2023年湖北省中考数学真题分类汇编：04 图形与几何

试卷更新日期：2024-03-11 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，已知点C为圆锥母线 $S B$ 的中点， $A B$ 为底面圆的直径， $S B = 6$ ， $A B = 4$ ，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（）

A、5 B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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2. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架 $A B C D$ ，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是（）

A、四边形 $A B C D$ 由矩形变为平行四边形 B、对角线 $B D$ 的长度减小 C、四边形 $A B C D$ 的面积不变 D、四边形 $A B C D$ 的周长不变

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3. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 ， B C = 4$ ，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $B C$ ， $B D$ 于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 $\frac{1}{2} E F$ 长为半径画弧交于点P，作射线 $B P$ ，过点C作 $B P$ 的垂线分别交 $B D ， A D$ 于点M，N，则 $C N$ 的长为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{11}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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4. 如图，小颖按如下方式操作直尺和含 $30 °$ 角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果 $∠ 1 = 70 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）．

A、 $110 °$ B、 $70 °$ C、 $40 °$ D、 $30 °$

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5. 下列图案中，是中心对称图形．（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，有一张矩形纸片 $A B C D .$ 先对折矩形 $A B C D$ ，使 $A D$ 与 $B C$ 重合，得到折痕 $E F$ ，把纸片展平 $.$ 再一次折叠纸片，使点 $A$ 落在 $E F$ 上，并使折痕经过点 $B$ ，得到折痕 $B M$ ，同时得到线段 $B N$ ， $M N .$ 观察所得的线段，若 $A E = 1$ ，则 $M N =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $1$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $2$

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7. 如图，根据三视图，它是由个正方体组合而成的几何体．（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，按以下步骤作图： $①$ 分别以点 $B$ ， $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径画弧，两弧相交于 $E$ ， $F$ 两点， $E F$ 和 $B C$ 交于点 $O$ ； $②$ 以点 $A$ 为圆心， $A C$ 长为半径画弧，交 $A B$ 于点 $D$ ； $③$ 分别以点 $D$ ， $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 的长为半径画弧，两弧相交于点 $M$ ，连接 $A M$ ， $A M$ 和 $C D$ 交于点 $N$ ，连接 $O N .$ 若 $A B = 9$ ， $A C = 5$ ，则 $O N$ 的长为（）

A、 $2$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $4$ D、 $\frac{9}{2}$

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9. 将含 $60 °$ 角的直角三角板按如图方式摆放，已知 $m ∥ n$ ， $∠ 1 = 20 °$ ，则 $∠ 2 =$ （　　）

A、 $40 °$ B、 $30 °$ C、 $20 °$ D、 $15 °$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ 分别交 $A C ， A B$ 于点D ， E ， $E F ∥ A C$ 交 $B C$ 于点F ， $\frac{A E}{B E} = \frac{2}{5}$ ， $B F = 8$ ，则 $D E$ 的长为（　　）

A、 $\frac{16}{5}$ B、 $\frac{16}{7}$ C、2 D、3

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11. 如图，在 $⊙ O$ 中，直径 $A B$ 与弦 $C D$ 相交于点P，连接 $A C ， A D ， B D$ ，若 $∠ C = 20 °$ ， $∠ B P C = 70 °$ ，则 $∠ A D C =$ （）

A、 $70 °$ B、 $60 °$ C、 $50 °$ D、 $40 °$

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12. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA=OB= $3 \sqrt{5}$ ，点C为平面内一动点，BC= $\frac{3}{2}$ ，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM∶MA=1∶2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（）

A、（ $\frac{3}{5}$ ， $\frac{6}{5}$ ） B、（ $\frac{3}{5} \sqrt{5}$ ， $\frac{6}{5} \sqrt{5}$ ） C、（ $\frac{6}{5}$ ， $\frac{12}{5}$ ） D、（ $\frac{6}{5} \sqrt{5}$ ， $\frac{12}{5} \sqrt{5}$ ）

