2014年高考理数真题试卷（湖北卷）

试卷更新日期：2016-09-28 类型：高考真卷

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一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. i为虚数单位，（ $\frac{1 - i}{1 + i}$ ）²=（）

A、﹣1 B、1 C、﹣i D、i

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2. 若二项式（2x+ $\frac{a}{x}$ ）⁷的展开式中 $\frac{1}{x^{3}}$ 的系数是84，则实数a=（）

A、2 B、 $\sqrt[5]{4}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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3. 设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁_UC”是“A∩B=∅”的（）

A、充分而不必要的条件 B、必要而不充分的条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 根据如下样本数据，得到回归方程 $\hat{y}$ =bx+a，则（）
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
﹣0.5
0.5
﹣2.0
﹣3.0

A、a＞0，b＞0 B、a＞0，b＜0 C、a＜0，b＞0 D、a＜0，b＜0

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5. 在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）

A、①和② B、③和① C、④和③ D、④和②

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6. 若函数f（x），g（x）满足 $\int_{- 1}^{1}$ f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：
①f（x）=sin $\frac{1}{2}$ x，g（x）=cos $\frac{1}{2}$ x；
②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；
③f（x）=x，g（x）=x² ，
其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 由不等式组 ${\begin{matrix} x \leq 0 \\ y \geq 0 \\ y - x - 2 \leq 2 \end{matrix}$ 确定的平面区域记为Ω₁ ，不等式组 ${\begin{matrix} x + y \leq 1 \\ x + y \geq - 2 \end{matrix}$ 确定的平面区域记为Ω₂ ，在Ω₁中随机取一点，则该点恰好在Ω₂内的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{7}{8}$

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8. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈ $\frac{1}{36}$ L²h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈ $\frac{2}{75}$ L²h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）

A、 $\frac{22}{7}$ B、 $\frac{25}{8}$ C、 $\frac{157}{50}$ D、 $\frac{355}{113}$

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9. 已知F₁ ， F₂是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F₁PF₂= $\frac{π}{3}$ ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、3 D、2

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10. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）= $\frac{1}{2}$ （|x﹣a²|+|x﹣2a²|﹣3a²），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）

A、[ $- \frac{1}{6}$ ， $\frac{1}{6}$ ] B、[ $- \frac{\sqrt{6}}{6}$ ， $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ] C、[ $- \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3}$ ] D、[ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ]

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二、填空题

11. 设向量 $\vec{a}$ =（3，3）， $\vec{b}$ =（1，﹣1），若（ $\vec{a}$ +λ $\vec{b}$ ）⊥（ $\vec{a}$ ﹣λ $\vec{b}$ ），则实数λ= ．

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12. 直线l₁：y=x+a和l₂：y=x+b将单位圆C：x²+y²=1分成长度相等的四段弧，则a²+b²= ．

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13. 设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b= ．

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14. 设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为M_f（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得M_f（a，b）=c= $\frac{a + b}{2}$ ，即M_f（a，b）为a，b的算术平均数．
（I）当f（x）=（x＞0）时，M_f（a，b）为a，b的几何平均数；
（II）当f（x）=（x＞0）时，M_f（a，b）为a，b的调和平均数 $\frac{2 a b}{a + b}$ ；
（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）

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15. 如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB= ．

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16. 已知曲线C₁的参数方程是 ${\begin{matrix} x = \sqrt{t} \\ y = \frac{\sqrt{3 t}}{3} \end{matrix}$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程是ρ=2，则C₁与C₂交点的直角坐标为．

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三、解答题

17. 某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：
f（t）=10﹣ $\sqrt{3} \cos \frac{π}{12} t - \sin \frac{π}{12} t$ ，t∈[0，24）

(1)、求实验室这一天的最大温差；

(2)、若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？

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18. 已知等差数列{a_n}满足：a₁=2，且a₁ ， a₂ ， a₅成等比数列．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、记S_n为数列{a_n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S_n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

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19. 如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A₁B₁ ， A₁D₁的中点，点P，Q分别在棱DD₁ ， BB₁上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）

(1)、当λ=1时，证明：直线BC₁∥平面EFPQ；

(2)、是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

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20. 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．

(1)、求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；

(2)、水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年入流量X
40＜X＜80
80≤X≤120
X＞120
发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

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21. 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．

(1)、求轨迹C的方程；

(2)、设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．

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22. π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．

(1)、求函数f（x）= $\frac{\ln x}{x}$ 的单调区间；

(2)、求e³ ， 3^e ， e^π ， π^e ， 3^π ， π³这6个数中的最大数和最小数；

(3)、将e³ ， 3^e ， e^π ， π^e ， 3^π ， π³这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．

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年入流量X	40＜X＜80	80≤X≤120	X＞120
发电机最多可运行台数	1	2	3

x	3	4	5	6	7	8
y	4.0	2.5	﹣0.5	0.5	﹣2.0	﹣3.0