备考2024年中考数学探究性训练专题3 新定义问题

试卷更新日期：2024-03-10 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 对于实数a，b定义运算“®”为 $a \otimes b = b^{2} - a b$ ，例如： $3 \otimes 2 = 2^{2} - 3 \times 2 =$ -2，则关于 $x$ 的方程 $(k - 3) \otimes x = k - 1$ 的根的情况，下列说法正确的是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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2. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用 $1$ ， $2$ ， $3$ 这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{9}$

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3. 现定义运算：对于任意实数a，b，都有a★b=a²-3a+b，如：3★5=3²-3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是（）

A、1 B、4 C、-1或4 D、1或-4

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4. 对于多项式： $x - y + z - m + n$ ，只选取两个字母，并交换它们的位置（符号不参与交换），称这种操作为一种“交换操作”。然后再进行运算，并将化简的结果记为 $M$ 。
例如： $x$ ， $y$ 交换后 $M = y - x + z - m + n$ ； $x$ ， $z$ 交换后 $M = z - y + x - m + n$
下列相关说法正确的个数是：
①存在一种“交换操作”，使其运算结果为 $M = x + y + z - m - n$
②共有四种“交换操作”，使其运算结果与原多项式相等；
③所有的“交换操作”共有7种不同的运算结果．

A、0 B、1 C、2 D、3

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5. 定义：在平面直角坐标系中，对于点 $P (x_{1} ， y_{1})$ ，当点 $Q (x_{2} ， y_{2})$ 满足 $2 (x_{1} + x_{2}) = y_{1} + y_{2}$ 时，称点 $Q (x_{2} ， y_{2})$ 是点 $P (x_{1} ， y_{1})$ 的“倍增点”．在平面直角坐标系中，若反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 图象上的点A与点B都是点 $P_{1} (1 ， 0)$ 的“倍增点”，连接OA ， OB ， AB ，则△OAB的面积为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 定义新运算：对于两个不相等的实数a ， b ，我们规定符号max{a ， b}表示a ， b中的较大值，如：max{1，3}＝3，因此max{-1，-3}＝-1；按照这个规定，若max{x ， -x}＝ $\frac{x^{2} - 2 x - 1}{2}$ ，则x的值是（　　）

A、-1 B、-1或2+ $\sqrt{5}$ C、2+ $\sqrt{5}$ D、1或2- $\sqrt{5}$

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7. 新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝x²-2x+3的“图象数”为[1，-2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　）

A、-2 B、 $\frac{1}{4}$ C、-2或2 D、2

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8. 对于一个函数，如果它的自变量x与函数值满足：当-1≤x≤1时，-1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝-x均是“闭函数”．已知y＝ax²+bx+c（a≠0）是“闭函数”且抛物线经过点A（1，-1）和点B（-1，1），则a的取值范围是（　　）

A、 $- \frac{1}{2} ⩽ a ⩽ \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2} ⩽ a < 0$ 或 $0 < a ⩽ \frac{1}{2}$ C、-1≤a≤1 D、-1≤a＜0或0＜a≤1

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9. 在多项式x-y-z-m-n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x-y-|z-m|-n＝x-y-z+m-n ， |x-y|-z-|m-n|＝x-y-z-m+n ， …．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是（　　）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10. 定义一种关于整数n的“F”运算：
⑴当n是奇数时，结果为3n+5；
⑵当n是偶数时，结果是 $\frac{k}{2^{n}}$ （其中k是使 $\frac{k}{2^{n}}$ 是奇数的正整数），并且运算重复进行．
例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74…；若n＝9，则第2023次运算结果是（　　）

A、6 B、7 C、8 D、9

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二、填空题

11. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”若等腰ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为.

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12. 对于任意两个非零实数a，b定义新运算“*”如下： $a * b = \frac{1}{b} - \frac{1}{a}$ ，例如： $3 * 4 = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{12}$ 若 $x * y = 2$ ，则 $\frac{2024 x y}{x - y}$ 的值为.

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13. 对于任意两个非零实数定义新运算“*”如下 $a * b = \frac{1}{b} - \frac{1}{a}$ ，例如： $3 * 4 =$ $\frac{1}{4} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{12}$ .若 $x * y = 2$ ，则 $\frac{2024 x y}{x - y}$ 的值为。

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14. 定义新运算 $\frac{a}{a_{z}}$ ，规定 $\frac{a}{a_{z}} (x^{n}) = n x^{n - 1}$ . 方程 $(x + 1) + \frac{a}{a_{x}} (x^{2}) = \frac{3 - 2 x}{x}$ 的解为．

