备考2024年中考数学探究性训练专题1 数、式规律

试卷更新日期：2024-03-10 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 观察下列两行数：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…

1，4，7，10，13，16，19，22，25，…

探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n等于（）

A、18 B、19 C、20 D、21

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2. 观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x² ， 5x³ ， 7x⁴ ， 9x⁵ ， 11x⁶ ， ….按照上述规律，第2021个单项式是（　　）

A、2021x²⁰²¹ B、4041x²⁰²² C、4041x²⁰²¹ D、4043x²⁰²¹

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3. 在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，小强设计了一个数学探究活动，他对依次排列的两个整式 $- m$ 和 $- n$ 按如下规律进行操作：第1次操作后得到3个整式 $- m$ ， $- n$ ， $- n + m$ ；第2次操作后得到4个整式 $- m$ ， $- n$ ， $- n + m$ ， $m$ ……其操作规则为：每次操作所增加的整式，都是用上一次操作得到的最后一个整式减去其前一整式的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏的第2023次操作后得到的各整式之和是（）

A、 $- 2 n$ B、 $- m$ C、 $- n + m$ D、 $- 2 n + m$

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4. 如图，在平面直角坐标系中， $A_{1} (1 ， 2)$ ， $A_{2} (2 ， 0)$ ， $A_{3} (3 ， - 2)$ ， $A_{4} (4 ， 0)$ ……根据这个规律，探究可得点 $A_{2021}$ 的坐标是（）

A、 $(2020 ， 0)$ B、 $(2021 ， 2)$ C、 $(2020 ， - 2)$ D、 $(2021 ， - 2)$

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5. 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方.请你探究如图洛书三阶幻方中，奇数和偶数的位置、数和数之间的数量关系所呈现的规律，根据这一规律，求出 $a$ ， $b$ ，则 $a^{b} =$ （）

A、16 B、8 C、 $- 16$ D、 $- 8$

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6. 如果正整数a、b、c满足等式 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（）

A、47 B、62 C、79 D、98

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7. 仔细观察，探究规律：
$(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$

$(x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{5} - 1$

则算式 $2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{2021}$ 值的个位数字为（）

A、1 B、3 C、5 D、7

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二、填空题

8. 小苗探究了一道有关分式的规律题， $\frac{1}{x + 3}$ ， $\frac{3}{x + 5}$ ， $\frac{4}{x + 7}$ ， $\frac{7}{x + 9}$ ， $\frac{11}{x + 11}$ ，， $\frac{29}{x + 15}$ ， …请按照此规律在横线上补写出第6个分式．

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9. 两小朋友在玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台级数为一级、二级、三级、…逐步增加时，楼梯的上法依次为：1，2，3，5，8，13，21，…（这就是著名的斐波拉契数列），请你认真观察这一列数规律，探究一下，上11级台阶共有种上法.

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10. 观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
-2，4，-8，16，-32，64，…①
0，7，-4，21，-26，71，…②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为.

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11. 下列是一些两位数减法运算：
$21 - 12 = 9 ， 31 - 13 = 18 ， 32 - 23 = 9 ， 42 - 24 = 18$ ，
$14 - 41 = - 27 ， 51 - 15 = 36 ， 26 - 62 = - 36 ， \cdot \cdot \cdot$
观察上述算式及其计算结果，对两位数减法运算中的某种特殊情形进行探究：

(1)、请另外写出一个符合上述规律的算式：；

(2)、用字母表示你所观察到的规律．

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12. 小亮在计算 $(5 m + 2 n) (5 m - 2 n) + (3 m + 2 n)^{2} - 3 m (11 m + 4 n)$ 的值时，把 $n$ 的值看错了，其结果等于25，细心的小敏把正确的 $n$ 的值代入计算，其结果也是25．为了探究明白，她又把 $n = 2023$ 代入，结果还是25．则 $m$ 的值为．

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13. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为非零有理数，请你探究以下问题：

(1)、当 $a < 0$ 时， $\frac{a}{| a |} =$ ；

(2)、 $\frac{a b}{| a b |} + \frac{| b c |}{b c} + \frac{c a}{| c a |} + \frac{| a b c |}{a b c}$ 的最小值为．

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三、解答题

14. 发现：当两个不同的正整数同为偶数或奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．
验证：如， ${(3 + 1)}^{2} - {(3 - 1)}^{2} = 12$ 能被4整除，请把3与1的积写成两个正整数的平方差；

探究：设“发现”中两个正整数分别为m，n，请论证“发现”中的结论正确．

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15. 小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法.下面是她解方程 $\sqrt{x - 2}$ ＋ $\sqrt{x - 7}$ ＝5的过程.
解：设 $\sqrt{x - 2}$ ﹣ $\sqrt{x - 7}$ ＝m，与原方程相乘得：

（ $\sqrt{x - 2}$ ＋ $\sqrt{x - 7}$ ）×（ $\sqrt{x - 2} - \sqrt{x - 7}$ ）＝5m，

x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，

∴ $\sqrt{x - 2}$ ﹣ $\sqrt{x - 7}$ ＝1，与原方程相加得：

（ $\sqrt{x - 2}$ ＋ $\sqrt{x - 7}$ ）+（ $\sqrt{x - 2} - \sqrt{x - 7}$ ）＝5＋1，

2 $\sqrt{x - 2}$ ＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根.

学习借鉴解法，解方程 $\sqrt{x - 3}$ ﹣ $\sqrt{x - 6}$ ＝1.

