2024年北师大版数学八年级下册周测卷（第四章第1-3节）基础卷

试卷更新日期：2024-03-12 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A、 $x^{2} - x - 1 = x (x - 1) - 1$ B、 $x^{2} - 1 = (x - 1)^{2}$ C、 $x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ D、 $x (x - 1) = x^{2} - x$

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2. 下列式子从左到右变形是因式分解的是（）

A、 ${(x - y)}^{2} = {(x + y)}^{2} - 4 x y$ B、 $(x + y) \cdot (x - y) = x^{2} - y^{2}$ C、 $x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ D、 $x^{2} - 3 x + 1 = x (x - 3) + 1$

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3. 已知把一个多项式分解因式，得到的结果为(x+1)(x-3)，则这个多项式为（）

A、 $x^{2} + 3 x - 2$ B、 $x^{2} + 2 x - 3$ C、 $x^{2} - 2 x - 3$ D、 $x^{2} - 3 x + 2$

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4. 把多项式8a²b²-16a²b²c²分解因式，应提取的公因式是（）

A、8a²b² B、4a²b² C、8ab² D、8ab

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5. 下列各组式子中，没有公因式的是（）

A、-a²+ab与ab²-a²b B、mx+y与x+y C、（a+b）²与-a-b D、5m（x-y）与y-x

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6. 如果(x+4)(x-3)是 $x^{2} - m x - 12$ 因式分解的结果，那么m的值为（）

A、7 B、-7 C、1 D、-1

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7. 若a-b=6，ab=7，则ab²-a²b的值为（）

A、42 B、-42 C、13 D、-13

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8. 下列各式的分解因式：
① $64 m^{2} - 9 n^{2} = (8 m + 3 n) (8 m - 3 n)$ ；② $- 9 a^{2} - b^{2} = - (3 a + b) (3 a - b)$ ；
③ $x^{2} - 10 = (x - 5) (x + 2)$ ；④ $- 4 x^{2} - 4 x + 1 = - {(2 x - 1)}^{2}$ .
其中正确的个数有（）

A、1 B、2 C、3 D、0

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9. 把多项式ax²-ay²分解因式，需用到（）

A、提取公因式 B、平方差公式 C、提取公因式和平方差公式 D、以上都不对

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10. 多项式(x+1)²-9因式分解的结果为（）

A、(x+8)(x+1) B、(x-2)(x+4) C、(x-4)(x+2) D、(x-10)(x+8)

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 一个多项式，把它因式分解后有一个因式为 $(x + 1)$ ，请你写出一个符合条件的多项式：。

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12. 分解因式： $a^{2} - a b$ = ．

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13. 计算10ⁿ⁺²-8×10ⁿ⁺¹-19×10ⁿ的值为.

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14. 如图，长方形的长、宽分别为a，b，且a比b大3，面积为7，则a²b-ab²的值为

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15. 分解因式：16﹣4x²=.

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16. 已知 $x + y = 5$ ， $x - y = 1$ .则代数式 $x^{2} - y^{2}$ 的值是.

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三、解答题（共7题，共72分）

17. 因式分解：
（1）9 ${(m + n)}^{2}$ － ${(m - n)}^{2}$
（2） $a^{2}$ ＋2ab＋ $b^{2}$ －4

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18. 请阅读下面一题因式分解的解题过程：
因式分解： $x^{4} + （ 2 y + 4) x^{2} + y^{2} + 4 y + 4$

分析：题中 $y^{2} + 4 y + 4$ 是 ${(y + 2)}^{2}$ ，把 $x^{2} ， y + 2$ 分别看作u，v，用公式法分解因式，即可得

解：设 $x^{2} = u ， y + 2 = v ，$ 则原式= $u^{2} + 2 u v + v^{2} = {(u + v)}^{2} = {(x^{2} + y + 2)}^{2}$

