备考2024年中考数学探究性训练专题6 分式

试卷更新日期:2024-03-10 类型:二轮复习

一、选择题

  • 1. 小明和小林在探索代数式x2+1x2(x≠0)有没有最大(小)值时,小明做了如下探索:

    ∵x2+1x2+2-2 =(x+1x)2-2≥-2,

    ∴小明的结论是x2+1x2的最小值为-2

    小林做了如下探索

    ∵x2+1x2-2+2 =(x-1x)2+2≥2,

    小林的结论是x2+1x2的最小值为2;则( )

    A、小明正确 B、小林正确 C、小明和小林都正确 D、小明和小林都不正确

二、填空题

  • 2. 观察给定的分式: 1x2x24x38x416x5 ,猜想并探索规律,第10个分式是 , 第n个分式是.

三、综合题

  • 3. 已知a,b,c,d都不等于0,并且ab=cd , 根据分式的基本性质、等式的基本性质及运算法则,探究下面各组中的两个分式之间有什么关系?然后选择其中一组进行具体说明.

    (1)acba;   (2)a+bbc+dd;   (3)a+ba-bc+dc-d(a≠b,c≠d).

  • 4. 我们把分子为1的分数称为“单位分数”,如1213任何一个“单位分数”都能写成两个“单位分数”的和,如13=16+16=14+112 , 若单位分数1n(n为大于1的正整数)写成两个单位分数的和是1n=1n+a+1n+b , (其中a,b为正整数), 探索正整数a,b与n2之间存在的关系式.
  • 5. 探究:
    (1)、若 x1x+1 =1+ ax+1 ,试求a的值.
    (2)、若 x2x2 = x+2+ bx2 ,试求b的值.
    (3)、如果分式 2x27x2 的值为整数,求x的整数值.
  • 6. 观察下列式子,并探索它们的规律:

    x+1x1=x1+2x1=x1x1+2x1=1+2x1

    2x3x+1=2x+25x+1=2x+2x+1+5x+1=2+(5x+1).

    (1)、根据以上式子填空:

    3x+5x+1=3+ .

    ax+bx+c=a+ .

    (2)、当 x 取哪些正整数时,分式 4x+32x1 的值为整数?
  • 7. 描述证明:

    小明在研究数学问题时发现了一个有趣的现象:

    (1)、请你用数学表达式补充完整小明发现的这个有趣的现象;
    (2)、请你证明小明发现的这个有趣现象.
  • 8. 探索规律
    (1)、你发现了吗?( 232= 23 × 23 ,( 232= 1(23)2 = 123 × 123 = 32 × 32 ,…

    由上述计算,我们发现( 232322

    (2)、仿照(1),请你判断( 543与( 453之间的关系.
    (3)、我们可以发现( bamabm  (ab≠0)
  • 9. 阅读材料:

    《见微知著》谈到:从一个简单的经典问题出发,从特殊到一般,由简单到复杂,从部分到整体,由低维到高维,知识与方法上的类比是探索发展的重要途径,是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.

    例如:已知 xy=1 ,求 11+x+11+y 的值.

    解:原式 =xyxy+x+11+y=yy+1+11+y=y+1y+1=1 .

    问题解决:

    (1)、已知 xy=1 .

    ①代数式 11+x2+11+y2 的值为  ▲  ;

    ②求证: 11+x2021+11+y2021=1 .

    (2)、若x满足 (2021x)2+(2020x)2=4043 ,求 (2021x)(2020x) 的值.
  • 10. (提示:我们知道,如果 ab>0 ,那么 a>b .)

    已知 m>n>0 .如果将分式 nm 的分子、分母都加上同一个不为 0 的数后,所得分式的值比 nm 是增大了还是减小了?请按照以下要求尝试做探究.

    (1)、当所加的这个数为 1 时,请通过计算说明;
    (2)、当所加的这个数为 2 时,直接说出结果;
    (3)、当所加的这个数为 a>0 时,直接说出结果.
  • 11. 问题探索:

    (1)已知一个正分数nm(m>n>0),如果分子、分母同时增加1,分数的值是增大还是减小?请证明你的结论.

    (2)若正分数nm(m>n>0)中分子和分母同时增加2,3…k(整数k>0),情况如何?

    (3)请你用上面的结论解释下面的问题:

    建筑学规定:民用住宅窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的比应不小于10%,并且这个比值越大,住宅的采光条件越好,问同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好还是变坏?请说明理由.

  • 12.
    嘉嘉和淇淇研究一道习题:“已知m>n>0 , 若分式nm分子、分母都加上1 , 所得分式n+1m+1的值增大了还是减小了?”.
    嘉嘉想到了“用nm减去n+1m+1判断差的正负性”的思路.
    淇淇想到了“可以将两个分式化成分母相同,再比较分子的大小”的思路.
    两人的解题思路都正确.
    (1)、请你任选一个思路说明.
    解:嘉嘉的思路:nmn+1m+1=n(m+1)m(m+1)m(n+1)m(m+1)=nmm(m+1)
    m>n>0
    nm<0
    m(m+1)>0
    nmm(m+1)<0
    nm<n+1m+1
    即所得分式的值增大了.
    (2)、当所加的这个数为2时,所得分式的值 (填“增大了”或“减小了”)
    (3)、当所加的这个数为a(a>0)时,你能得到什么结论?请说明理由.
  • 13. (阅读学习)

    阅读下面的解题过程:

    已知: xx2+1=13 ,求 x2x4+1 的值.

