备考2024年中考数学探究性训练专题6 分式

∵x²+$\frac{1}{x^2}$+2-2 =(x+$\frac{1}{x}$)²-2≥-2，

∴小明的结论是x²+$\frac{1}{x^2}$的最小值为-2

小林做了如下探索

∵x²+$\frac{1}{x^2}$-2+2 =(x-$\frac{1}{x}$)²+2≥2，

小林的结论是x²+$\frac{1}{x^2}$的最小值为2；则（ ）

（1）$\frac{a}{c}$和$\frac{b}{a}$；   （2）$\frac{a+b}{b}$和$\frac{c+d}{d}$；   （3）$\frac{a+b}{a-b}$和$\frac{c+d}{c-d}$（a≠b，c≠d）．

$\frac{x+1}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}+\frac{2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}；$

$\frac{2x-3}{x+1}=\frac{2x+2-5}{x+1}=\frac{2x+2}{x+1}+\frac{-5}{x+1}=2+(-\frac{5}{x+1}).$

小明在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：

《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.

例如：已知 $xy=1$ ，求 $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}$ 的值.

解：原式 $=\frac{xy}{xy+x}+\frac{1}{1+y}=\frac{y}{y+1}+\frac{1}{1+y}=\frac{y+1}{y+1}=1$ .

问题解决：

已知 $m>n>0$ ．如果将分式 $\frac{n}{m}$ 的分子、分母都加上同一个不为 $0$ 的数后，所得分式的值比 $\frac{n}{m}$ 是增大了还是减小了？请按照以下要求尝试做探究．

（1）已知一个正分数$\frac{n}{m}$（m＞n＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论．

（2）若正分数$\frac{n}{m}$（m＞n＞0）中分子和分母同时增加2，3…k（整数k＞0），情况如何？

（3）请你用上面的结论解释下面的问题：

建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．

阅读下面的解题过程：

已知： $\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{3}$ ，求 $\frac{x^2}{x^4+1}$ 的值．

解：由 $\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{3}$  知x≠0，所以 $\frac{x^2+1}{x}=3$ ，即 $x+\frac{1}{x}=3$

所以 $\frac{x^4+1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-2=3^2-2=7$

故 $\frac{x^2}{x^4+1}$ 的值为 $\frac{1}{7}$ ．

（类比探究）

类似的，我们也可以将下面这类分式写成一个整数与一个新分式的和.

例如：$\frac{a+1}{a}=1+\frac{1}{a}$.

$\frac{a+2}{a-1}=\frac{\mathrm{(}a-1\mathrm{)}+3}{a-1}=1+\frac{3}{a-1}$.

材料二：为了研究字母a和$\frac{1}{a}$分式的变化关系，李磊制作了表格，并得到如下数据：

请根据上述材料完成下列问题：

材料1：为了研究分式$\frac{1}{x}$与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：

从表格数据观察，当$x>0$时，随着$x$的增大，$\frac{1}{x}$的值随之减小，若$x$无限增大，则$\frac{1}{x}$无限接近于0；当$x<0$时，随着$x$的增大，$\frac{1}{x}$的值也随之减小．

材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：$\frac{2x+1}{x-2}=\frac{2x-4+4+1}{x-2}=\frac{2\mathrm{(}\mathrm{x}-2\mathrm{)}+5}{x-2}=\frac{2\mathrm{(}\mathrm{x}-2\mathrm{)}}{x-2}+\frac{5}{x-2}=2+\frac{5}{x-2}\mathrm{；}$

根据上述材料完成下列问题：

材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个计算的过程中，先计算分子中有几个分母求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数，例如： $\frac{5}{3}=1+\frac{2}{3}=1\frac{2}{3}$ ．

类似的，我们可以将下列的分式写成一个整数与一个新分式的和．

例如： $\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}$ ．

$\frac{x+1}{x-1}=\frac{(x-1)+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$ ．

材料2：为了研究字母x和分式 $\frac{1}{x}$ 值的变化关系，小明制作了表格，并得到数据如下：

请根据上述材料完成下列问题：

比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“特殊”到“一般”进行抽象概括的：

2²×2³=2⁵ ， 2³×2⁴=2⁷ ， 2²×2⁶=2⁸…⇒2^m×2ⁿ=2^m+n…⇒a^m×aⁿ=a^m+n（m、n都是正整数）．

我们亦知：$\frac{2}{3}<\frac{2+1}{3+1}$ ， $\frac{2}{3}<\frac{2+2}{3+2}$ ， $\frac{2}{3}<\frac{2+3}{3+3}$ ， $\frac{2}{3}<\frac{2+4}{3+4}$…