备考2024年中考数学探究性训练专题7 二次根式

通过计算求出斐波那契数列中的第1个数为 ， 第2个数为 ．

因为$\mathrm{(}\sqrt{2}+1{\mathrm{)}}^2=3+2\sqrt{2}$ ， 所以$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1\mathrm{，}$因为$\mathrm{(}2-\sqrt{3}{\mathrm{)}}^2=7-4\sqrt{3}$ ， 所以$\sqrt{7-4\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}\mathrm{，}$请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：

已知$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$ ， 求$2a^2-8a+1$的值．他们是这样解答的：

∵$\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}=2-\sqrt{3}$

∴$a-2=-\sqrt{3}$

∴${\left(a-2\right)}^2=3$即$a^2-4a+4=3$

∴$a^2-4a=-1$

∴$2a^2-8a+1=2\left(a^2-4a\right)+1=2\times \left(-1\right)+1=-1$ ．

请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：

下面是小丽的探究过程，请补充完整：

验证：

$2\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{2^2}\times \sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{2^3}{3}}=\sqrt{\frac{(2^3-2)+2}{3}}=\sqrt{\frac{2^2-2}{2^2-1}+\frac{2}{2^2-1}}=\sqrt{\frac{2(2^2-1)}{2^2-1}+\frac{2}{2^2-1}}=\sqrt{2+\frac{2}{3}}$ 验证： $3\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{3^2}\times \sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{3^3}{8}}=\sqrt{\frac{(3^3-3)+3}{8}}=\sqrt{\frac{3^2-3}{3^2-1}+\frac{3}{3^2-1}}=\sqrt{\frac{3(2^2-3)}{3^2-1}+\frac{3}{3^2-1}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$

先观察下列等式，再回答问题：

$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}=1\frac{1}{2}；$

$\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}=1\frac{1}{6}；$

$\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}=1\frac{1}{12}.$

善于思考的小明在学习《实数》一章后，自己探究出了下面的两个结论：

① ${(\sqrt{9\times 4})}^2=9\times 4$ ， ${(\sqrt{9}\times \sqrt{4})}^2={(\sqrt{9})}^2\times {(\sqrt{4})}^2\text{=}9\times 4$ ， $\sqrt{9\times 4}$ 和 $\sqrt{9}\times \sqrt{4}$ 都是9×4的算术平方根，

而9×4的算术平方根只有一个，所以 $\sqrt{9\times 4}$ = $\sqrt{9}\times \sqrt{4}$ ．

② ${(\sqrt{9\times 16})}^2=9\times 16$ ， ${(\sqrt{9}\times \sqrt{16})}^2={(\sqrt{9})}^2\times {(\sqrt{16})}^2\text{=}9\times 16$ ， $\sqrt{9\times 16}$ 和 $\sqrt{9}\times \sqrt{16}$ 都是9×16的算术平方根，

而9×16的算术平方根只有一个，所以　　 ．

请解决以下问题：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如$3+2\sqrt{2}=\mathrm{(}1+\sqrt{2}{\mathrm{)}}^2$ ． 善于思考的小明进行了以下探索：

设$a+b\sqrt{2}=\mathrm{(}m+n\sqrt{2}{\mathrm{)}}^2$（其中a、b、m、n均为整数），则有$a+b\sqrt{2}=m^2+2n^2+2mn\sqrt{2}$ ．

     $\therefore a=m^2+2n^2$ ， $b=2mn$ ． 这样小明就找到了一种把类似$a+b\sqrt{2}$的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

例如：3＋2$\sqrt{2}$＝（1＋$\sqrt{2}$）² ， 善于思考的小敏进行了以下探索：

当a、b、m、n均为整数时，若a＋b$\sqrt{2}$＝（m＋n$\sqrt{2}$）² ， 则有a＋b$\sqrt{2}$＝m²＋2n²＋2mn$\sqrt{2}$ ．

a＝m²＋2n² ， b＝2mn．这样小敏就找到了一种把类似a＋b$\sqrt{2}$的式子化为平方式的方法．

请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：

数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．例如：$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{1+2\times 1\times \sqrt{2}+2}=\sqrt{1^2+2\times 1\times \sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{{\left(1+\sqrt{2}\right)}^2}=1+\sqrt{2}$ ．

解决问题：

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

【主题探究】在学习二次根式的过程中，某数学兴趣小组发现有一些特殊无理数之间也具有互为倒数的关系．例如：$\mathrm{(}\sqrt{2}+1\mathrm{)}\mathrm{(}\sqrt{2}-1\mathrm{)}=1$ ， 可得$\sqrt{2}+1$与$\sqrt{2}-1$互为倒数．

即$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$ ， $\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$ ．

类似的，$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$ ， $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$ ， $\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$ ， $\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$ ．

【启发应用】请根据以上规律，解决下列问题：

材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．

例如：$\sqrt{3}\times \sqrt{3}=3$ ， $\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)=6-2=4$ ， 我们称$\sqrt{3}$的一个有理化因式是$\sqrt{3}$ ， $\sqrt{6}-\sqrt{2}$的一个有理化因式是$\sqrt{6}+\sqrt{2}$ ．

材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．

例如：$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，

$\frac{8}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=\frac{8(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}=\frac{8(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}=2\sqrt{6}+2\sqrt{2}$ ．

请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：

下面是小丽的探究过程，请补充完整：

$\text{∵}\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{\mathrm{(}2+\sqrt{3}\mathrm{)}\mathrm{(}2-\sqrt{3}\mathrm{)}}=2-\sqrt{3}$

$\therefore a-2=-\sqrt{3}$

$\therefore \mathrm{(}a-2{\mathrm{)}}^2=3$即$a^2-4a+4=3$

$\therefore a^2-4a=-1$

$\therefore 2a^2-8a+1=$$2\left(a^2-4a\right)+1=2\times \mathrm{(}-1\mathrm{)}+1=-1\mathrm{.}$

请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：

请仿照上述方法探索并解决下列问题：

【问题解决】

设$a+\sqrt{2}b={\left(m+\sqrt{2}n\right)}^2$（其中a、b、m、n均为正整数），则有$a+\sqrt{2}b=m^2+2\sqrt{2}mn+2n^2$ ，

∴a＝m²+2n² ， b＝2mn．

这样小明就找到了一种把部分$a+\sqrt{2}b$的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

问题：

方法介绍：

经过 $k$ 步操作( $k$ 为正整数)不断寻找有理数 $a_k$ ， $b_k$ ，使得 $a_k<\sqrt{7}<b_k$ ，并且让 $b_k-a_k$ 的值越来越小,同时利用数轴工具将任务几何化,直观理解通过等分线段的方法不断缩小 $\sqrt{7}$ 对应的点 $P$ 所在线段的长度(二分法)  

思路分析：

在数轴上记 $a_k$ ， $b_k$ 对应的点分别为 $A_k,B_k$ ， $a_k$ 和 $b_k$ 的平均数 $c_k=\frac{a_k+b_k}{2}$ 对应线段 $A_k{B}_k$ 的中点（记为 $C_k$ ）.通过判断 $\sqrt{7}<c_k$ 还是 $\sqrt{7}>c_k$ ，得到点 $P$ 是在二等分后的“左线段 $A_k{C}_k$ ”上还是“右线段 $C_k{B}_k$ ”上，重复上述步骤，不断得到 $c_k$ ，从而得到 $\sqrt{7}$ 更精确的近似值.

具体操作步骤及填写“阅读活动任务单”：