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13. 如图，在 $3 \times 3$ 的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点 $△ A B C$ 外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{5}{2} π - \frac{7}{4}$ B、 $\frac{5}{2} π - \frac{7}{2}$ C、 $\frac{5}{4} π - \frac{7}{4}$ D、 $\frac{5}{4} π - \frac{7}{2}$

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14. 如图，直线 $y = - \frac{3}{2} x + 3$ 分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转 $90 °$ 得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（）

A、（2，5） B、（3，5） C、（5，2） D、（ $\sqrt{13}$ ， 2）

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15. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ $\overset{⌢}{A C}$ ），点O是这段弧所在圆的圆心，B为 $\overset{⌢}{A C}$ 上一点，OB⊥AC于D. 若AC= $300 \sqrt{3}$ m，BD=150m，则 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为（）

A、 $300 π$ m B、 $200 π$ m C、 $150 π$ m D、 $100 \sqrt{3} π$ m

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16. 如图所示，有一天桥高 $A B$ 为5米， $B C$ 是通向天桥的斜坡， $∠ A C B = 45 °$ ，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使 $∠ D = 30 °$ ，则 $C D$ 的长度约为（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414 ， \sqrt{3} \approx 1.732$ ）（）

A、 $1.59$ 米 B、 $2.07$ 米 C、 $3.55$ 米 D、 $3.66$ 米

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17. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D ， A D ⊥ A B$ ，以 $D$ 为圆心， $A D$ 为半径的弧恰好与 $B C$ 相切，切点为 $E$ ．若 $\frac{A B}{C D} = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n C$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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二、填空题

18. 若正n边形的一个外角为 $72 °$ ，则 $n =$ ．

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19. 如图，将▱ $A B C D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转到▱ $A B' C' D'$ 的位置，使点 $B'$ 落在 $B C$ 上， $B' C'$ 与 $C D$ 交于点 $E .$ 若 $A B = 3$ ， $A D = 4$ ， $B B' = \frac{3}{2}$ ，则 $∠ B A B' =$ $($ 从“ $∠ 1$ ， $∠ 2$ ， $∠ 3$ ”中选择一个符合要求的填空 $)$ ； $D E =$ ．

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20. 《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是尺．

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21.
如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为

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22. 如图，已知点 $A (3 ， 0)$ ，点B在y轴正半轴上，将线段 $A B$ 绕点A顺时针旋转 $120 °$ 到线段 $A C$ ，若点C的坐标为 $(7 ， h)$ ，则 $h =$ ．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A₁B₁C₁位似，原点O是位似中心，且 $\frac{A B}{A_{1} B_{1}} = 3$ ．若A（9，3），则A₁点的坐标是．

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24. 如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30^o ，底部C的俯角为60^o ，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为m．（ $\sqrt{3} \approx 1.73$ ，结果精确到0.1）

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25. 如图，在 $⊙ O$ 中， $O A ⊥ B C ， ∠ A O B = 60 °$ ，则 $∠ A D C$ 的度数为．

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26. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5 ， A D = 4$ ， M是边 $A B$ 上一动点（不含端点），将 $△ A D M$ 沿直线 $D M$ 对折，得到 $△ N D M$ ．当射线 $C N$ 交线段 $A B$ 于点P时，连接 $D P$ ，则 $△ C D P$ 的面积为； $D P$ 的最大值为．

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三、作图题

27. 已知正六边形 $A B C D E F$ ，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．

(1)、在图1中作出以 $B E$ 为对角线的一个菱形 $B M E N$ ；

(2)、在图2中作出以 $B E$ 为边的一个菱形 $B E P Q$ ．

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28. 如图是由小正方形组成的 $8 \times 6$ 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形 $A B C D$ 四个顶点都是格点， $E$ 是 $A D$ 上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

(1)、在图（1）中，先将线段 $B E$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ ，画对应线段 $B F$ ，再在 $C D$ 上画点 $G$ ，并连接 $B G$ ，使 $∠ G B E = 45 °$ ；

(2)、在图（2）中， $M$ 是 $B E$ 与网格线的交点，先画点 $M$ 关于 $B D$ 的对称点 $N$ ，再在 $B D$ 上画点 $H$ ，并连接 $M H$ ，使 $∠ B H M = ∠ M B D$ ．

