吉林省长春市新区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2024-03-11 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若使二次根式 $\sqrt{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A、x≥2 B、x>2 C、x<2 D、x≤2

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2. 用配方法解方程 $x^{2} - 6 x + 7 = 0$ ，配方后的方程是（）

A、 $(x + 3)^{2} = 7$ B、 $(x - 3)^{2} = 7$ C、 $(x - 3)^{2} = 2$ D、 $(x + 3)^{2} = 2$

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3. 如图，直线 $a / / b / / c$ ，直线 $m$ 、 $n$ 分别与直线 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 相交于点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ，若 $A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $D E = 3$ ，则 $E F =$ （）

A、 $\frac{10}{3}$ B、 $\frac{15}{2}$ C、 $4$ D、 $\frac{9}{2}$

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4. 如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点 $C$ 处测得树的顶端 $A$ 仰角为 $37 °$ ，同时测得 $B C = 20$ 米，则树的高 $A B ($ 单位：米 $)$ 为（）

A、 $20 t a n 37 °$ B、 $\frac{20}{t a n 37^{\circ}}$ C、 $\frac{20}{s i n 37^{\circ}}$ D、 $20 s i n 37 °$

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5. $a$ 是方程 $x^{2} + x - 1 = 0$ 的一个根，则代数式 $2021 - 2 a^{2} - 2 a$ 的值是（）

A、 $2019$ B、 $2021$ C、 $2022$ D、 $2023$

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6. 已知点 $(- 4 ， y_{1})$ 、 $(- 1 ， y_{2})$ 、 $(2 ， y_{3})$ 都在函数 $y = - x^{2} + 5$ 的图象上，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ C、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$ D、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$

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7. 在△ $A C B$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $C D$ 上一点， $D E$ ： $C E = 2$ ： $3$ ，连结 $A E$ ， $B D$ 交于点 $F$ ，若 $△ D E F$ 的面积为 $4$ ，则四边形 $C E F B$ 的面积等于（）

A、 $50$ B、 $35$ C、 $31$ D、 $20$

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

9. 如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 位似，点 $O$ 为位似中心，若 $D F$ ： $A C = 1$ ： $3$ ，则 $O E$ ： $O B =$ ．

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10. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + m = 0$ 有两个同号实数根，则 $m$ 的取值范围是．

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11. 将抛物线 $y = - x^{2}$ 向右平移 $2$ 个单位所得函数解析式为．

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12. 二次函数 $y = x^{2} - x - 2$ 的图象如图所示，则函数值 $y \geq 0$ 时， $x$ 的取值范围是．

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13. 拦水坝横断面如图所示，迎水坡 $A B$ 的坡比是 $1 ： \sqrt{3}$ ，坝高 $B C = 10 m$ ，则坡面 $A B$ 的长度是 $m .$

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14. 如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为 $6$ 米，到地面的距离 $A O$ 与 $B D$ 均为 $0.9$ 米，绳子甩到最高点 $C$ 处时，最高点距地面的垂直距离为 $1.8$ 米 $.$ 身高为 $1.4$ 米的小吉站在距点 $O$ 水平距离为 $m$ 米处，若他能够正常跳大绳 $($ 绳子甩到最高时超过他的头顶 $)$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 计算： $2 c o s 30 ° - t a n 60 ° + s i n 45 ° c o s 45 °$ ．

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16. $2023$ 年第 $19$ 届亚运会在杭州举办 $.$ 小蔡作为亚运会的志愿者“小青荷”为大家提供咨询服务 $.$ 现有如图所示“杭州亚运会吉祥物”的三盒盲盒供小蔡选择，分别记为 $A$ ， $B$ ， $C .$ 小蔡从中随机抽取两盒 $.$ 请用列表或画树状图的方法，求小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是 $A$ 和 $C$ 的概率．

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17. 每当秋冬季节交替的时间，感冒药品的销量就会大幅增长，药店利润也有所提高，某药店九月份的销售利润是 $5000$ 元，而十一月份的销售利润为 $11250$ 元，求该药店利润平均每月的增长率．

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18. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A D$ 是斜边 $B C$ 上的高．

(1)、证明： $△ A B D ∽ △ C B A$ ；

(2)、若 $A B = 6 ， B C = 10$ ，求 $B D$ 的长．

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19. 图 $①$ 、图 $②$ 、图 $③$ 均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， $△ A B C$ 的顶点均在格点上 $.$ 只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

(1)、在图 $①$ 中，画出 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的中线 $A D$ ．

(2)、在图 $②$ 中，在 $A C$ 边上找到一点 $E$ ，连结 $B E$ ，使 $S_{△ A B E}$ ： $S_{△ B C E} = 2$ ： $3$ ．

