广东省深圳市南外集团华侨城中学2023-2024学年九年级下学期开学开学数学试题

试卷更新日期：2024-03-11 类型：开学考试

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一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1. $- \frac{1}{7}$ 的相反数是（）

A、7 B、-7 C、 $\frac{1}{7}$ D、 $- \frac{1}{7}$

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2. 如图所示，该几何体的左视图是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（）
时间/小时
7
8
9
10
人数
7
9
11
3

A、9，8 B、9，8.5 C、10，9 D、11，8.5

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4. 中国工程院院士、世界杂交水稻之父袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，为中国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出杰出贡献.2021年，全国粮食再获丰收，全年粮食总产量达到13 657亿斤，粮食产量连续7年稳定在1.3万亿斤以上．将13 657用科学记数法表示应为（）

A、 $0.13657 \times 1 0^{5}$ B、 $1.3657 \times 1 0^{5}$ C、 $13.657 \times 1 0^{3}$ D、 $1.3657 \times 1 0^{4}$

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $a + a^{2} = a^{3}$ B、 $(a b)^{2} = a b^{2}$ C、 $a^{5} \div a^{3} = a^{2}$ D、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$

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6. 不等式组 ${\begin{array}{l} x > 1 \\ 3 - x \geq 1 \end{array}$ 的解集在数轴上表示为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 将一副直角三角尺放在长方形纸片上，按如图所示方式摆放，若∠1＝30°，则∠2的度数是（）

A、60° B、65° C、75° D、80°

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8. 下列命题是假命题的是（）

A、有一组邻边相等的矩形是正方形 B、对角线互相平分的四边形是平行四边形 C、有三个角是直角的四边形是矩形 D、有一组邻边相等的四边形是菱形

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9. 在学习完“垃圾分类”的相关知识后，小明和小丽一起收集了一些废电池，小明说：“我比你多收集了7节废电池啊！”小丽说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”．如果他们说的都是真的，设小明收集了x节废电池，小丽收集了y节废电池，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} x - y = 7 \\ x - 8 = 2 (y - 8) \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x - y = 7 \\ 2 (x - 8) = y + 8 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x - y = 7 \\ 2 (x - 8) = y \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y - x = 7 \\ x + 8 = 2 (y - 8) \end{array}$

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10. 已知点 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2}) (x_{1} < x_{2})$ 在 $y = - x^{2} + 2 x + m$ 的图象上，下列说法错误的是（）

A、当 $m > 0$ 时，二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + m$ 与x轴总有两个交点 B、若 $x_{2} = 2$ ，且 $y_{1} > y_{2}$ ，则 $0 < x_{1} < 2$ C、若 $x_{1} + x_{2} > 2$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ D、当 $- 1 \leq x \leq 2$ 时，y的取值范围为 $m - 3 \leq y \leq m$

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二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

11. 因式分解： $2 x^{2} - 2 =$ ；

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12. 为了解某市中学生上学采用的交通方式的情况，某数学兴趣小组进行了问卷调查，共收回300份有效调查问卷．分析统计后形成如下统计表：
采用的交通方式
公交车
自行车
私家车
走路
人数
81
39
120
60
根据以上调查结果，试估计从该市随机抽查900名中学生中采用的交通方式为“自行车”的中学生大约为人．

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13. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围为．

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14. 如图，正方形ABCD的边长为3，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （x＜0）的图象经过点B和CD边中点E，则k的值为．

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15. 如图正方形 $A B C D$ 的边长为3，E是 $B C$ 上一点且 $C E = 1$ ， F是线段 $D E$ 上的动点．连接 $C F$ ，将线段 $C F$ 绕点C逆时针旋转 90°得到 $C G$ ，连接 $E G$ ，则 $E G$ 的最小值是．

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三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）

16. 计算： $- 1^{2024} + \sqrt[3]{- 8} + 3 t a n 45 ° - | 2 - \sqrt{3} |$ ．

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17. 先化简，再求值： $(\frac{1}{a - 2} + 1) \div \frac{(a^{2} - 1)}{a^{2} - 4 a +4}$ ，其中 $a = 3$