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四、解答题

29. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于两点 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 4)$ ．

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、已知抛物线上有一点 $P (x_{0} ， y_{0})$ ，其中 $y_{0} < 0$ ，若 $∠ C A O + ∠ A B P = 90 °$ ，求 $x_{0}$ 的值；

(3)、若点 $D$ ， $E$ 分别是线段 $A C$ ， $A B$ 上的动点，且 $A E = 2 C D$ ，求 $C E + 2 B D$ 的最小值．

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30. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $D A$ 和 $⊙ O$ 相交于点 $F$ ， $A C$ 平分 $∠ D A B$ ，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，且 $C D ⊥ D A$ ， $A C$ 交 $B F$ 于点 $P$ ．

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $A C \cdot P C = B C^{2}$ ；

(3)、已知 $B C^{2} = 3 F P \cdot D C$ ，求 $\frac{A F}{A B}$ 的值．

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31. 小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点 $A$ ， $B$ 处测出点 $D$ 的仰角度数，可以求出信号塔 $D E$ 的高．如图， $A B$ 的长为 $5 m$ ，高 $B C$ 为 $3 m$ ．他在点 $A$ 处测得点 $D$ 的仰角为 $45 °$ ，在点 $B$ 处测得点 $D$ 的仰角为 $38.7 °$ ， $A ， B ， C ， D ， E$ 在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔 $D E$ 的高吗？若能，请求出信号塔 $D E$ 的高；若不能，请说明理由．（参考数据： $s i n 38.7 ° \approx 0.625$ ， $c o s 38.7 ° \approx 0.780$ ， $t a n 38.7 ° \approx 0.80$ ，结果保留整数）

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32. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A D$ 的中点，将矩形 $A B C D$ 沿 $B E$ 所在的直线折叠， $C ， D$ 的对应点分别为 $C^{'}$ ， $D^{'}$ ，连接 $A D^{'}$ 交 $B C^{'}$ 于点 $F$ ．

(1)、若 $∠ D E D^{'} = 70 °$ ，求 $∠ D A D^{'}$ 的度数；

(2)、连接EF ，试判断四边形 $C^{'} D^{'} E F$ 的形状，并说明理由．

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33. 为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形 $A B C D$ ，斜面坡度 $i = 3 ： 4$ 是指坡面的铅直高度 $A F$ 与水平宽度 $B F$ 的比．已知斜坡 $C D$ 长度为20米， $∠ C = 18 °$ ，求斜坡 $A B$ 的长．（结果精确到米）（参考数据： $s i n 18 ° \approx 0.31 ， c o s 18 ° \approx 0.95 ， t a n 18 ° \approx 0.32$ ）

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五、实践探究题

34. 【问题呈现】
$△ C A B$ 和 $△ C D E$ 都是直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 ° ， C B = m C A ， C E = m C D$ ，连接 $A D$ ， $B E$ ，探究 $A D$ ， $B E$ 的位置关系．

(1)、如图1，当 $m = 1$ 时，直接写出 $A D$ ， $B E$ 的位置关系：；

(2)、如图2，当 $m \neq 1$ 时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

(3)、【拓展应用】
当 $m = \sqrt{3} ， A B = 4 \sqrt{7} ， D E = 4$ 时，将 $△ C D E$ 绕点C旋转，使 $A ， D ， E$ 三点恰好在同一直线上，求 $B E$ 的长．

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35. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax²（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0， $\frac{1}{4 a}$ ）的距离PF，始终等于它到定直线l：y= $- \frac{1}{4 a}$ 的距离PN　（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y= $- \frac{1}{4 a}$ 叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= $\frac{1}{2 a}$ ．例如，抛物线y=2x² ，其焦点坐标为F（0， $\frac{1}{8}$ ），准线方程为l：y= $- \frac{1}{8}$ ，其中PF=PN，FH=2OF= $\frac{1}{4}$ ．

(1)、【基础训练】请分别直接写出抛物线y= $\frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点坐标和准线l的方程：，；

