浙江省宁波市鄞州区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-11 类型：期末考试

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一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 已知 $⊙ O$ 的半径为4，P为 $⊙ O$ 内一点，则OP的长度可能是（）

A、3 B、4 C、5 D、9

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2. 下列事件中，属于必然事件的是（）

A、射击运动员射击一次恰好命中靶心 B、从一副完整的扑克牌中任抽一张，出现红桃A C、抛掷骰子两次，出现数字之和为13 D、观察正常的交通信号灯变化10分钟，看到绿灯

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3. 已知线段 $A B = 1$ ，点C是线段AB的黄金分割点，且 $A C > B C$ ，则线段AC的长是（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{2 - \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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4. 四边形ABCD内接于 $⊙ O$ ， $∠ B = 100 °$ ，则 $∠ D$ 的度数是（）

A、 $60 °$ B、 $80 °$ C、 $100 °$ D、 $120 °$

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5. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的内切圆，AB，AC分别与 $⊙ O$ 相切于D，E两点，已知 $A D = 1$ ， $B C = 7$ ，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、14 B、 $10 \sqrt{2}$ C、16 D、18

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6. 已知 $A (- 1 ， y_{1})$ ， $B (1 ， y_{2})$ ， $C (3 ， y_{3})$ 三点都在抛物线 $y = x^{2} - 3 x + m$ 上，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ C、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ D、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

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7. 如图， $⊙ O$ 的半径为5，弦 $A B = 6$ ，点C在弦AB上，延长CO交 $⊙ O$ 于点D，则CD的取值范围是（）

A、 $6 \leq C D \leq 8$ B、 $8 \leq C D \leq 10$ C、 $9 < C D < 10$ D、 $9 \leq C D \leq 10$

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8. 如图，点G是 $△ A B C$ 的重心，过点G作 $M N ∥ B C$ 分别交AB，AC于点M，N，过点N作 $N D ∥ A B$ 交BC于点D，则四边形BDNM与 $△ A B C$ 的面积之比是（）

A、 $1 ： 2$ B、 $2 ： 3$ C、 $4 ： 9$ D、 $7 ： 9$

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9. 如图是由边长为1的小正方形组成的 $5 \times 3$ 网格， $△ A B C$ 的顶点及点M，N都是格点，AB与格线CN相交于点D，AC与MN相交于点E，则以下说法错误的是（）

A、 $A B = \sqrt{2} M N$ B、 $C E = 2 A E$ C、 $∠ A D E = ∠ C$ D、 $∠ A C B = 45 °$

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10. 如图，正 $△ A B C$ 的边长为1，点P从点B出发，沿 $B \to C \to A$ 方向运动， $P H ⊥ A B$ 于点H，下面是 $△ P H B$ 的面积随着点P的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断正确的是（）

A、函数图象的横轴表示PB的长 B、当点P为BC中点时，点H为线段AB的三等分点 C、两段抛物线的形状不同 D、图象上点的横坐标为 $\frac{3}{4}$ 时，纵坐标为 $\frac{3 \sqrt{3}}{32}$

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二、填空题（每小题4分，共24分）

11. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + 3 x - 1$ 的开口方向是．

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12. 一个布袋里装有3个红球、3个黄球和4个绿球，除颜色外其它都相同，搅匀后，随机摸出一个球是红球的概率为．

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13. $△ A B C$ 的两个锐角 $∠ A$ 和 $∠ B$ 满足 $| s i n A - \frac{1}{2} | + {(t a n B - 1)}^{2} = 0$ ，则 $∠ C$ 的度数是．

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14. 如图，矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形AFED与原矩形ABCD相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是．

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15. 如图1是杭州第19届亚运会会徽一“潮涌”，其主体为图2中的扇环．延长CA，DB交于点O， $∠ A O B = 120 °$ ，若 $A B = 5 \sqrt{3} c m$ ， $A C = 4 c m$ ，则图2中扇环的面积为 $c m^{2}$ （结果保留 $π$ ）

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16. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ， CE是斜边AB上的中线，在直线AB上方作 $△ D E F ∼ △ A B C$ ， DE，FE分别与AC边交于点M，N，当 $△ E M N$ 与 $△ B E C$ 相似时，线段CN长度为．

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三、解答题（17~19题各6分，20~21题各8分，22~23题各10分，24题12分，共66分）

17.

