备考2024年中考数学探究性训练专题4 乘法公式

试卷更新日期：2024-03-10 类型：二轮复习

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一、填空题

1. 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数：如3=2²﹣1，5=3²﹣2² ， 7=4²﹣3² ， 8=3²﹣1² ， 9=5²﹣4² ， 11=6²﹣5²…探索从1开始第20个智慧数是．

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2. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ， n的平方差，且 $m - n > 1$ ，则称这个正整数为“方差优数”，例如 $12 =$ $4^{2} - 2^{2}$ ， 12就是一个“方差优数”，可以利用 $m^{2} - n^{2} = (m + n) (m - n)$ 进行研究，若将“方差优数”从小到大排列，则第10个“方差优数”是．

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3. 南宋数学家杨辉在研究(a+b)ⁿ展开式各项的系数时，采用了特殊到一般的方法，他将(a+b)⁰ ， (a+b)¹ ， (a+b)² ， (a+b)³ ， …，展开后各项的系数画成如图所示的三角阵，在数学上称之为杨辉三角．已知(a+b)⁰＝1，(a+b)¹＝a+b，(a+b)²＝a²+2ab+b² ， (a+b)³＝a³+3a²b+3ab²+b³ ．按杨辉三角写出(a+b)⁵的展开式是．

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4. 如图，长方形是由若干个小长方形和小正方形组成，从面积的角度研究这个图形，可以得到一个数学等式，这个数学等式是．（用图中的字母表示出来）

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5. 乘法公式的探究及应用.

小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式)；

小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是 (写成多项式乘法的形式).

小题3：比较图 1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式 (用式子表达).

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二、实践探究题

6. 已知在△ABC中，三边长a ， b ， c满足等式a²﹣21b²﹣c²+4ab+10bc＝0，请你探究a ， b ， c之间满足的等量关系，并说明理由．

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7. 通过学习，同学们已经体会到灵活运用乘法公式使整式的乘法运算方便、快捷．相信通过对下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算： $195 \times 205$ ．
解： $195 \times 205$ ，
$= (200 - 5) (200 + 5)$ ①
$= 20 0^{2} - 5^{2}$ ②
$= 39975$ ．

(1)、例题求解过程中，由①到②变形是利用（填乘法公式的名称）．

(2)、用简便方法计算： $9 \times 11 \times 101 \times 10001$ ．

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8. 阅读材料：若x²－2xy＋2y²－8y＋16＝0，求x、y的值.
解：∵x²－2xy＋2y²－8y＋16＝0，

∴（x²－2xy＋y²）＋（y²－8y＋16）＝0

∴（x－y）²＋（y－4）²＝0，

∴（x－y）²＝0，（y－4）²＝0，

∴y＝4，x＝4.

根据你的观察，探究下面的问题：

已知a、b满足a²＋b²－4a－6b＋13＝0.求a、b的值.

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9. 阅读材料：若x²－2xy＋2y²－8y＋16=0，求x、y的值.
解：∵x²－2xy＋2y²－8y＋16=0，∴(x²－2xy＋y²)＋(y²－8y＋16)=0，∴(x－y)²＋(y－4)²=0，∴(x－y)²=0，(y－4)²=0，∴y=4，x=4.

根据你的观察，探究下面的问题：

已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a²＋b²－4a－6b＋13=0.求△ABC的边c的值.

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10. 类比探究.

(1)、填空：
（a﹣b）（a+b）＝；

（a﹣b）（a²+ab+b²）＝；

（a﹣b）（a³+a²b+ab²+b³）＝；

…

（a﹣b）（a²⁰²²+a²⁰²¹b+…+ab²⁰²¹+b²⁰²²）＝.

(2)、猜想：（a﹣b）（a^n﹣¹+a^n﹣²b+…+ab^n﹣²+b^n﹣¹）＝（其中n为正整数，且n≥2）.

(3)、利用（2）中猜想的结论计算：2⁹﹣2⁸+2⁷﹣…+2³﹣2²+2.

