河南省信阳市淮滨县2023-2024学年下学期入学学情调研测试九年级数学试题

试卷更新日期：2024-03-11 类型：开学考试

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一、单选题（每小题3分，共30分）

1. 下列四个数中，最小的数是（）

A、﹣1 B、0 C、﹣ $\sqrt{2}$ D、2

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2. 2023年2月16日交通运输部发布信息，为期40天的春运于2月15日收官，全国营业性客运量约 $15.95$ 亿人次比2022年同期增长50.5%，数据“ $15.95$ 亿”用科学记数法可表示为（）

A、 $15.95 \times 1 0^{8}$ B、 $15.95 \times 1 0^{9}$ C、 $1.595 \times 1 0^{9}$ D、 $1.595 \times 1 0^{10}$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ B、 $2 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 2$ C、 $3 a^{2} b \cdot 2 a b = 6 a^{3} b^{2}$ D、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$

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4. 如图是几个相同的小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，直线 $A D ∥ B C$ ，若 $∠ 1 = 38 °$ ， $∠ B A C = 74 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $58 °$ B、 $52 °$ C、 $48 °$ D、 $68 °$

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6. 小明得到数学课外兴趣小组成员的年龄情况统计如下表，那么对于不同 $x$ 的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是（）
年龄（岁）
13
14
15
16
人数（人）
2
15
$x$
$10 - x$

A、平均数、方差 B、中位数、方差 C、平均数、中位数 D、众数、中位数

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7. 若事件“关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + 4 x - 1 = 0$ 有实数根”是必然事件，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a < 4$ B、 $a > - 4$ C、 $a \geq - 4$ 且 $a \neq 0$ D、 $a \leq - 4$ 且 $a \neq 0$

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8. 明代程大位有一首类似二元一次方程组的饮酒数学诗，现进行了变式，大意是：好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人，如果29位客人醉倒了，他们总共饮下16瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶?设有好酒 $x$ 瓶，薄酒 $y$ 瓶。依题意，可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 16 \\ \frac{2}{5} x + \frac{2}{3} y = 29 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 16 \\ 2.5 x + \frac{2}{3} y = 29 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 16 \\ 5 x + 3 y = 29 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 16 \\ 2.5 x + \frac{3}{2} y = 29 \end{array}$

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9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．按以下步骤作图：①以点 $C$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $A C$ ， $C B$ 于点 $N$ ， $M$ ；②分别以 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ A C B$ 内交于点 $G$ ；③作射线 $C G$ ．若 $A C = 4$ ， $D$ 为 $A C$ 边的中点， $E$ 为射线 $C G$ 上一动点，则 $A E + D E$ 的最小值为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、5

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10. 在平面直角坐标系中，菱形 $O A B C$ 的位置如图所示，其中点 $B$ 的坐标为 $(- 1 ， 1)$ ，第1次将菱形 $O A B C$ 绕着点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ ，同时扩大为原来的2倍得到菱形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ （即 $O B_{1} = 2 O B$ ），第2次将菱形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕着点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ ，同时扩大为原来的2倍得到菱形 $O A_{2} B_{2} C_{2}$ （即 $O B_{2}$ $= 2 O B_{1}$ ），第3次将菱形 $O A_{2} B_{2} C_{2}$ 绕着点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ ，同时扩大为原来的2倍得到菱形 $O A_{3} B_{3} C_{3}$ （即 $O B_{3} = 2 O B_{2}$ ）…依次类推，则点 $B_{2025}$ 的坐标为（）

A、 $(2^{2025} ， 2^{2025})$ B、 $(2^{507} ， 2^{507})$ C、 $(- 2^{2005} ， 2^{2025})$ D、 $(- 2^{2025} ， - 2^{2025})$

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二、填空题（每小题3分，共15分）

11. 请写出一个当 $x > 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小的函数表达式：。

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12. 不等式组 ${\begin{array}{l} 5 x - 2 > 3 x - 4 \\ \frac{1}{3} x \geq x - \frac{2}{3} \end{array}$ 的最大整数解为.

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13. 将标有“中”“华”“崛”“起”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出两个球，则摸到的球上的汉字可以组成“中华”的概率是．

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14. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在 $⊙ O$ 上，边AB、AC分别交 $⊙ O$ 于D、E两点﹐点B是 $\overset{⌢}{C D}$ 的中点，则∠ABE=.

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15. 如图是一张菱形纸片， $∠ D A B = 60 °$ ， $A B = 5$ ，点 $E$ 在边 $A D$ 上，且 $D E = 2$ ，点 $F$ 在 $A B$ 边上，把 $△ A E F$ 沿直线 $E F$ 对折，点 $A$ 的对应点为点 $A ′$ ，当点 $A ′$ 落在菱形对角线上时，则 $A F =$ 。

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三、解答题（本大题共8题，共75分）

16.

