浙江省嘉兴市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-11 类型：期末考试

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一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确，请把正确选项的编码填入答题卷的相应空格，每小题3分，共30分）

1. 任意抛一枚质地均匀的硬币，落地后“正面朝上”这一事件是（）

A、必然事件 B、确定事件 C、随机事件 D、不可能事件

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2. 已知 $b = 2 a$ ，则 $\frac{a + b}{a}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、3

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3. 抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ 的顶点坐标为（）

A、 $(1 ， - 2)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(- 1 ， 2)$ D、 $(- 1 ， - 2)$

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4. 已知 $C$ 是线段 $A B$ 上黄金分割点， $A B = 2$ ， $A C > B C$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、 $3 - \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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5. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O ， A D$ 是 $⊙ O$ 的直径，若 $∠ B = 20 °$ ，则 $∠ C A D$ 的度数为（）

A、 $60 °$ B、 $65 °$ C、 $70 °$ D、 $75 °$

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6. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点 $O$ 为位似中心，在 $y$ 轴右侧作 $△ A B O$ 放大2倍后的位似图形 $△ C D O$ ，若点 $B$ 的坐标为 $(- 1 ， - 2)$ ，则点 $B$ 的对应点 $D$ 的坐标为（）

A、 $(2 ， 4)$ B、 $(3 ， 4)$ C、 $(3 ， 5)$ D、 $(4 ， 3)$

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7. 如图，我国古代数学家赵爽使用的弦图是由四个全等的直角三角形构成的正方形 $A B C D$ ，若 $A F = 4$ ， $B F = 3$ ，在弦图区域内随机取点，则该点落在正方形 $E F G H$ 区域内的概率为（）

A、 $\frac{1}{15}$ B、 $\frac{1}{20}$ C、 $\frac{1}{24}$ D、 $\frac{1}{25}$

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8. 如图，点 $P$ 是等边三角形 $A B C$ 的重心， $A B = 3$ ， $Q$ 是 $B C$ 边上一点，当 $P Q ⊥ B P$ 时，则 $B Q$ 的长为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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9. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 一条弦，将劣弧沿弦 $A B$ 翻折，连结 $A O$ 并延长交翻折后的弧于点 $C$ ，连结 $B C$ ，若 $A B = 2 ， B C = 1$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、 $\frac{2}{3} \sqrt{5}$ B、 $\frac{3}{4} \sqrt{5}$ C、 $\frac{3}{5} \sqrt{5}$ D、 $\frac{5}{7} \sqrt{5}$

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10. 已知二次函数 $y = x^{2} - b x + 1$ ，当 $- \frac{3}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$ 时，函数 $y$ 有最小值 $\frac{1}{2}$ ，则b的值为（）

A、 $- \sqrt{2}$ 或 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{11}{6}$ 或 $\frac{3}{2}$ C、 $\pm \sqrt{2}$ D、 $- \sqrt{2}$ 或 $- \frac{11}{6}$

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二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）

11. 已知正n边形的一个外角是 $72 °$ ，则 $n =$ ．

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12. 如图， $A B$ 与 $C D$ 交于点 $O$ ，连结 $A D$ 和 $B C$ ，要使 $△ A O D ∽ △ B O C$ ，请添加一个条件：．

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13. 一个不透明的箱子里有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除了颜色外其他都相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出的两个球恰好颜色不同的概率为．

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14. 某车的刹车距离 $y (m)$ 与开始刹车时的速度 $x (m / s)$ 满足二次函数 $y = 0.04 x^{2} (x > 0)$ ，若该车某次的刹车距离为 $9 m$ ，则开始刹车时的速度为 $m / s$ ．

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15. 在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x - 3$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $x$ 轴的平行线交抛物线于点 $B$ ，抛物线顶点为 $P$ ．若直线 $O P$ 交直线 $A B$ 于点 $C$ ，且 $4 B C = 3 A B$ ，则 $a$ 的值为．

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16. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 直径， $A B = 2$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，点 $D$ 在直径 $A B$ 上方的半圆上运动，连结 $C D$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，则 $\frac{D E}{C E}$ 的最大值为．

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三、解答题（本题有8小题，第17～22题每题6分，第23、24题每题8分，共52分）

17. 已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + 3$ 的图象经过点 $A (1 ， 4)$ ．

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、判断 $P (2 ， 3)$ 是否在该函数的图象上，并说明理由．

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18. 现有三张正面分别写有1，2，3的不透明卡片，卡片除正面数字外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀．

(1)、从中随机抽取一张卡片，求抽取写有1的卡片的概率；

(2)、从中随机抽取两张卡片，求抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的概率，用列表法或画树状图的方法加以说明．

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19. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点 $A ， B ， C$ 在格点上．

(1)、画出过 $A ， B ， C$ 三点的圆的圆心 $P$ ；

(2)、求 $\overset{⌢}{A C}$ 的长．

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20. 如图，屋架跨度的一半 $O P = 5 m$ ，高度 $O Q = 2.5 m$ ．现要在屋顶上开一个天窗， $A B$ 在水平位置，且 $A B = 2.4 m$ ．求天窗高度 $A C$ 的长．

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21. 如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为 $12 c m$ ，截面中有水部分弓形的高为 $6 c m$ ．

(1)、求截面中弦 $A B$ 的长；

(2)、求截面中有水部分弓形的面积．

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22. 根据以下素材，探索完成任务．

素材1	某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱 $C E$ 和 $D F$ 组成，立柱高为 $1 m$ ，顶棚最高点距离地面 $E F$ 是 $4 m$ ， $E F$ 的长为 $20 m$ ．
素材2	为提高灌溉效率，学校在 $E F$ 的中点 $O$ 处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器 $O A$ ，从喷水口 $A$ 喷出的水流可以看成抛物线，其形状与 $y = - 0.05 x^{2}$ 的图象相同， $O A = 1.45 m$ ，此时水流刚好喷到立柱的端点 $D$ 处．
问题解决
任务1	确定顶棚的形状	以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式．
任务2	探索喷水的高度	问 $O A$ 处喷出的水流在距离 $O$ 点水平距离为多少米时达到最高．
任务3	调整喷头的高度	如何调整喷水口的高度（形状不变），使水流喷灌时恰好落在边缘 $F$ 处．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，且过点 $B (- 1 ， 2)$ ， $C (3 ， 0)$ ．

(1)、求抛物线的函数解析式；

(2)、将抛物线向左平移 $m (m > 0)$ 个单位，当抛物线经过点 $B$ 时，求 $m$ 的值；

(3)、若 $P$ 是抛物线上位于第一象限内的一点，且 $S_{△ A B C} = 2 S_{△ A C P}$ ，求点 $P$ 的坐标．

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24. 如图1，已知 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $G$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 上一点，连结 $A D$ ， $A G$ ， $D G$ ．

(1)、求证： $∠ A G D = ∠ A D C$ ；

(2)、如图2，延长 $A G ， D C$ 相交于点 $F$ ，连结 $C G$ ．
①已知 $A G = 6 ， G F = 4$ ，求 $A D$ 的长；
②记 $D G$ 与 $A B$ 的交点为 $P$ ，若 $A B = 10 ， C D = 8$ ，当 $A G = A P$ 时，求 $\frac{F G}{D G}$ 的值．

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