2024年北师大版数学八年级下册单元清测试（第三章）培优卷

试卷更新日期：2024-03-10 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、温州博物馆 B、西藏博物馆 C、广东博物馆 D、湖北博物馆

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2. 下列图形中，能由图形 $a$ 通过平移得到的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，点 $A (2 ， 1)$ ，将线段 $O A$ 先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到线段 $O' A'$ ，则点 $A$ 的对应点 $A'$ 的坐标是（）

A、 $(- 3 ， 2)$ B、 $(0 ， 4)$ C、 $(- 1 ， 3)$ D、 $(3 ， - 1)$

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4. 如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是（）

A、15 B、18 C、20 D、22

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5. 将直线 $y = - 2 x - 1$ 向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（）

A、 $y = - 2 x - 5$ B、 $y = - 2 x - 3$ C、 $y = - 2 x + 1$ D、 $y = - 2 x + 3$

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6. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 108 °$ ，将 $Δ A B C$ 绕点A按逆时针方向旋转得到 $Δ A B^{'} C^{'}$ .若点 $B^{'}$ 恰好落在 $B C$ 边上，且 $A B^{'} = C B^{'}$ ，则 $∠ C^{'}$ 的度数为（）

A、 $18 °$ B、 $20 °$ C、 $24 °$ D、 $28 °$

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7. 已知点 $P$ 是等边 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上的一点，若 $∠ A P C = 104 °$ ，则在以线段 $A P ， B P ， C P$ 为边的三角形中，最小内角的大小为（　　）

A、 $14 °$ B、 $16 °$ C、 $24 °$ D、 $26 °$

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8. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转得到 $△ E D C$ ，使点 $B$ 的对应点 $D$ 恰好落在 $A B$ 边上， $A C$ 、 $E D$ 交于点 $F$ ．若 $∠ B C D = α$ ，则 $∠ E F C$ 的度数是（用含 $α$ 的代数式表示）（）

A、 $90 ° + \frac{1}{2} α$ B、 $90 ° - \frac{1}{2} α$ C、 $180 ° - \frac{3}{2} α$ D、 $\frac{3}{2} α$

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9. 如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2 $\sqrt{7}$ ，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（）

A、（4，2）或（﹣4，2） B、（2 $\sqrt{3}$ ，﹣4）或（﹣2 $\sqrt{3}$ ，4） C、（﹣2 $\sqrt{3}$ ，2）或（2 $\sqrt{3}$ ，﹣2） D、（2，﹣2 $\sqrt{3}$ ）或（﹣2，2 $\sqrt{3}$ ）

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B O$ 的三个顶点坐标分别为 $A (6 ， 3) ， B (6 ， 0) ， O (0 ， 0)$ ．若将 $△ A B O$ 向左平移3个单位长度得到 $△ C D E$ ，则点A的对应点 $C$ 的坐标是．

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12. 如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A₁B₁C₁的位置．若顶点A（-3，4）的对应点是A₁（2，5），则点B（-4，2）的对应点B₁的坐标是．

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13. 如图，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转角 $α (0 ° < α < 180 °)$ 得到 $△ A D E$ ，点B的对应点D恰好落在 $B C$ 边上，若 $D E ⊥ A C ， ∠ C A D = 25 °$ ，则旋转角 $α$ 的度数是.

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C = 2$ .将 $△ A B C$ 绕点B逆时针旋转60°，得到 $△ A_{1} B C_{1}$ ，则 $A C$ 边的中点D与其对应点 $D_{1}$ 的距离是.

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15. 如图，直线 $a ∥ b$ ， $△ A O B$ 的边 $O B$ 在直线 $b$ 上， $∠ A O B = 55 °$ ，将 $△ A O B$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $75 °$ 至 $△ A_{1} O B_{1}$ ，边 $A_{1} O$ 交直线 $a$ 于点 $C$ ，则 $∠ 1 =$ $°$ ．

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16. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E= ．

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三、解答题（共7题，共72分）

17. 将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．

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18. 如图，△ABC中，点E在BC边上.AE=AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置.使得∠CAF=∠BAE.连接EF，EF与AC交于点G.

(1)、求证：EF =BC；

(2)、若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数.

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19. 如图，在5×5的方格纸中，线段AB的端点均在格点上，请按要求画图．

(1)、如图1，画出一条线段AC ，使AC＝AB ， C在格点上；

(2)、如图2，画出一条线段EF ，使EF ， AB互相平分，E ， F均在格点上；

(3)、如图3，以A ， B为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．

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20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A(-1，2).

(1)、将点A向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标是.

(2)、点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标是.

(3)、反比例函数的图象经过点B，则它的解析式是.

(4)、一次函数的图象经过A，C两点，则它的解析式是.

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21.
已知：正方形ABCD．
（1）如图1，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF．此时，线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论．
（2）如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当a=90°时，连接BE、DF，猜想沟AE与AD满足什么数量关系时，直线DF垂直平分BE．请直接写出结论．
（4）如图4，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论．

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22. 下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．

(1)、三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G ， G关于y轴的对称图形为 $G_{1}$ ，关于 $x$ 轴的对称图形为 $G_{2}$ ．则将图形 $G_{1}$ 绕点顺时针旋转度，可以得到图形 $G_{2}$ ．

(2)、在图2中分别画出G关于y轴和直线 $y = x + 1$ 的对称图形 $G_{1}$ ， $G_{2}$ ．将图形 $G_{1}$ 绕点（用坐标表示）顺时针旋转度，可以得到图形 $G_{2}$ ．

(3)、综上，如图3，直线 $l_{1} ： y = - 2 x + 2$ 和 $l_{2} ： y = x$ 所夹锐角为 $α$ ，如果图形G关于直线 $l_{1}$ 的对称图形为 $G_{1}$ ，关于直线 $l_{2}$ 的对称图形为 $G_{2}$ ，那么将图形 $G_{1}$ 绕点（用坐标表示）顺时针旋转度（用 $α$ 表示），可以得到图形 $G_{2}$ ．

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23. 已知 $△ A O B$ 和 $△ M O N$ 都是等腰直角三角形 $(\frac{\sqrt{2}}{2} O A < O M < O N)$ ， $∠ A O B = ∠ M O N = 90^{°}$ .

(1)、如图1：连 $A M ， B N$ ，求证： $△ A O M ≌ △ B O N$ ；

(2)、若将 $△ M O N$ 绕点O顺时针旋转，
①如图2，当点N恰好在 $A B$ 边上时，求证： $B N^{2} + A N^{2} = 2 O N^{2}$ ；

②当点 $A ， M ， N$ 在同一条直线上时，若 $O B = 4 ， O N = 3$ ，请直接写出线段 $B N$ 的长.

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