(2)、【技能训练】如图2，已知抛物线y= $\frac{1}{4} x^{2}$ 上一点P（x₀ ， y₀）（x₀＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；

(3)、【能力提升】如图3，已知抛物线y= $\frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点为F，准线方程为l．直线m：y= $\frac{1}{2} x - 3$ 交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d₁ ，到直线m的距离为d₂ ，请直接写出d₁+d₂的最小值；

(4)、【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y=ax²（a＞0）平移至y=a(x-h)²+k（a＞0）．
抛物线y=a(x-h)²+k（a＞0）内有一定点F（h， $k + \frac{1}{4 a}$ ），直线l过点M（h， $k - \frac{1}{4 a}$ ）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP₁始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y=2(x-1)²+3上的动点P到点F（1， $\frac{25}{8}$ ）的距离等于点P到直线l：y= $\frac{23}{8}$ 的距离．

请阅读上面的材料，探究下题：

如图4，点D（-1， $\frac{3}{2}$ ）是第二象限内一定点，点P是抛物线y= $\frac{1}{4} x^{2}$ -1上一动点．当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积．

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六、综合题

36. 如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 6 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 2 ， 0) ， B (6 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ，连接 $B C$ ．

(1)、抛物线的解析式为；（直接写出结果）

(2)、在图1中，连接 $A C$ 并延长交 $B D$ 的延长线于点 $E$ ，求 $∠ C E B$ 的度数；

(3)、如图2，若动直线 $l$ 与抛物线交于 $M ， N$ 两点（直线 $l$ 与 $B C$ 不重合），连接 $C N ， B M$ ，直线 $C N$ 与 $B M$ 交于点 $P$ ．当 $M N ∥ B C$ 时，点 $P$ 的横坐标是否为定值，请说明理由．

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37. 如图，等腰 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = A C$ ， $B D$ 是边 $A C$ 上的中线，过点 $C$ 作 $A B$ 的平行线交 $B D$ 的延长线于点 $E$ ， $B E$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接 $A E ， F C$ ．

(1)、求证： $A E$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $5$ ， $B C = 6$ ，求 $F C$ 的长．

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38. 如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作 ∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．

(1)、如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；

(2)、如图3，在Rt△APC中，∠A=90°， $A C > A P$ ，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．
①确定△PCF的形状，并说明理由；

②若AP：PB=1：2，BF= $\sqrt{2}$ k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．

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39. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 8$ 过点 $B (4 ， 8)$ 和点 $C (8 ， 4)$ ，与 $y$ 轴交于点 $A$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，连接 $A B ， B C$ ，点 $D$ 在线段 $A B$ 上（与点 $A ， B$ 不重合），点 $F$ 是 $O A$ 的中点，连接 $F D$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ F D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $E F$ ，当 $△ D E F$ 面积是 $△ A D F$ 面积的3倍时，求点 $D$ 的坐标；

(3)、如图2，点 $P$ 是抛物线上对称轴右侧的点， $H (m ， 0)$ 是 $x$ 轴正半轴上的动点，若线段 $O B$ 上存在点 $G$ （与点 $O ， B$ 不重合），使得 $∠ G B P = ∠ H G P = ∠ B O H$ ，求 $m$ 的取值范围．

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40. 如图1，平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 过点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ 和 $C (0 ， 2)$ ，连接 $B C$ ，点 $P (m ， n)$ $(m > 0)$ 为抛物线上一动点，过点 $P$ 作 $P N ⊥ x$ 轴交直线 $B C$ 于点 $M$ ，交 $x$ 轴于点 $N$ ．

(1)、直接写出抛物线和直线 $B C$ 的解析式；

(2)、如图2，连接 $O M$ ，当 $△ O C M$ 为等腰三角形时，求 $m$ 的值；

(3)、当 $P$ 点在运动过程中，在 $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使得以 $O$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的三角形与以 $B$ ， $C$ ， $N$ 为顶点的三角形相似（其中点 $P$ 与点 $C$ 相对应），若存在，直接写出点 $P$ 和点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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