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11.
【数学探究】

(1)、用“=”、“ $>$ ”“ $<$ ”填空：
① $3 + 7$ $2 \sqrt{3 \times 7}$ ，

② $4 + 6$ $2 \sqrt{4 \times 6}$ ，

③ $5 + 5$ $2 \sqrt{5 \times 5}$ ；

(2)、由（1）中各式猜想 $a + b$ 与 $2 \sqrt{a b}$ （ $a \geq 0 ， b \geq 0$ ）的大小，并说明理由．

(3)、请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为 $1800 c m^{2}$ ，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要 $c m$ ．

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12. 教材中的探究启发我们：通过用不同的方法计算同一图形的面积，可以探求出计算多项式乘法或分解因式的新途径.例如，选取图 1中的正方形、长方形硬纸片共 6 块，拼出一个如图2所示的长方形，计算它的面积可以得到相应的等式： $a^{2} + 3 a b + 2 b^{2} = (a + 2 b) (a + b)$ 或 $(a + 2 b) (a + b) = a^{2} + 3 a b + 2 b^{2}$ .

(1)、请根据图 3写出代数恒等式，并根据所写恒等式计算 ${(x - 2 y - 3)}^{2}$ .

(2)、若 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 ， x y + y z + x z = 3 ，$ 求 x +y+z的值.

(3)、试借助图1 的硬纸片，利用拼图的方法把二次多项式 $3 a^{2} + 7 a b + 2 b^{2}$ 分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内.

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13. 综合与探究
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图可以得到 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，基于此，请解答下列问题．

(1)、【直接应用】若 $x + y = 3$ ， $x^{2} + y^{2} = 5$ ，求 $x y$ 的值．

(2)、【类比应用】若 $x (3 - x) = 2$ ，则 $x^{2} + {(3 - x)}^{2} =$ ．

(3)、【知识迁移】将两块全等的特制直角三角板（ $∠ A O B = ∠ C O D = 90 °$ ）按如图所示的方式放置，其中点 $A$ ， $O$ ， $D$ 在同一直线上，点 $B$ ， $O$ ， $C$ 也在同一直线上，连接 $A C$ ， $B D$ ．若 $A D = 14$ ， $S_{△ A O C} + S_{△ B O D} = 50$ ，求一块直角三角板的面积．

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14. 【感知】已知 $a + b = 5$ ， $a b = 3$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．
解： $∵ a + b = 5$ ， $∴ (a + b)^{2} = 5^{2} = 25$ ，即 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = 25$ ．
$∵ a b = 3$ ， $∴ a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b = 25 - 6 = 19$ ，
【探究】参考上述过程，解答下列问题：

(1)、若 $x + y = 4$ ， $x^{2} + y^{2} = 2$ ，则 $x y =$ ；

(2)、如图 $①$ 所示，若 $a + b + c = 8$ ， $a b + a c + b c = 20$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的值；

(3)、若 $m$ 满足 $(m + 3)^{2} + (5 - m)^{2} = 56$ ，求 $(m + 3) (5 - m)$ 的值；

(4)、如图 $②$ ，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ， $B C = 6$ ， $E$ ， $F$ 是 $B C$ ， $C D$ 上的点，且 $B E = D F$ ，分别以 $F C$ ， $C E$ 为边在长方形 $A B C D$ 外侧作正方形 $C F G H$ 和 $C E M N$ ，若长方形 $C E P F$ 的面积为 $50$ ，直接写出图中阴影部分的面积和为．

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15. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.以图①中的正方形ABCD为例：
探究：如图①，用含a，b的式子完成以下题目中的（2）和（3）：（1）正方形ABCD的边长为 $a + b$ ，因为正方形的面积等于正方形边长的平方，所以正方形ABCD的面积可以表示为 ${(a + b)}^{2}$ .

(1)、仔细观察图①，正方形ABCD被分割成甲、乙、丙、丁四部分，甲部分的面积为ab，乙部分的面积为 $a^{2}$ ，丙部分的面积为，丁部分的面积为.将这四部分的面积相加就可以得到正方形ABCD的面积为：.

(2)、以上（1）和（2）的探究过程，都表示出了正方形ABCD的面积，从而得到两个数和的平方公式： ${(a + b)}^{2} =$ .

