备考2024年中考数学探究性训练专题6 分式
试卷更新日期:2024-03-10 类型:二轮复习
一、选择题
-
1. 小明和小林在探索代数式x2+(x≠0)有没有最大(小)值时,小明做了如下探索:
∵x2++2-2 =(x+)2-2≥-2,
∴小明的结论是x2+的最小值为-2
小林做了如下探索
∵x2+-2+2 =(x-)2+2≥2,
小林的结论是x2+的最小值为2;则( )
A、小明正确 B、小林正确 C、小明和小林都正确 D、小明和小林都不正确二、填空题
-
2. 观察给定的分式: ,猜想并探索规律,第10个分式是 , 第n个分式是.
三、综合题
-
3. 已知a,b,c,d都不等于0,并且 , 根据分式的基本性质、等式的基本性质及运算法则,探究下面各组中的两个分式之间有什么关系?然后选择其中一组进行具体说明.
(1)和; (2)和; (3)和(a≠b,c≠d).
4. 我们把分子为1的分数称为“单位分数”,如 , 任何一个“单位分数”都能写成两个“单位分数”的和,如 , 若单位分数(n为大于1的正整数)写成两个单位分数的和是 , (其中a,b为正整数), 探索正整数a,b与n2之间存在的关系式.5. 探究:(1)、若 =1+ ,试求a的值.(2)、若 = x+2+ ,试求b的值.(3)、如果分式 的值为整数,求x的整数值.6. 观察下列式子,并探索它们的规律:(1)、根据以上式子填空:① .
② .
(2)、当 取哪些正整数时,分式 的值为整数?7. 描述证明:小明在研究数学问题时发现了一个有趣的现象:
(1)、请你用数学表达式补充完整小明发现的这个有趣的现象;(2)、请你证明小明发现的这个有趣现象.8. 探索规律(1)、你发现了吗?( )2= × ,( )﹣2= = × = × ,…由上述计算,我们发现( )2( )﹣2
(2)、仿照(1),请你判断( )3与( )﹣3之间的关系.(3)、我们可以发现( )﹣m( )m (ab≠0)9. 阅读材料:《见微知著》谈到:从一个简单的经典问题出发,从特殊到一般,由简单到复杂,从部分到整体,由低维到高维,知识与方法上的类比是探索发展的重要途径,是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.
例如:已知 ,求 的值.
解:原式 .
问题解决:
(1)、已知 .①代数式 的值为 ▲ ;
②求证: .
(2)、若x满足 ,求 的值.10. (提示:我们知道,如果 ,那么 .)已知 .如果将分式 的分子、分母都加上同一个不为 的数后,所得分式的值比 是增大了还是减小了?请按照以下要求尝试做探究.
(1)、当所加的这个数为 时,请通过计算说明;(2)、当所加的这个数为 时,直接说出结果;(3)、当所加的这个数为 时,直接说出结果.11. 问题探索:(1)已知一个正分数(m>n>0),如果分子、分母同时增加1,分数的值是增大还是减小?请证明你的结论.
(2)若正分数(m>n>0)中分子和分母同时增加2,3…k(整数k>0),情况如何?
(3)请你用上面的结论解释下面的问题:
建筑学规定:民用住宅窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的比应不小于10%,并且这个比值越大,住宅的采光条件越好,问同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好还是变坏?请说明理由.
12.
嘉嘉和淇淇研究一道习题:“已知 , 若分式分子、分母都加上 , 所得分式的值增大了还是减小了?”.
嘉嘉想到了“用减去判断差的正负性”的思路.
淇淇想到了“可以将两个分式化成分母相同,再比较分子的大小”的思路.
两人的解题思路都正确.(1)、请你任选一个思路说明.
解:嘉嘉的思路: ,
,
.
,
,
,
即所得分式的值增大了.(2)、当所加的这个数为时,所得分式的值 填“增大了”或“减小了” .(3)、当所加的这个数为时,你能得到什么结论?请说明理由.13. (阅读学习)阅读下面的解题过程:
已知: ,求 的值.
解:由 知x≠0,所以 ,即
所以
故 的值为 .
(类比探究)
(1)、上题的解法叫做“倒数法”,请你利用“倒数法”解决下面的题目:已知 ,求 的值.(2)、(拓展延伸)已知 , , ,求 的值.
14. 材料一:小学时,我们学习了把假分数改写成带分数的问题.其实就是把假分数写成一个整数和一个真分数的和.例如:.类似的,我们也可以将下面这类分式写成一个整数与一个新分式的和.
例如:.
.
材料二:为了研究字母a和分式的变化关系,李磊制作了表格,并得到如下数据:
a
…
0
1
2
3
4
…
…
无意义
1
…
请根据上述材料完成下列问题:
(1)、把分式写成一个整数和一个新分式的和的形式:;;(2)、当时.随着a的增大,分式的值(填“增大”或“减小”);(3)、当时,随着a的增大,分式的值无限趋近一个数,请写出这个数,并说明理由.15. 问题探索:(1)、已知一个分数 ,如果分子、分母同时增加1,分数的值是增大还是减小?请说明你的理由.(2)、若正分数 中分子和分母同时增加2,3,…,k(整数k>0),情况如何?(3)、请你用上面的结论解释下面的问题:建筑学规定:民用住宅窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的比应不小于10%,并且这个比值越大,住宅的采光条件越好,问:同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由.
16. 阅读理解:材料1:为了研究分式与其分母x的数量变化关系,小力制作了表格,并得到如下数据:
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
…
-0.25
-0.5
-1
无意义
1
…
从表格数据观察,当时,随着的增大,的值随之减小,若无限增大,则无限接近于0;当时,随着的增大,的值也随之减小.
材料2:在分子、分母都是整式的情况下,如果分子的次数小于分母的次数,称这样的分式为真分式.如果分子的次数大于或等于分母的次数,称这样的分式为假分式.任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和.例如:
根据上述材料完成下列问题:
(1)、当时,随着的增大,的值(增大或减小);当时,随着的增大,的值(增大或减小);(2)、当时,随着的增大,的值无限接近一个数,请求出这个数;(3)、当时,直接写出代数式值的取值范围是 .17. 阅读理解材料1:小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题,在这个计算的过程中,先计算分子中有几个分母求出整数部分,再把剩余的部分写成一个真分数,例如: .
类似的,我们可以将下列的分式写成一个整数与一个新分式的和.
例如: .
.
材料2:为了研究字母x和分式 值的变化关系,小明制作了表格,并得到数据如下:
x
0
1
2
3
4
无意义
1
0.5
0.25
请根据上述材料完成下列问题:
(1)、把下面的分式写成一个整数与一个新分式的和的形式:; ;
(2)、当 时,随着x的增大,分式 的值(增大或减小);(3)、当 时,随着x的增大,分式 的值无限趋近一个数,请写出这个数,并说明理由.18. 在数学学习过程中,通常是利用已有的知识与经验,通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括,发现数学规律,揭示研究对象的本质特征.比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律,由“特殊”到“一般”进行抽象概括的:
22×23=25 , 23×24=27 , 22×26=28…⇒2m×2n=2m+n…⇒am×an=am+n(m、n都是正整数).
我们亦知: , , , …
(1)、请你根据上面的材料,用字母a、b、c归纳出a、b、c(a>b>0,c>0)之间的一个数学关系式.(2)、试用(1)中你归纳的数学关系式,解释下面生活中的一个现象:“若m克糖水里含有n克糖,再加入k克糖(仍不饱和),则糖水更甜了”.
-
-