(3)、在图 $③$ 中，在 $A B$ 边上找到一点 $F$ ，连结 $C F$ ，使 $t a n ∠ A C F = \frac{1}{4}$ ．

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20. 下表是某厂质检部门对该厂生产的一批排球质量检测的情况．
抽取的排球数描取格品数
$500$
$1000$
$1500$
$2000$
$3000$
合格品数
$471$
$946$
$1425$
$b$
$2853$
合格品频率
$a$
$0.946$
$0.950$
$0.949$
$0.951$

(1)、求出表中 $a =$ ， $b =$ ．

(2)、从这批排球中任意抽取一个，是合格品的概率约是 $. ($ 精确到 $0.01)$

(3)、如果生产 $25000$ 个排球，那么估计该厂生产的排球合格的有多少个？

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21. 已知，抛物线 $y = x^{2} + 2 x - 3$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 在点 $B$ 左侧．

(1)、直接写出 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点的坐标；

(2)、当 $- 3 \leq x \leq 2$ 时，求 $y$ 的最大值与最小值之差．

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22. 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第 $77$ 页的部分内容．
如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 与 $A C$ 的中点，根据画出的图形，可以猜想： $D E / / B C$ ，且 $D E = \frac{1}{2} B C$ ．
对此，我们可以用演绎推理给出证明 $. ($ 无需证明 $)$

(1)、【感知】如图 $①$ ，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C = 4$ ， $A D$ 、 $C E$ 是 $R t △ A B C$ 的中线， $M$ 、 $N$ 分别是 $A D$ 和 $C E$ 的中点，求 $M N$ 的长；

(2)、【应用】如图 $②$ ，在 $R t △ A B C$ 中， $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点，连接 $D E$ ，将 $△ A D E$ 绕点 $A$ 逆时针旋转一定的角度 $α (0 ° < α < ∠ B A C)$ ，连接 $B D$ 、 $C E$ ，若 $\frac{A B}{B C} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{B D}{C E} =$ ；

(3)、【拓展】如图 $③$ ，在等边 $△ A B C$ 中， $D$ 是射线 $B C$ 上一动点 $($ 点 $D$ 在点 $C$ 右侧 $)$ ，连接 $A D$ ，把线段 $C D$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $120 °$ 得到线段 $D E$ ，连接 $B E$ ， $F$ 是 $B E$ 中点，连接 $D F$ 、 $C F$ ，若 $A B = 8$ ， $C F = \frac{1}{2} C D$ ，则 $C F =$ ．

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23. 如图，在▱ $A B C D$ 中， $A D = 10$ ， $A B = 8$ ， $B D ⊥ A B .$ 点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $A B - B C$ 以每秒 $2$ 个单位长度的速度向终点 $C$ 运动 $($ 点 $P$ 不与点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 重合 $) .$ 在点 $P$ 的运动过程中，过点 $P$ 作 $A B$ 所在直线的垂线，交边 $A D$ 或边 $C D$ 于点 $Q$ ，以 $P Q$ 为一边作矩形 $P Q M N$ ，且 $Q M = 4$ ， $M N$ 与 $B D$ 在 $P Q$ 的同侧 $.$ 设点 $P$ 的运动时间为 $t ($ 秒 $)$ ．

(1)、 $t a n A$ 的值为．

(2)、直接写出线段 $B P$ 的长 $. ($ 用含 $t$ 的代数式表示 $)$

(3)、当 $△ B D Q$ 的面积等于 $6$ 时，求 $t$ 的值．

(4)、连接 $B Q$ ，当 $B Q$ 将矩形 $P Q M N$ 分成的两部分的面积比为 $1$ ： $7$ 时，直接写出 $t$ 的值．

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24. 如图 $①$ ，在平面直角坐标系内，抛物线与 $x$ 轴交于 $O$ 、 $B$ 两点，与直线 $y = \frac{1}{3} x$ 交于 $O$ 、 $C$ 两点，且抛物线的顶点 $A$ 的坐标为 $(4，4)$ ．

(1)、直接写出点 $B$ 的坐标； $△ A O B$ 的形状为：；

(2)、求抛物线的解析式；

(3)、如图 $②$ ，点 $T (t ， 0)$ 是线段 $O B$ 上的一个动点，过点 $T$ 作 $y$ 轴的平行线交直线 $y = \frac{1}{3} x$ 于点 $D$ ，交抛物线于点 $E$ ，以 $D E$ 为一边，在 $D E$ 的右侧作矩形 $D E F G$ ，且 $D G = 2$ ．
$①$ 当矩形 $D E F G$ 的面积随着 $t$ 的增大而增大时，求 $t$ 的取值范围；
$②$ 当矩形 $D E F G$ 与 $△ A O B$ 有重叠且重叠部分为轴对称图形时，直接写出 $t$ 的取值范围．

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抽取的排球数描取格品数	$500$	$1000$	$1500$	$2000$	$3000$
合格品数	$471$	$946$	$1425$	$b$	$2853$
合格品频率	$a$	$0.946$	$0.950$	$0.949$	$0.951$