吉林省四平市公主岭市2023-2024学年度九年级上学期期末考试试卷

试卷更新日期：2024-03-11 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1. 要使二次根式 $\sqrt{x - 1}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \geq 1$ B、 $x > 1$ C、 $x \geq - 1$ D、 $x > - 1$

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2. 若一元二次方程（x+6）²＝64可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6＝8，则另一个一元一次方程是（　　）

A、x﹣6＝﹣8 B、x﹣6＝8 C、x+6＝8 D、x+6＝﹣8

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3. 若 $△ A B C ∽ △ D E F$ ，相似比为 $3 ： 1$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 的周长的比为（）

A、 $3 ： 1$ B、 $6 ： 1$ C、 $9 ： 1$ D、 $12 ： 1$

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，则 $s i n A$ 等于（）

A、 $\frac{A C}{A B}$ B、 $\frac{B C}{A C}$ C、 $\frac{B C}{A B}$ D、 $\frac{A B}{B C}$

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5. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $a > 0$ B、 $b > 0$ C、 $c > 0$ D、 $b^{2} - 4 a c < 0$

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6. 在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是（　　）

A、10 B、14 C、16 D、40

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7. 如图， $a / / b / / c ， A B = 6 ， B C = 2 ， D E = 9$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、4 B、3 C、2.5 D、2

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8. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象，使 $y \geq - 1$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \geq - 1$ B、 $x \leq - 1$ C、 $- 1 \leq x \leq 3$ D、 $x \leq - 1$ 或 $x ≥ 3$

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9. 计算：( $- \sqrt{5}$ )²=。

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10. 一元二次方程 $x^{2} - x - 3 = 0$ 根的判别式的值是．

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11. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的函数值 $y$ 与自变量 $x$ 的部分对应值如下表：
$x$
…
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
…
$y$
…
8
3
0
$- 1$
0
3
…
则这个二次函数图象的对称轴是直线．

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12. 一个口袋中装有两个红球，一个白球，从口袋中随机摸出两球．若规定：是同一颜色，甲获胜；不是同一颜色，乙获胜，则可知甲、乙两人中获胜的机会大．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 是边 $A B$ 的中点，若 $B D = 5 ， B C = 6$ ，则 $A C =$ ．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 40 °$ ，点 $D$ 是边 $A C$ 上的动点（点 $D$ 不与点 $A ， C$ 重合），当 $∠ B D C =$ 度时， $△ A B C ∽ △ B D C$ ．

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三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15. 计算： $(\sqrt{24} - \sqrt{6})$ ÷ $\sqrt{3} + \sqrt{\frac{1}{2}}$

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16. 解方程： $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ .

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17. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形．

(1)、在图②网格中，画一个与图① $△ A B C$ 相似的 $△ D E F$ （要求： $△ D E F$ 不与 $△ A B C$ 全等）．

(2)、在图③中，以 $O$ 为位似中心，画一个 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，使它与 $△ A B C$ 的位似比为 $2 ： 1$ ．

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18. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州亚运会的吉祥物是“宸宸”“琮琮”、“莲莲”．将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上，洗匀（图案为吉祥物是“宸宸”“琮琮”“莲莲”的三张卡片分别记为 $A 、 B 、 C$ ）

(1)、若从中任意抽取一张，抽到卡片上的图案恰好为“莲莲”是（填“不可能事件”“随机事件”或“必然事件”）

(2)、若先从中随机抽取一张卡片记下图案后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，请用画树状图（或列表）的方法，求抽到的两张卡片图案不同的概率．

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19. 如图，利用一面墙（墙的长度为20米），用34米长的篱笆围成两个鸡场．中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1米宽的门，若两个鸡场总面积为96平方米，求AB的长．

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20. 在公主岭南站的公主故里广场，有一尊标志性的大清固伦和敬公主雕像，某“数学综合与实践”小组通过实地测量（如示意图）和查阅资料，得到了以下信息：
信息一：雕塑底座高 $B C$ 为 $3.05$ 米．
信息二：在P处用测角仪测得雕像最高点 $A$ 仰角为 $51 °$ ，雕塑底座最高点 $B$ 的仰角为 $14 °$ ．
信息三：点 $A 、 B 、 C$ 在垂直地面的同一条直线上.
信息四：参考数据 $t a n 51 ° \approx 1.23$ ， $t a n 14 ° \approx 0.25$ ．
请根据以上信息，求公主雕像 $A B$ 的高度（精确到米）．

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21. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．

(1)、建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；

(2)、当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？

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22.

(1)、【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2如图，在 $△ A B C$ 中， $D 、 E$ 分别是边 $B C 、 A B$ 的中点， $A D 、 C E$ 相交于点 $G$ ．求证： $\frac{G E}{C E} = \frac{G D}{A D} = \frac{1}{3}$ ．
证明：连接 $E D$ ．
请根据教材提示，写出完整的证明过程．

(2)、【结论应用】如图，在 $△ A B C$ 中， $D 、 E$ 分别是边 $B C 、 A B$ 的中点， $A D 、 C E$ 相交于点 $O$ ， $O F ∥ A C$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，则 $D F ： B C =$ ．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 4 ， B C = 3 ， A B = 5$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A C$ 以每秒2个单位长度的速度向终点 $C$ 匀速运动，同时动点 $Q$ 从点 $C$ 出发，沿 $C B$ 以每秒1个单位长度的速度向点 $B$ 匀速运动，当点 $P$ 到达终点时，点 $Q$ 也随之停止运动．当点 $P$ 不与点 $A 、 C$ 重合时，连接 $P Q$ ．作线段 $P Q$ 的垂直平分线交折线 $A C - C B$ 于点 $D$ ，交 $P Q$ 于点 $E$ ，连接 $C E$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ （秒）．

(1)、线段 $C P$ 的长度为（用含 $t$ 的代数式表示）．

(2)、当 $P Q$ 与 $A B$ 平行时，求 $t$ 的值．

(3)、当 $△ P D E$ 是等腰三角形时，求 $t$ 的值．

(4)、当 $C E = \frac{\sqrt{13}}{4}$ 时，直接写出 $t$ 的值．

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24. 如图，抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x - 1$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ．已知抛物线顶点纵坐标为 $- 2$ ．点P在此拋物线上，其坐标为 $(m ， n)$ ．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、当 $- 1 \leq m \leq 2$ 时，结合图象，直接写出 $n$ 的取值范围．

(3)、若此抛物线在点 $P$ 左侧部分（包括点 $P$ ）恰有三个点到 $x$ 轴的距离为1．
①求 $m$ 的取值范围．
②以 $P C$ 为边作等腰直角三角形 $P C Q$ ，当点 $Q$ 在此抛物线的对称轴上时，直接写出点 $P$ 的坐标．

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$x$	…	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	…
$y$	…	8	3	0	$- 1$	0	3	…