陕西省西安市阎良区重点中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

试卷更新日期：2024-03-11 类型：开学考试

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一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）

1. 下列事件中，属于随机事件的是（）

A、小明跑步的速度是30米/秒 B、冬冬一分钟跳绳66下 C、等腰三角形中有两边相等 D、任意抛掷一枚骰子，点数大于6

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2. 下面是四种火锅的平面设计图，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 若 $x = 1$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + m x + 9 = 0$ 的一个根，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 10$ B、 $- 9$ C、10 D、9

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4. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，连接 $O A 、 O C$ ，若 $∠ A O C = 88 °$ ，则 $∠ A B C$ 的度数是（）

A、 $122 °$ B、 $128 °$ C、 $132 °$ D、 $136 °$

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5. 已知点 $A (x_{1} ， y_{1}) 、 B (x_{2} ， y_{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图象上，若 $x_{1} > x_{2} > 0$ ，则 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} = y_{2}$ B、 $y_{1} < y_{2}$ C、 $y_{1} > y_{2}$ D、无法确定

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ A D E$ ，连接 $B D$ ，若 $A C = 3 ， D E = 1$ ，则线段 $B D$ 的长为（）

A、6 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $4 \sqrt{5}$ ． D、 $2 \sqrt{10}$

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7. 如图的工件槽的两个底角均为 $90 °$ ，尺寸如图（单位 $c m$ ），将形状规则的圆形铁片（如图所示）放入槽内，若同时有 $A ， B ， E$ 三个接触点，则该圆形铁片的半径是（）

A、 $10 c m$ B、 $12 c m$ C、 $18 c m$ D、 $20 c m$

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8. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 a x - 8$ 经过 $(- 3 ， m)$ 和 $(5 ， m)$ ，则抛物线的最低点的坐标为（）

A、 $(- 2 ， 0)$ B、 $(2 ， - 8)$ C、 $(- 1 ， 9)$ D、 $(1 ， - 9)$

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二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9. 一元二次方程 $x^{2} - 1 = 3$ 的根为．

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10. 如图， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 为一个正多边形的顶点， $O$ 为正多边形的中心，若 $∠ A D B = 20 °$ ，则这个正多边形的边数为．

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11. 在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共40个，除颜色外其他完全相同，任意摸出一个球，记下颜色，放回后搅匀，重复上述过程，通过多次摸球试验后，摸到红色、黑色小球的频率分别稳定在0.25和0.45，则口袋中白球的个数可能是．

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12. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(- 8 ， 6) ， A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，连接 $O A$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 与 $△ A O B$ 的两条边 $O A ， A B$ 分别交于 $D 、 C$ 两点，若点 $D$ 是 $O A$ 的中点，连接 $O C$ ，则 $△ B O C$ 的面积为．

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， ∠ A B C = 30 ° ， A C = 6$ ，点 $P$ 是线段 $A B$ 上一动点，将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转，得到 $△ A_{1} B_{1} C$ ，点 $E$ 是线段 $A_{1} C$ 的中点，则 $P E$ 长度的最小值为．

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三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）

14. 解方程： $x^{2} - 2 x = 4 x - 5$ ．

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15. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $⊙ O$ 上的一点，连接 $O C ， B C$ ，若 $∠ B C O = 35 ° ， A O = 2$ ，求 $\overset{⌢}{B C}$ 的长．（结果保留 $π$ ）

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16. 如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：2，3，4，5，6，7．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止（若停止后指针指向分割线，则重新转）．

(1)、当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是多少？

(2)、当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？

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17. 如图， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径， $O P$ 是半圆 $O$ 的一条半径，利用尺规作图法在 $\overset{⌢}{P B}$ 上求作一点 $C$ ，连接 $P C ， O C$ ，使得 $∠ O C P = ∠ A O P$ ．（不写作法，保留作图痕迹）