(1)、计算： $\sqrt[3]{8} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - t a n 45 ° - (2023 - π)^{0}$ ；

(2)、化简： $(\frac{9 x + 9}{x - 3} + x) \div \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 6 x + 9}$

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17. 青春是校园生活的主旋律，某学校为了丰富学生的课余生活，焕发青春活力，激励学生成长，推动校园文化建设，开展了一次“美好青春，和谐校园”的校歌比赛，并在九（1）班和九（2）班各随机抽取了10名同学参加。
比赛成绩收集、整理如下：
九（1）班成绩：9 9.5 9 9 8 10 9 8 4 9.5
九（2）班成绩：
成绩
6
8
8.5
9
9.5
10
人数
2
1
3
1
2
1
比赛成绩分析：

平均数
中位数
众数
九（1）班
8.5
9
c
九（2）班
a
b
8.5
根据以上信息，同答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、如果你是评委，请根据以上数据，判断两个班中哪个班的校歌歌唱水平比较好？并说明理由。

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18. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点O为 $A B$ 边上一点，以 $O A$ 为半径的 $⊙ O$ 与 $B C$ 相切于点D，分别交 $A B ， A C$ 边于点E，F。

(1)、求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ；

(2)、若 $A C = 6 ， t a n ∠ C A D = \frac{1}{2}$ ，求 $A E$ 的长。

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19. 如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC＝12cm。

(1)、当PA＝45cm时，求PC的长；

(2)、若∠AOC＝120°，求PC的长．（结果精确到0.1cm，参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.414， $\sqrt{3}$ ≈1.732）

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20. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型。已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个。

(1)、“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？

(2)、飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元．设购买“神舟”模型 $a$ 个，销售这批模型的利润为 $w$ 元。
①求 $w$ 与 $a$ 的函数关系式（不要求写出 $a$ 的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的 $\frac{1}{3}$ ，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？

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21. 如图，反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 的图象与一次函数 $y = k_{2} x + b$ 的图象交于第二象限的点 $A$ 、点 $B$ ，与 $x$ 轴交于点 $C$ ，其中点 $A$ 的坐标为 $(- 1 ， 2)$ ，点 $B$ 的到 $y$ 轴的距离为 $2$ ．

(1)、试确定反比例函数的关系式；

(2)、请用无刻度的直尺和圆规作出点 $O$ 关于直线 $y = k_{2} x + b$ 的对称点 $O^{'}$ （要求：不写作法，保留作图痕迹）；

(3)、点 $O$ ， $A$ ， $B$ 与（2）中的点 $O^{'}$ ，组成四边形 $O A O^{'} B$ ．求证：四边形 $O A O^{'} B$ 是菱形。

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，二次函数 $y = a x^{2} + 2 a x + c$ 的图象与一次函数 $y = - 2 x + b$ 的图象交于点 $A (1 ， 0)$ 和点B，点B为二次函数图象的顶点。

(1)、求二次函数和一次函数的解析式；

(2)、结合图象直接写出不等式 $a x^{2} + 2 a x + c > - 2 x + b$ 的解集；

(3)、点M为二次函数 $y = a x^{2} + 2 a x + c$ 图象上的一个动点，且点M的横坐标为m，将点M向右平移1个单位长度得到点N．若线段 $M N$ 与一次函数图象有交点，直接写出点M横坐标m的取值范围。

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23. 已知点C为 $△ A B C$ 和 $△ C D E$ 的公共顶点，将 $△ C D E$ 绕点C顺时针旋转 $α (0 ° < a < 360 °)$ ，连接 $B D$ ， $A E$ ，请完成如下问题：

(1)、如图1，若 $△ A B C$ 和 $△ C D E$ 均为等边三角形，①线段 $B D$ 与线段 $A E$ 的数量关系是；②直线 $B D$ 与直线 $A E$ 相交所夹锐角的度数是；
类比探究：

(2)、如图2，若 $∠ A B C = ∠ E D C = 90 °$ ， $∠ A C B = ∠ E C D = 60 °$ ，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由；

(3)、拓展应用：如图3，若 $∠ B A C = ∠ D E C = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $C E = D E$ ， $B C = 2 C D = 2 \sqrt{2}$ ，当点B，D，E三点共线时，请直接写出 $B D$ 的长.

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	平均数	中位数	众数
九（1）班	8.5	9	c
九（2）班	a	b	8.5

年龄（岁）	13	14	15	16
人数（人）	2	15	$x$	$10 - x$

成绩	6	8	8.5	9	9.5	10
人数	2	1	3	1	2	1