(3)、根据探究的过程，用含有a，b，c的式子表示出由图②中的正方形EFGH可以得到的数学等式：；

(4)、若 $a + b + c = 6$ ， $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 14$ ，求 $a b + a c + b c$ 的值；

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16. 知识探究：
如图1是两直角边长分别为 $m$ ， $n (m > n)$ 的直角三角形，如果用四个与图1完全一样的直角三角形可以拼成如图2和图3的几何图形，其中图2和图3的四边形 $A B C D$ 、四边形 $E F G H$ 都是正方形、请你根据几何图形部分与整体的关系完成下列各题

(1)、请选择 $(m + n)^{2}$ ， $(m - n)^{2}$ ， $m n$ 中的有关代数式表示：
图2中正方形 $A B C D$ 的面积：．
图3中正方形 $A B C D$ 的面积：．

(2)、请你根据题（1），写出下列三个代数式： $(m + n)^{2}$ ， $(m - n)^{2}$ ， $m n$ 之间的等量关系．

(3)、根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知： $a - b = 5$ ， $a b = - 6$ ，求： $(a + b)^{2}$ 的值；
②已知： $a > 0$ ， $a - \frac{1}{a} = \sqrt{5}$ ，求： $a + \frac{1}{a}$ 的值．

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17. 问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）²或 a²+2ab+b²
∴（a+b）²=a²+2ab+b²
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
①请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：1³+2³=3²？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=1³
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=2³
而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：1³+2³=（1+2）²=3²
尝试解决：
②请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：1³+2³+3³= ▲ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
问题拓广：
③请用上面的表示几何图形面积的方法探究：1³+2³+3³+…+n³= ▲ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）

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18. 综合实践．
活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系

活动资源：提供长度不同的两种木棒各 $4$ 根 $($ 如图 $)$

入项任务：运用以上 $8$ 根木棒 $($ 不折断 $)$ 摆成长方形或正方形，且木棒全部用完 $.$ 选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法 $($ 如图 $)$ 进行研究．

问题探究过程

(1)、发现问题：
请观察以上所有图形，并研究不同2种或2种以上 $)$ 摆法的图形面积之间关系，你发现哪些结论？
例如：小明发现：甲摆法的面积是乙摆法总面积的2倍．
小张发现：丁摆法的总面积大于乙摆法的总面积．
聪明的你，能提出不同于小明和小张的更创新更有意义问题吗？
你的发现是； $($ 请用简洁的语言描述 $)$

(2)、提出问题：
请用代数式表示你的发现 $($ 设两种木棒的长度分别为 $a$ ， $b ($ 其中 $a > b)$ ，四种图形面积分别为 $S_{甲}$ ， $S_{乙}$ ， $S_{丙}$ ， $S_{丁}$ ．
例如：小明的结论是 $S_{甲} = 2 S_{乙} = 4 a b$ ．
小张的结论是 $S_{丁} > S_{乙}$ ，
你的结论是：；

(3)、分析问题：
请用所学的数学知识证明你的结论．
例如：小明的证明方法如下．
证： $∵ S_{甲} = 2 a \times 2 b = 4 a b$ ， $S_{乙} = a b + a b = 2 a b$ ，
$∴ S_{甲} = 2 S_{乙}$ ，
你的证明：；

(4)、拓展创新：
把甲摆法围成大长方形纸片沿虚线剪成四个全等的小长方形，请用四个小长方形拼摆出边长为 $(a - b)$ 的正方形，画出示意图，并用等式表达示意图中的各图形面积之间的关系．
你的示意图：；
你的关系式：．

(5)、迁移应用：
根据以上的研究结论，请解决数学问题，若 $x + y = \sqrt{31}$ ， $x y = 7$ ，求 $x - y$ 的值．

你的解答：．

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19. 数学活动课上，老师提出一个探究问题：
制作一个体积为 $10 d m^{3}$ ，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3 $d m$ ，且不考虑接缝）．
某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．
下面是他们的探究过程，请补充完整：

(1)、设长方体包装盒的底面边长为x $d m$ ，表面积为 $y d m^{2}$ 、可以用含x的代数式表示长方体的高为 $\frac{10}{x^{2}} d m$ ．根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2×底面积+侧面积．
得到y与x的关系式：（ $0 < x \leq 3$ ）；

(2)、列出y与x的几组对应值：（说明：表格中相关数值精确到十分位）
x/ $d m$
…
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
$y / d m^{2}$
…
80.5
42.0
31.2
①
28.5
31.3

(3)、在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象：

(4)、结合画出的函数图象，解决问题：
长方体包装盒的底面边长约为 $d m$ 时，需要的材料最省．

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x/ $d m$	…	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0
$y / d m^{2}$	…	80.5	42.0	31.2	①	28.5	31.3