黑龙江省哈尔滨市重点学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

试卷更新日期：2024-03-11 类型：开学考试

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一、选择题（每题3分，共计30分）

1. 下列各数中，是有理数的是（）．

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt[3]{8}$ C、 $π$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 下列计算正确的是（　　）

A、 $3 x - 2 x = 1$ B、 $x \cdot (- x) = - x^{2}$ C、 $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ D、 $(- a^{2})^{2} = - a^{4}$

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3. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图是几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 在一个不透明的盒子中，装有质地、大小一样的白色乒乓球2个，黄色乒乓球3个，随机摸出一个球，摸到黄色乒乓球的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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6. 数据显示快递业务逐年增加，2021年至2023年快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元，设2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为 $x$ ，则可列方程为（）．

A、 $5000 (1 + 2 x) = 7500$ B、 $5000 \times 2 (1 + x) = 7500$ C、 $5000 (1 + x)^{2} = 7500$ D、 $5000 + 5000 (1 + x) + 5000 (1 + x)^{2} = 7500$

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7. 如图，AB为 $⊙ O$ 的直径，CD是 $⊙ O$ 的切线，切点为 $C$ ，连接AC，若 $∠ B A C = 40 °$ ，则 $∠ A C D$ 的度数为（）．

A、30° B、40° C、50° D、60°

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8. 已知点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{1 - 2 m}{x}$ 的图象上，当 $x_{1} < x_{2} < 0$ 时，有 $y_{1} > y_{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是（）．

A、 $m < 0$ B、 $m > 0$ C、 $m < \frac{1}{2}$ D、 $m > \frac{1}{2}$

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9. 如图，点 $E$ 是□ABCD的边BA延长线上一点，连接CE，交边AD于点F，则下列各式正确的是（）

A、 $\frac{A F}{D F} = \frac{A E}{B E}$ B、 $\frac{D F}{E F} = \frac{C F}{A F}$ C、 $\frac{A B}{A E} = \frac{D F}{B C}$ D、 $\frac{D F}{B C} = \frac{C F}{C E}$

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10. 春节假期，小星一家从家出发驾车前往某景点旅游，在行驶过程中，汽车离景点的路程y（km）与所有时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、小星家离景点的路程为50km B、小星从家出发第1小时的平均速度为75km/h C、小星从家出发2小时离景点的路程为125km D、小星从家到景点的时间共用了3h

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二、填空题（每题3分，共计30分）

11. 在百度中搜索“龘龘”，能搜到与之相关的结果个数约为226000，这个数用科学记数法表示为．

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12. 函数 $y = \sqrt{x + 1}$ 的自变量x的取值范围是

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13. 计算 $\sqrt{54} - \sqrt{6}$ 的结果是．

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14. 分解因式 $16 m^{2} - 4 =$ ．

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15. 抛物线 $y = - 3 (x - 1)^{2} + 1$ 与 $y$ 轴的交点坐标是．

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16. 不等式组 ${\begin{array}{l} 1 - 2 x > 5 \\ 3 x - 2 < 7 \end{array}$ 的解集是：．

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17. 一个扇形的圆心角是 $150 °$ ，弧长是 $\frac{5}{2} π c m$ ，则扇形的半径是cm．

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18. 观察如图所示的三角形数阵，则第7行的最后一个数是．

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19. 点O是正方形ABCD的对角线AC、BD交点， $A C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $F$ 在BC边上，连接OF， $O F = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则BF的长为．

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20. 已知等腰直角 $△ A B C$ ， $A C = B C$ ， $A D ⊥ A C$ ， $C E = E F$ ，延长EF交BA延长线于点 $G$ ，若 $G F = C D$ ， $A B = 6$ ， $A F = 2 \sqrt{2}$ ，则GB的长为．

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三、解答题（21、22题每题7分，23、24题每题8分，25、26、27题每题10分，共计60分）

21. 先化简，再求代数式 $(\frac{3}{x + 2} - 1) \div \frac{x^{2} - 1}{x + 2}$ 值，其中 $x = 4 s i n 45 ° - 2 c o s 60 °$ ．

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22. 如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点， $△ A B C$ 的三个顶点均在格点上，点 $E$ 为AB中点，请按要求完成作图：

(1)、作线段EF，使得 $E F = A B$ ，且 $E F ⊥ A B$ ，点 $F$ 在格点上；

(2)、作线段EG，使得EG平分线段BC，点 $G$ 在格点上；

(3)、连接线段FG，直接写出线段FG的长．

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23. 为了解春节期间游客对我市冰雪旅游服务满意度，从中随机抽取部分游客进行调查，调查结果为：A．非常满意；B．满意；C．基本满意：D．不满意四个等级．请根据如图所示的两幅不完整的统计图中信息，回答下列问题：

(1)、抽样调查共抽取游客多少人？

(2)、请通过计算补全条形统计图，并直接写出A等级所在扇形统计图的圆心角度数；

(3)、春节期间累计接待游客120万人次，请你估计对服务表示不满意的游客有多少万人次？

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24. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ 是BC的中点， $E$ 是AD的中点，过点 $A$ 作 $A F ∥ B C$ 交CE的延长线于点 $F$ ，连接BF．

(1)、求证：四边形ADBF是菱形；

(2)、若四边形ADBF面积为S，请直接写出图中，面积为 $\frac{1}{4} S$ 的所有三角形．

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25. 某水果商从批发市场用16000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元．

(1)、大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？

(2)、在运输过程中大樱桃损耗了 $15 %$ ，若大樱桃售价为每千克80元，要使此次销售获利不少于6700元，则小樱桃的售价最少应为每千克多少元？

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26. 如图1， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形，点 $D$ 在 $⊙ O$ 上， $A$ 是弧BD的中点，点 $E$ 在BC上，连接BD、AE，BD与AE于点 $F$ ， $∠ A E B = ∠ B A C$ ．

(1)、求证： $A F = B F$ ；

(2)、如图2，延长AE交 $⊙ O$ 于点 $G$ ，连接AO，交BD于点 $H$ ，求证： $A G = 2 D H$ ；

(3)、如图3，在（2）的条件下，作直径BM交AG于点 $K$ ，连接AM交BD于点 $N$ ，当AC是 $⊙ O$ 的直径时， $M N = 2 \sqrt{5} K F$ ， $E G = 3$ ，求弦BC的长．

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27. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b$ 与 $x$ 轴交于A、B两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $A$ 的坐标是 $(2 ， 0)$ ，点 $C$ 的坐标是 $(0 ， 4)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图2，点 $P$ 是第四象限内抛物线上一点，连接PB交 $y$ 轴于点 $E$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ，线段CE的长为 $d$ ，求 $d$ 与 $t$ 之间的函数关系式，并直接写出自变量 $t$ 的取值范围；

(3)、如图3，点 $D$ 是第三象限内抛物线上一点，连接PD交 $y$ 轴于点 $F$ ，过点 $D$ 作 $D M ⊥ B P$ 于点 $H$ ，交 $x$ 轴于点 $M$ ，连接AD交BP于点 $N$ ，连接MN，若 $E F = \frac{d}{2}$ ， $∠ B N D = ∠ A N M$ 时，求点 $P$ 的坐标．

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