像这样因式分解的方法叫做换元法。

请你参照上诉方法因式分解： $1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + y (y - 2 x y) + 2 y$

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19. 教科书中这样写道：“形如 $a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 的式子称为完全平方式“，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式： $x^{2} + 2 x ﹣ 3$ ．
解：原式 $= (x^{2} + 2 x + l) ﹣ 4 = {(x + 1)}^{2} ﹣ 4 = (x + 1 + 2) (x + 1 ﹣ 2) = (x + 3) (x ﹣ 1)$
再如：求代数式 $2 x^{2} + 4 x ﹣ 6$ 的最小值．
解： $2 x^{2} + 4 x ﹣ 6 = 2 (x^{2} + 2 x ﹣ 3) = 2 {(x + 1)}^{2} ﹣ 8$ ，可知当 $x = ﹣ 1$ 时， $2 x^{2} + 4 x ﹣ 6$ 有最小值，最小值是－8．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：

(1)、分解因式： $x^{2} ﹣ 6 x ﹣ 7 =$ ．（直接写出结果）

(2)、当x为何值时，多项式 $﹣ 2 x^{2} ﹣ 4 x + 5$ 有最大值？并求出这个最大值．

(3)、利用配方法，尝试求出等式 $a^{2} + 5 b^{2} ﹣ 4 a b ﹣ 2 b + 1 = 0$ 中a ， b的值．

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20. 解下列各题：

(1)、分解因式：9a²（x﹣y）+4b²（y﹣x）；

(2)、甲，乙两同学分解因式x²+mx+n，甲看错了n，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了m，分解结果为（x+1）（x+9），请分析一下m，n的值及正确的分解过程．

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21. 阅读材料：
因为 $x^{2} + 2 x - 3 = (x + 3) (x - 1) ，$ ，这说明多项式 $x^{2} + 2 x - 3$ 有一个因式为x $-$ 1，我们把x=1代入此多项式发现 x=1能使多项式 $x^{2} + 2 x - 3$ 的值为0.
解决问题：

(1)、若x $-$ 3是多项式 $x^{2} + k x + 12$ 的一个因式，求 k 的值.

(2)、x-3和x-4时多项式x³+mx²+12x+n的两个因式，试求m、n的值.

(3)、在(2)的条件下，把多项式 $x^{3} + m x^{2} + 12 x + n$ 分解因式.

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22. 分解因式有一种很重要的方法叫“十字相乘法”，常用于二次三项式的分解因式，实质是逆用多项式的乘法过程：x²+( a+b)x+ab=(x+a)(x+b)．这个方法的关键是把二次项系数和常数项分别都拆成两个因数的积，并使这两组因数交叉相乘再求和等于一次项系数．
例如：

(1)、分解因式：
①x²+2x-24=
②6x²-7x-3=

(2)、参考以上方法解方程：
①x²+2x-35=0；
②4x²-16x+15=0．

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23. “换元”是重要的数学思想，它可以使一些复杂的问题得到简化.
例如：分解因式： $(x^{2} + 2 x - 2) (x^{2} + 2 x) - 3 .$
解 $(x^{2} + 2 x - 2) (x^{2} + 2 x) - 3$
$= {(x^{2} + 2 x)}^{2} - 2 (x^{2} + 2 x) - 3$
$= (x^{2} + 2 x - 3) (x^{2} + 2 x + 1)$
$= (x + 3) (x - 1) {(x + 1)}^{2} .$
这里就是把 $x^{2} + 2 x$ 当成一个整体，那么式子 ${(x^{2} + 2 x)}^{2} - 2 (x^{2} + 2 x) - 3$ 可以看成是一个关于 $x^{2} + 2 x$ 的二次多项式，就容易分解.

(1)、请模仿上面的方法分解因式： $x (x - 4) {(x - 2)}^{2} - 45 ，$

(2)、在(1)中，若 $x^{2} - 4 x - 6 = 0 ，$ 求上式的值.

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