + q)$ 的两个多项式相乘，其结果一定为 $x^{2} + (p + q) x + p q . (p ， q$ 为整数 $)$
因为因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，所以一定有 $x^{2} + (p + q) x + p q = (x + p) (x + q)$ ，即可将形如 $x^{2} + (p + q) x + p q$ 的多项式因式分解成 $(x + p) (x + q) (p$ 、 $q$ 为整数 $)$ ．
例如： $x^{2} + 3 x + 2 = x^{2} + (1 + 2) x + 1 \times 2 = (x + 1) (x + 2)$ ．

(1)、【初步应用】用上面的方法分解因式： $x^{2} + 6 x + 8 =$ ；

(2)、【类比应用】规律应用：若 $x^{2} + m x + 8$ 可用以上方法进行因式分解，则整数 $m$ 的所有可能值是；

(3)、【拓展应用】分解因式： $(x^{2} - 4 x)^{2} - 2 (x^{2} - 4 x) - 15$ ．

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24. 【提出问题】如图 $1$ ，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，分别以 $A B$ ， $A C$ 为边作等边 $△ A B E$ 和等边 $△ A C D$ ， $D C$ 与 $B E$ 相交于点 $F$ ，连接 $C E$ ．

(1)、【初步探究】如图 $1$ ，连接 $D B$ ，求证： $△ A D B$ ≌ $△ A E C$ ．

(2)、【深入探究】如图 $2$ ，将 $△ A D C$ 沿 $A C$ 翻折得到 $△ A D^{'} C$ ，连接 $D^{'} E$ ， $B D^{'}$ ，类比 $(1)$ 的探究方法发现：
结论 $①$ ：_▲_≌ $△ A B C$ ；
结论 $②$ ： $B D^{'} / / C E$ ．
请证明结论 $②$ ．

(3)、如图 $3$ 、在 $(2)$ 的情况下将线段 $A B$ 沿 $A E$ 翻折得到线段 $A B^{'}$ ，连接 $B^{'} D^{'}$ ， $A F$ ，试判断线段 $B^{'} D^{'}$ 与 $A F$ 的位置关系．

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