(1)、计算： $2 c o s^{2} 45 ° + t a n 60 ° - 2 s i n 30 °$ ；

(2)、已知 $\frac{a + 1}{2} = \frac{b + 2}{4}$ ，求 $\frac{a - 2 b}{a + b}$ 的值．

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18. 某校团委决定组织部分学生参加主题研学活动，全校每班可推选2名代表参加，901班根据各方面考核，决定从甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽取两名参与研学活动．

(1)、若甲已抽中，求从剩余3名学生中抽中乙参与研学的概率；

(2)、用画树状图或列表等适当的方法求甲和乙同时参与研学的概率．

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19. 在如图所示的平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点都在格点上，以原点O为位似中心，将 $△ A B C$ 放大到2倍得到 $△ D E F$ ．

(1)、在现有网格图中画出 $△ D E F$ ；

(2)、记线段BC的中点为M，求放大后点M的对应点的坐标．

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20. 如图1，沙滩排球比赛中，裁判垂直站在记录台上．如图2是从正面看到的示意图，记录台底部O与垂直地面的球网支架底座E，F在同一水平线上，记录台与左侧球网距离OE为0.5m，裁判观察矩形球网ABCD上点A的俯角 $∠ G P A$ 为42°，已知球网高度AE为2.4m．
（本题参考数值 $s i n 42 ° \approx 0.67$ ， $c o s 42 ° \approx 0.74$ ， $t a n 42 ° \approx 0.90$ ．）

(1)、求裁判员眼睛距离地面的高度PO；

(2)、某次运动员扣球后，球恰好从球网上边缘AD的点Q处穿过，此时裁判员的视线PQ正好看不到球网边界C处（即P，Q，C共线），若球网长度 $A D = 8 m$ ，球网下边缘离地面的距离CF为1.5m，求排球落点处Q离球网边界CD的距离．（结果精确到0.1m）

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21. 如图，AB为 $⊙ O$ 的直径，点P为BA延长线上一点，以点P为圆心，PO为半径画弧，以点O为圆心，AB为半径画弧，两弧相交于点C，连结OC交 $⊙ O$ 于点D，连结PD．

(1)、求证：PD与 $⊙ O$ 相切；

(2)、若 $P D = 4 \sqrt{2}$ ， $c o s ∠ P O C = \frac{1}{3}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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22. 根据以下材料，探索完成任务：

智能浇灌系统使用方案
材料			如图1是一款智能浇灌系统，水管OP垂直于地面并可以随意调节高度（OP最大高度不超过2.4m），浇灌花木时，喷头P处会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流落地点形成一个以点O为圆心，OM为半径的圆形浇灌区域．当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2的抛物线，经测量， $O M = 2 m$ ，水流最高时距离地面0.1m．如图3，农科院将该智能浇灌系统应用于一个长8m，宽6m的矩形试验田中，水管放置在矩形中心O处．
问题解决
任务1	确定水流形状	在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2	探究浇灌最大区域	当调节水管OP的高度时，浇灌的圆形区域面积会发生变化，请你求出最大浇灌圆形区域面积．（结果保留 $π$ ）
任务3	解决具体问题	若要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，则水管OP至少需要调节到什么高度？

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23. 已知二次函数的解析式为 $y = - x^{2} + 2 m x - m^{2} + 4$ ．

(1)、求证：该二次函数图象与x轴一定有2个交点；

(2)、若 $m = 2$ ，点 $M (n ， y_{1})$ ， $N (n + 2 ， y_{2})$ 都在该二次函数的图象上，且 $y_{1} y_{2} < 0$ ，求n的取值范围；

(3)、当 $m - 3 \leq x \leq 5$ 时，函数最大值与最小值的差为8，求m的值．

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24. 如图1， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，直径 $A B = 12$ ，弦 $B C = 6 \sqrt{2}$ ，作弦CD与AB相交于点E．

(1)、如图1，若 $A E = A C$ ，求 $∠ A C D$ 的度数；

(2)、如图2，若 $A E = 4$ ，求CD的长；

(3)、如图3，过点A作CD的平行线交 $⊙ O$ 于点M，连结BD，MC，若 $t a n ∠ A C M = \frac{1}{3}$ ，求 $△ B C D$ 的面积．

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