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15. 材料：如果一个四位自然数M各个数位上的数字都不为0，把它前两位数字组成的两位数记为x ，后两位数字组成的两位数记为y ，规定： $F (M) = \frac{x + 2 y}{7}$ ， $G (M) = 2 x - y$ ，当 $F (M)$ 为整数时，称这个四位数M为“励志数”，则 $F (1119) - G (1119) =$ ；若“励志数” $S = 1020 a + 100 b + c + 5$ ，（ $1 \leq a \leq 4$ ， $1 ≤ b ≤ 4$ ， $0 \leq c \leq 4$ ， a ， b ， c为整数），且 $G (S)$ 除以7余数为2，则 $S =$ ．

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16. 对于一个函数，自变量 $x$ 取 $a$ 时，函数值 $y$ 也等于 $a$ ，则称 $a$ 是这个函数的不动点．已知二次函数 $y = x^{2} + 2 x + m$ ．
①若3是此函数的不动点，则 $m$ 的值为；
②若此函数有两个相异的不动点 $a$ ， $b$ ，且 $a < 1 < b$ ，则 $m$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 【定义】平面直角坐标系内的直角三角形如果满足以下两个条件：①两直角边平行于坐标轴；②斜边的两个顶点在同一反比例函数图象上．那么我们把这个直角三角形称为该反比例函数的“伴随直角三角形”．
例如，在图中，Rt△ABC的边BC∥x轴，AC∥y轴，且点A，B在反比例函数
$y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，则Rt△ABC是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的“伴随直角三角形”．

(1)、【理解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，点A，B，C的坐标分别为
①A（3，4），B（6，2），C（6，4）；
②A（3，1），B（2，2），C（2，1）；
③A（﹣1，2），B（1，﹣2），C（1，2）．
其中可能是某反比例函数的“伴随直角三角形”的是；（填序号）

(2)、【应用】已知点C（2，﹣3）是反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的“伴随直角三角形”的直角顶点，求直线AB的函数表达式；

(3)、【提升】Rt△ABC是反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的“伴随直角三角形”，且点A的坐标为（﹣4，﹣1），点B的坐标为（﹣1，﹣4）．若△ABC平移后得到的△A'B'C'，且△A'B'C'是反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的“伴随直角三角形”，分别求点A'，B'的坐标．

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18. 定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a ， b），B（c ， d），若点T（x ， y）满足x $= \sqrt{| a c |}$ ， y $= \sqrt{| b d |}$ ，那么称点T是点A、B的“和美点”．

(1)、已知A（﹣1，8），B（4，﹣2），C（2，4）．请判断点C（填“是”或“不是”）A、B两点的“和美点”．

(2)、平面直角坐标系中，有四个点A （8，﹣1），B（2，﹣4），C（﹣3，5），D（12，5），点P是点A、B的“和美点”，点Q是点C、D的“和美点”．求过P、Q两点的直线解析式．

(3)、若反比例函数y $= \frac{4}{x}$ 图象上有两点A、B ，点T是点A、B的“和美点”，试问点T的横、纵坐标的积是否为常数？若是常数，请求出这个常数；若不是常数，请说明理由．

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19. 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

(1)、已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长．

(2)、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．
求证：△ABC是比例三角形．

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20. 一个三位正整数，将它的个位数字与百位数字交换位置，所得的新数恰好与原数相同，我们把这样的三位正整数称为“对称数”，如555，323，191都是“对称数”．

(1)、请你写出2个“对称数”；

(2)、嘉琪说：“任意一个“对称数”减去其各位数字之和，所得的结果都是9的倍数．”他的说法是否正确，请说明理由．

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21. 我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”．

(1)、求抛物线 $y = x^{2} - 2 x + 2$ 与x轴的“和谐值”；

(2)、求抛物线 $y = x^{2} - 2 x + 2$ 与直线 $y = x - 1$ 的“和谐值”．

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22. 定义：若一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）满足b＝ac ．则称此方程为“和美”方程．

(1)、当b＜0时，判断此时“和美”方程ax²+bx+c＝0（a≠0）解的情况，并说明理由．

(2)、若“和美”方程2x²+mx+n＝0有两个相等的实数根，请解出此方程．

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23. 若我们规定：在平面直角坐标系中，点P的坐标为 $(x ， y_{1})$ ，点Q的坐标为 $(x ， y_{2})$ ， $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的差构成一个新函数y，即 $y = y_{1} - y_{2}$ ．称y是 $y_{1} - y_{2}$ 的“数天数函数”，P为“天数点1”，Q为“天数点2”．（亲爱的同学们：愿你们在“数天数”中不负韶华，一次次交上自己满意的答卷．）

(1)、已知“天数点1”为点 $A (x ， k x + 4)$ ， “天数点2”为点 $B (x ， 2 x)$ ．点 $C (2 ， 3)$ 在“数天数函数” $y = y_{1} - y_{2}$ 图象上，求y的解析式；

(2)、已知“天数点1”为点 $M (x ， x^{2} + 3)$ ， “天数点2”为点 $N (x ， 3 x)$ ， y是“数天数函数”，求 $x + y$ 的最小值；

(3)、关于x的方程的两个实数根 $x_{1} 、 x_{2}$ ， “数天数函数” $S = S_{1} - S_{2}$ ．若， $S_{2} = - x_{2}$ ，且 $S_{1} = m + 1$ ，求m的值．

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24. 如果有两点到一条直线的距离相等，那么称这条直线为“两点的等距线”.

