2024年江苏省南京中考数学仿真模拟卷

试卷更新日期：2024-03-13 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 实数9的算术平方根是（）

A、3 B、 $\pm 3$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $- 9$

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2. 我国自行设计、自主集成研制的蛟龙号载人潜水器最大下潜深度为7062m.将7062用科学记数法表示为（）

A、7.062×10³ B、7.1×10³ C、0.7062×10⁴ D、7.062×10⁴

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3. 如图是由7个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（）

A、主视图改变，俯视图改变 B、左视图改变，俯视图改变 C、俯视图不变，左视图改变 D、主视图不变，左视图不变

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4. 将方程x²﹣2x﹣3=0化为（x﹣m）²=n的形式，指出m，n分别是（　　）

A、1和3 B、﹣1和3 C、1和4 D、﹣1和4

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5.
如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD=9，BD=4，以C为圆心，CD为半径的圆与⊙O相交于P，Q两点，弦PQ交CD于E，则PE•EQ的值是（ )

A、24 B、9　　 C、36　　　 D、27

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6. 已知二次函数y＝ax²+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示：

X

…

﹣1

2

3

…

Y

…

0

0

4

…

则可求得 $\frac{b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ （4a﹣2b+c）的值是（）

A、8 B、﹣8 C、4 D、﹣4

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二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7. 当x＝时，分式 $\frac{x - 3}{x}$ 的值为零.

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8. 计算： $6 \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{27}$ 的结果为．

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9. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，若 $A B = 6$ ， $B C = 10$ ， $E F = 9$ ，则 $D E$ 的长为．

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10. 已知扇形的面积为15πcm² ，弧长为5πcm，则该扇形的圆心角是度．

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11. 已知a ， b是方程3x²﹣6x+2＝0的两个根，则a²+b²＝．

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12. 已知一组数据： $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， \dots x_{n}$ 的平均数是2，方差是3，另一组数据： $3 x_{1} - 2$ ， $3 x_{2} - 2$ ， …的方差是

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13. 分解因式：2ab²+4ab+2a= ．

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14. 如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE.若∠D＝70°，则∠EAC的度数为.

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15. 规定：两个函数 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”.例如：函数 $y_{1} = 2 x + 2$ 与 $y_{2} = - 2 x + 2$ 的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”.若函数 $y = k x^{2} + 2 (k - 1) x + k - 3$ （k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为.

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16. 如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．则线段EF的最小值为．

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三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）

17. 解不等式组： ${\begin{cases} 2 x - 1 < x + 5 \\ \frac{x + 1}{3} < x - 1 \end{cases}$

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18. 解分式方程： $\frac{x - 2}{x} - \frac{3}{x - 2} = 1$ .

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四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 先化简，再求值： $(\frac{x}{x - 3} - \frac{1}{3 - x}) \div \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 3$ .

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20. 如图，延长正方形 $A B C D$ 的一边 $C B$ 至点 $E ， E D$ 与 $A B$ 相交于点F，过点F作 $F G / / B E$ 交 $A E$ 于点G.求证： $G F = F B$ .

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21. 在一个不透明的布袋里装有3个标号为1、2、3的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小敏从剩下的2个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标（x，y）．

(1)、请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；

(2)、求点P（x，y）在函数y＝-x+3图象上的概率．

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22. 2023年4月24日中国航天日主场活动暨中国航天大会在合肥市开幕，今年中国航天日的主题是“格物致知，叩问苍穹”.某学校为了解八年级学生对航空航天知识的了解情况，组织了一次知识竞赛活动，从两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用 $x$ 表示，共分成四组：A. $80 \leq x < 85$ ， B. $85 \leq x < 90$ ， C. $90 \leq x < 95$ ， D. $95 \leq x \leq 100$ ）
八年级（1）班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，84.
八年级（2）班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92.
通过数据分析，列表如下：
八年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表

班级
平均数
中位数
众数
方差
八年级（1）班
92
          $b$
          $c$
43.4
八年级（2）班
92
93
100
50.4
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、学校欲选派成绩比较稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级?请说明理由；

(3)、已知八年级两个班共120人参加了此次竞赛活动，估计两班参加此次竞赛活动成绩优秀 $(x \geq 90)$ 的学生总人数是多少?

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23. 在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：

(1)、试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；

(2)、若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；

(3)、在（2）的条件下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．

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24.
某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的长度．如图2，在某一时刻，光线与水平面的夹角为72°，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，若1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆AB的长度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）．

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25. 如图1，四边形ABCD内接于⊙O ， BD为直径， $\hat{A D}$ 上存在点E，满足 $\hat{A E} = \hat{C D}$ ，连结BE并延长交CD的延长线于点F ， BE与AD交于点G．

(1)、若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠AGB；

(2)、如图2，连结CE ， CE＝BG ．求证：EF＝DG；

(3)、如图3，在（2）的条件下，连结CG ， AD=2，求CG的最小值．

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26.

(1)、已知：如图， $A$ 、 $B$ 是 $⊙ O$ 内两点，求作： $⊙ O$ 的直径 $C D$ ，使 $A C = B D$ ．

(2)、已知：如图， $O A$ 、 $O B$ 是 $⊙ O$ 的半径，求作：弦 $C D$ ，使其与 $O A$ 、 $O B$ 的交点是 $C D$ 的三等分点 $. ($ 要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明 $.)$

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27. 综合与实践
车轮设计成圆形的数学道理

小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：

将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.

(1)、探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 $\overset{⌢}{B D}$ ， $B A = C A = D A = 2$ ，圆心角 $∠ B A D = 120 °$ .此时中心轨迹最高点是C（即 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点），转动一次前后中心的连线是 $B D$ （水平线），请在图2中计算C到 $B D$ 的距离 $d_{1}$ .

(2)、探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 $\overset{⌢}{B D}$ ， $B A = C A = D A = 2$ ，圆心角 $∠ B A D = 90 °$ .此时中心轨迹最高点是C（即 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点），转动一次前后中心的连线是 $B D$ （水平线），请在图4中计算C到 $B D$ 的距离 $d_{2}$ （结果保留根号）.

(3)、探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 $\overset{⌢}{B D}$ ，圆心角 $∠ B A D =$ .此时中心轨迹最高点是C（即 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点），转动一次前后中心的连线是 $B D$ （水平线），在图6中计算C到 $B D$ 的距离 $d_{3} =$ （结果保留根号）.

(4)、归纳推理：比较 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ， $d_{3}$ 大小：，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离（填“越大”或“越小”）.

(5)、得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离 $d =$ .这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形.

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班级	平均数	中位数	众数	方差
八年级（1）班	92	$b$	$c$	43.4
八年级（2）班	92	93	100	50.4

X	…	﹣1	2	3	…
Y	…	0	0	4	…