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18. 某中学全校学生参加了“防溺水”安全知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A： $60 \leq x < 70$ ；B： $70 \leq x < 80$ ；C： $80 \leq x < 90$ ；D： $90 \leq x \leq 100$ ，并绘制出如下不完整的统计图．

(1)、本次被抽取的学生人；

(2)、C组所占扇形的圆心角度数为；

(3)、若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在D： $90 \leq x \leq 100$ 组的学生有多少人？

(4)、该校准备从上述D组的五名学生中选取两人参加蓝山县矩形的“防溺水”安全知识竞赛，已知这五人中有三名男生（用 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 表示），两名女生（用 $B_{1}$ ， $B_{2}$ 表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到2名男生的概率．

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19. 函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索.画函数

y = - 2 | x |

的图象，经历列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数

y = - 2 | x | + 2

和

y = - 2 | x + 2 |

的图象如图所示.

x	…	-3	-2	-1	0	1	2	3	…
$y = - 2 \| x \|$	…	-6	-4	-2	0	-2	-5	-6	…

(1)、观察发现：函数

y = - 2 | x |

图象的顶点（最高点）坐标是，函数

y = - 2 | x | + 2

图象的顶点坐标是，函数

y = - 2 | x + 2 |

图象的对称轴是.

(2)、探索思考：平移函数

y = - 2 | x |

的图象是否可以得到函数

y = - 2 | x | + 2

和

y = - 2 | x + 2 |

的图象？如果可以，分别写出平移的方向和距离.如果不行，请说明理由.

(3)、拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数

y = - 2 | x - 3 | + 1

的图象.若点（

x_{1}

，

y_{1}

）和（

x_{2}

，

y_{2}

）在该函数图象上，且

x_{2} > x_{1} > 3

，比较

y_{1}

，

y_{2}

的大小.

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20. 某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．

(1)、求第二批每个挂件的进价；

(2)、两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，则每周多卖10个．求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少?

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21. 综合与实践
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，已知三只蚂蚁A、 $B$ 、 $C$ 在半径为 $1$ 的 $⊙ O$ 上静止不动，第四只蚂蚁 $P$ 在 $⊙ O$ 上的移动，并始终保持 $∠ A P C = ∠ C P B = 60 °$ ．

(1)、请判断 $△ A B C$ 的形状；“数学希望小组”很快得出结论，请你回答这个结论： $△ A B C$ 是三角形；

(2)、“数学智慧小组”继续研究发现：当第四只蚂蚁 $P$ 在 $⊙ O$ 上的移动时，线段 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 三者之间存在一种数量关系：请你写出这种数量关系： ▲ ，并加以证明；

(3)、“数学攀峰小组”突发奇想，深入探究发现：若第五只蚂蚁 $M$ 同时随着蚂蚁 $P$ 的移动而移动，且始终位于线段 $P C$ 的中点，在这个运动过程中，线段 $B M$ 的长度一定存在最小值，请你求出线段 $B M$ 的最小值是（不写解答过程，直接写出结果）．

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22.

(1)、【方法尝试】
如图1，矩形 $A B F C$ 是矩形 $A D G E$ 以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转 $90 °$ 所得的图形， $C B 、 E D$ 分别是它们的对角线．则 $C B$ 与 $E D$ 数量关系，位置关系；

(2)、【类比迁移】
如图2，在 $R t △ A B C$ 和 $R t △ A D E$ 中， $∠ B A C ＝ ∠ D A E = 90 ° ， A C = 9 ， A B = 6 ， A E = 3 ， A D = 2$ ．将 $△ D A E$ 绕点A在平面内逆时针旋转，设旋转角 $∠ B A E$ 为α（ $0 ° \leq α < 360 °$ ），连接 $C E ， B D$ ．请判断线段 $C E$ 和 $B D$ 的数量关系和位置关系，并说明理由；

(3)、【拓展延伸】
如图3，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A B = 6$ ，过点A作 $A P ∥ B C$ ，在射线 $A P$ 上取一点D，连接 $C D$ ，使得 $t a n ∠ A C D = \frac{3}{4}$ ，请求线段 $B D$ 的最大值．

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采用的交通方式	公交车	自行车	私家车	走路
人数	81	39	120	60

时间/小时	7	8	9	10
人数	7	9	11	3