(1)、如图1，直线CD经过线段AB的中点P，试说明直线CD是点A，B的一条等距线.

(2)、如图2，A，B，C是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“A，B的等距线”.

(3)、如图3，△ABC中，A（1，2），B（o，-1），C（-2，1）.x轴上是否存在点P，使 $S_{△ A P C} = S_{△ B P C}$ ，若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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25. 对于平面内的一个四边形，若存在点О，使得该四边形的一条对角线绕点О旋转一定角度后能与另-条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点О是该四边形的一个“旋点”例如，在矩形MNPQ中，对角线MP，NQ相交于点T，则点T是矩形MNPQ的一个“旋点”.

(1)、若菱形ABCD为“可旋四边形”，其面积是4，则菱形ABCD的边长是.

(2)、如图1，四边形ABCD为“可旋四边形”，边AB的中点О是四边形ABCD的一个“旋点”.求∠ACB的度数.

(3)、如图2，在四边形ABCD中，AC=BD，AD与BC不平行.四边形ABCD是否为“可旋四边形”？请说明理由.

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26. 我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点 $P (x_{1} ， y_{1}) 、 Q (x_{2} ， y_{2})$ ，如果满足 $y_{1} - x_{1} = y_{2} - x_{2}$ ，那么称 $P 、 Q$ 两点互为“等差点”．

(1)、请判断在点 $A (2 ， - 1) 、 B (1 ， 4) 、 C (- 2 ， - 1)$ 中，有哪些点与点 $D (- 1 ， 2)$ 互为“等差点”？

(2)、已知点 $E$ 在直线 $y = x - 2$ 上，点 $F$ 在双曲线 $y = \frac{k^{2} - 1}{x}$ （ $k$ 为常数，且 $k \neq \pm 1$ ）上，且 $E 、 F$ 两点互为“等差点”．请求出点 $F$ 的坐标（用含 $k$ 的代数式表示）；

(3)、已知抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + 2$ （ $a ， b$ 为常数且 $a \neq 0 、 b \neq 0$ ）的顶点为 $G$ 点，与 $x$ 轴交于 $M 、 N$ 两点， $G M ⊥ G N ， P 、 Q$ 两点分别在抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + 2$ 和直线 $y_{2} = \frac{b}{2} x - 3$ 上，如果 $P 、 Q$ 两点互为“等差点”，且 $P 、 Q$ 两点的横坐标是一元二次方程 $a x^{2} + \frac{3 b - 4}{2} x + \frac{7}{2} = 0$ 的两根，求 $3 a - b$ 的值．

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27. 【综合与实践】
定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图①所示的四边形ABCD是垂美四边形．

(1)、【概念理解】
①正方形，②菱形，③矩形，三个图形中一定是垂美四边形的是；（填序号）

(2)、【性质探究】
小明说：在如图①的垂美四边形ABCD中AD²+BC²＝AB²+CD² ，请你判断他的说法是否正确，并说明理由；

(3)、【问题解决】
如图②，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE交AB于点M，连接BG交CE于点N，连接GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．

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28. 如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，确足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是 $\overset{⌢}{C D}$ 的“美丽角”．

(1)、如图2，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，D是 $\overset{⌢}{B C}$ 上一点，连结ED交AB于点P，连结CP，∠CPD是 $\overset{⌢}{C D}$ 的“美丽角”吗？请说明理由；

(2)、设 $\overset{⌢}{C D}$ 的度数为α，请用含α的式子表示 $\overset{⌢}{C D}$ 的“美丽角”度数；

(3)、如图3，在（1）的条件下，若直径AB＝5， $\overset{⌢}{C D}$ 的“美丽角”为90°，当 $D E = \frac{7}{2} \sqrt{2}$ 时，求CE的长．

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29. 定义：当 $x$ 取任意实数，函数值始终不小于一个常数时，称这个函数为“恒心函数”，这个常数称为“恒心值”.

(1)、判断：函数 $y = x_{}^{2} + 2 x + 2$ 是否为“恒心函数”，如果是，求出此时的“恒心值”，如果不是，请说明理由；

(2)、已知“恒心函数” $y = 3 | a x_{}^{2} + b x + c | + 2$
①当 $a > 0 ， c < 0$ 时，此时的恒心值为；
②若三个整数 $a 、 b 、 c$ 的和为12，且 $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$ ，求 $a$ 的最大值与最小值，并求出此时相应的 $b 、 c$ 的值；

(3)、“恒心函数” $y = a x_{}^{2} + b x + c (b > a)$ 的恒心值为0，且 $\frac{a + b + c}{a + b} > m$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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