    解:由 xx2+1=13  知x≠0,所以 x2+1x=3 ,即 x+1x=3

    所以 x4+1x2=x2+1x2=(x+1x)22=322=7

    x2x4+1 的值为 17

    (类比探究)

    (1)、上题的解法叫做“倒数法”,请你利用“倒数法”解决下面的题目:已知 xx2-3x+1=1 ,求 x2x4-7x2+1 的值.
    (2)、(拓展延伸)

    已知 1a+1b=161b+1c=191a+1c=115 ,求 abcab+bc+ac 的值.

  • 14. 材料一:小学时,我们学习了把假分数改写成带分数的问题.其实就是把假分数写成一个整数和一个真分数的和.例如:107=1+37=137.

    类似的,我们也可以将下面这类分式写成一个整数与一个新分式的和.

    例如:a+1a=1+1a.

    a+2a1=(a1)+3a1=1+3a1.

    材料二:为了研究字母a和1a分式的变化关系,李磊制作了表格,并得到如下数据:

    a

    4

    3

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    4

    1a

    14

    13

    12

    1

    无意义

    1

    12

    13

    14

    请根据上述材料完成下列问题:

    (1)、把分式写成一个整数和一个新分式的和的形式:a+2a=a+1a2=
    (2)、当a>0时.随着a的增大,分式a+2a的值(填“增大”或“减小”);
    (3)、当a>2时,随着a的增大,分式2a+5a+2的值无限趋近一个数,请写出这个数,并说明理由.
  • 15. 问题探索:
    (1)、已知一个分数 nm(m>n>0) ,如果分子、分母同时增加1,分数的值是增大还是减小?请说明你的理由.
    (2)、若正分数 nm(m>n>0) 中分子和分母同时增加2,3,…,k(整数k>0),情况如何?
    (3)、请你用上面的结论解释下面的问题:

    建筑学规定:民用住宅窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的比应不小于10%,并且这个比值越大,住宅的采光条件越好,问:同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由.

  • 16. 阅读理解:

    材料1:为了研究分式1x与其分母x的数量变化关系,小力制作了表格,并得到如下数据:

    x

    -4

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    4

    1x

    -0.25

    0.3·

    -0.5

    -1

    无意义

    1

    0.5

    0.3·

    0.25

    从表格数据观察,当x>0时,随着x的增大,1x的值随之减小,若x无限增大,则1x无限接近于0;当x<0时,随着x的增大,1x的值也随之减小.

    材料2:在分子、分母都是整式的情况下,如果分子的次数小于分母的次数,称这样的分式为真分式.如果分子的次数大于或等于分母的次数,称这样的分式为假分式.任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和.例如:2x+1x2=2x4+4+1x2=2(x2)+5x2=2(x2)x2+5x2=2+5x2

    根据上述材料完成下列问题:

    (1)、当x>0时,随着x的增大,2+1x的值(增大或减小);当x<0时,随着x的增大,3x+1x的值(增大或减小);
    (2)、当x>3时,随着x的增大,2x+8x+3的值无限接近一个数,请求出这个数;
    (3)、当0<x<1时,直接写出代数式3x4x2值的取值范围是
  • 17. 阅读理解

    材料1:小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题,在这个计算的过程中,先计算分子中有几个分母求出整数部分,再把剩余的部分写成一个真分数,例如: 53=1+23=123

    类似的,我们可以将下列的分式写成一个整数与一个新分式的和.

    例如: x+1x=1+1x

    x+1x1=(x1)+2x1=1+2x1

    材料2:为了研究字母x和分式 1x 值的变化关系,小明制作了表格,并得到数据如下:

    x

    4

    3

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    4

    1x

    0.25

    0.3˙

    0.5

    1

    无意义

    1

    0.5

    0.3˙

    0.25

    请根据上述材料完成下列问题:

    (1)、把下面的分式写成一个整数与一个新分式的和的形式:

    x+2x= x+1x2=

    (2)、当 x>0 时,随着x的增大,分式 x+2x 的值(增大或减小);
    (3)、当 x>1 时,随着x的增大,分式 2x+3x+1 的值无限趋近一个数,请写出这个数,并说明理由.
  • 18. 在数学学习过程中,通常是利用已有的知识与经验,通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括,发现数学规律,揭示研究对象的本质特征.

    比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律,由“特殊”到“一般”进行抽象概括的:

    22×23=25 , 23×24=27 , 22×26=28…⇒2m×2n=2m+n…⇒am×an=am+n(m、n都是正整数).

    我们亦知:23<2+13+123<2+23+223<2+33+323<2+43+4

    (1)、请你根据上面的材料,用字母a、b、c归纳出a、b、c(a>b>0,c>0)之间的一个数学关系式.

    (2)、试用(1)中你归纳的数学关系式,解释下面生活中的一个现象:“若m克糖水里含有n克糖,再加入k克糖(仍不饱和),则糖水更甜了”.