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18. 如图，将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转得到 $△ D E C$ ，使点 $A$ 的对应点 $D$ 落在边 $B C$ 上．若 $∠ A = 70 ° ， ∠ A B C = 30 °$ ，连接 $B E$ ，求 $∠ C B E$ 的度数．

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19. 北京时间2023年12月27日14时50分，我国在酒泉卫星发射中心使用快舟一号甲运载火箭，成功将天目一号气象星座1922星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．小明和小亮对航天知识都非常感兴趣，他们在中国载人航天网站上了解到，航天知识分为“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”等模块．他们决定从“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”四个模块中各自随机选择一个进行学习，设这四个模块依次为 $A 、 B 、 C 、 D$ ．

(1)、小明选择学习“梦圆天路”模块的概率为；

(2)、请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选择不同模块的概率．

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20. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点 $A$ 的坐标为 $(- 4 ， 4)$ ．

(1)、以 $O$ 为旋转中心，将 $△ A B C$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $A 、 B 、 C$ 的对应点分别为 $A_{1} 、 B_{1} 、 C_{1}$ ；

(2)、在（1）的条件下，写出点 $B_{1}$ 的坐标．

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21. 若以30升/分钟的速度向一个空水池内注水，40分钟可以注满水池，设注水的速度为 $m$ 升/分钟，注满水池需要 $t$ 分钟．

(1)、写出 $t$ 与 $m$ 之间的函数关系式；

(2)、若小明的爸爸用24分钟就将这个空水池注满水，求注水的速度．

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22. 陕西肉夹馍全国闻名，某小吃店平均每天可卖出150个肉夹馍，卖出1个肉夹馍的利润是6元．经调查发现，每个肉夹馍每降价0.5元，平均每天可多卖出25个，为了使每天获取的利润更多，该小吃店决定把零售单价适当下调．在不考虑其他因素的条件下，求降价多少元时，能保证该小吃店每天获取的利润是1000元且卖出的肉夹馍更多？

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23. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 m x + m + 2$ （ $m$ 是常数）．

(1)、求证：该抛物线的顶点在函数 $y = - x^{2} + x + 2$ 的图象上；

(2)、若点 $B (2 ， a) ， C (5 ， b)$ 在该抛物线上，且 $a > b$ ，求 $m$ 的取值范围．

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24. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的弦， $C D ⊥ A B$ ，垂足是点 $H$ ，过点 $C$ 作直线 $C E$ 交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，且 $∠ E C D = 2 ∠ B A C$ ．

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、如果 $A B = 10 ， C D = 6$ ，求 $A C$ 的长．

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25. 图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡 $O A$ 的底部点 $O$ 处，石块从投石机竖直方向上的点 $C$ 处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是 $(50 ， 25) ， O C = 5$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在斜坡上的点 $A$ 处建有垂直于水平线 $O D$ 的城墙 $A B$ ，且 $O D = 75 ， A D = 12 ， A B = 9$ ，点 $D 、 A 、 B$ 在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙 $A B$ ．

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26. 【定义新知】
如图1， $C ， D$ 是 $⊙ O$ 上两点，且在直径 $A B$ 的上方，若直径 $A B$ 上存在一点 $P$ ，连接 $C P 、 D P$ ，满足 $∠ A P C = ∠ B P D$ ，则称 $∠ C P D$ 是 $\overset{⌢}{C D}$ 的“幸运角”．

(1)、【问题探究】如图2， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C E ⊥ A B ， D$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 上的一点，连接 $D E$ 交 $A B$ 于点 $P$ ，连接 $C P$ ．
① $∠ C P D$ 是 $\overset{⌢}{C D}$ 的“幸运角”吗？请说明理由；
②设 $\overset{⌢}{C D}$ 所对的圆心角为 $n$ ，请用含 $n$ 的式子表示 $\overset{⌢}{C D}$ 的“幸运角”的度数；

(2)、【拓展延伸】如图3，在（1）的条件下，若直径 $A B = 10$ ， $\overset{⌢}{C D}$ 的“幸运角”为 $90 °$ ， $D E = 8$ ，求 $C E$ 的长．

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