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16. 学习完数轴以后，喜欢探索的小聪在纸上画了一个数轴（如图所示），并进行下列操作探究：

(1)、操作一：折叠纸面，使表示1的点与表示-1的点重合，则表示-4的点与表示的点重合．

(2)、操作二：折叠纸面，使表示-3的点与表示1的点重合，回答以下问题：
表示2的点与表示的点重合；

(3)、若数轴上A、B两点之间距离是a（a＞0）（A在B的左侧），且折叠后A、B两点重合．求A、B两点表示的数是多少？

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17. 探究题：阅读下列材料，规定一种运 $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - b c$ ，例如 $| \begin{array}{l} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{array} | = 2 \times 5 - 4 \times 3 = 10 - 12 = - 2$ ，再如 $| \begin{array}{l} x & x - 3 \\ 3 & - 2 \end{array} | = - 2 x - 3 (x - 3) = - 5 x + 9$ ，按照这种运算的规定，请解答下列问题：

(1)、 $| \begin{array}{l} 1 & - 3 \\ 3 & - 2 \end{array} | =$ ．（只填结果）；

(2)、若 $| \begin{array}{l} x + 8 & x - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | = 0$ ，求 $x$ 的值．（写出解题过程）

(3)、若 $| \begin{array}{l} k x^{2} & x^{2} \\ 2 & 2 \end{array} | = | \begin{array}{l} 2 x^{2} - 1 & x \\ - 1 & 4 \end{array} |$ 化简后是一个关于x的一元一次方程，求k的值．（写出解题过程）

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18. 数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道： $\sqrt{2} \approx 1.414 \dots$ ，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是 $1$ ，那么有谁能说出它的小数部分是多少？”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用 $\sqrt{2} - 1$ 来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法 $.$ 现请你根据小明的说法解答：

(1)、 $\sqrt{5}$ 的小数部分是 $a$ ， $\sqrt{13}$ 的整数部分是 $b$ ，求 $a + b - \sqrt{5}$ 的值．

(2)、已知 $8 + \sqrt{3} = x + y$ ，其中 $x$ 是一个整数， $0 < y < 1$ ，求 $3 x + (y - \sqrt{3})^{2018}$ 的值．

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19. 探究与应用
我们学习过（x-1）（x+1）＝x²-1，那么（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）计算结果呢？
完成下面的探究：

(1)、（x-1）（x²+x+1）＝；

(2)、（x-1）（x³+x²+x+1）＝；……

(3)、（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）＝；

(4)、应用：计算2+2²+2³+2⁴+……+2²⁰²² ．

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20. 探究题：

(1)、问题情景：将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：
$x^{2} + 6 x + 9 =$ ； $x^{2} - 4 x + 4 =$ ； $4 x^{2} - 20 x + 25 =$ ；

(2)、探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现： $6^{2} = 4 \times 1 \times 9$ ； $(- 4)^{2} = 4 \times 1 \times 4$ ； $(- 20)^{2} = 4 \times 4 \times 25$ ；
归纳猜想：若多项式 $a x^{2} + b x + c (a > 0 ， c > 0)$ 是完全平方式，猜想：系数a，b，c之间存在的关系式为．

(3)、验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论．

(4)、解决问题：若多项式 $(n + 1) x^{2} - (2 n + 6) x + (n + 6)$ 是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n的值．

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21. 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整：

(1)、具体运算，发现规律，
第1个等式： $\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ ；
第2个等式： $\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ；
第3个等式： $\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ；
第4个等式：．

(2)、观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：．

(3)、试证明你的猜想：

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22. 探究与发现
观察下列等式的规律，解答下列问题；
$a_{1} = \frac{1}{2} (\frac{2}{1} + \frac{2}{2})$ ， $a_{2} = \frac{1}{2} (\frac{2}{2} + \frac{2}{3})$ ， $a_{3} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} + \frac{2}{4})$ ， $a_{4} = \frac{1}{2} (\frac{2}{4} + \frac{2}{5})$ ， $a_{5} = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} + \frac{2}{6})$ ， …

(1)、第6个等式为 $a_{6} =$ ，第100个等式 $a_{100} =$ ；

(2)、第n个等式为 $a_{n} =$ （用含n的代数式表示，n为正整数）；

(3)、设 $S_{1} = a_{1} - a_{2}$ ， $S_{2} = a_{3} - a_{4}$ ， $S_{3} = a_{5} - a_{6}$ ， …， $S_{1010} = a_{2019} - a_{2020}$ ．求： $S_{1} + S_{2} + S_{3} + ⋯ + S_{1011}$ 的值．

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23. 综合与探究
观察以下各式：
（x﹣y）（x+y）＝x²﹣y² ．
（x﹣y）（x²+xy+y²）＝x³﹣y³ ．
（x﹣y）（x³+x²y+xy²+y³）＝x⁴﹣y⁴ ．
（x﹣y）（x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴）＝x⁵﹣y⁵ ．
请回答以下问题：

(1)、填空：（x﹣y）（x⁶+x⁵y+x⁴y²+x³y³+x²y⁴+xy⁵+y⁶）＝．

(2)、若n≥2，求证：6ⁿ﹣2ⁿ一定能被4整除．

(3)、求 $\frac{1 0^{20}}{9} -$ 10¹⁹﹣10¹⁸﹣10¹⁷﹣10¹⁶﹣…﹣10²﹣10﹣1的值．

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24. 探究应用：

(1)、计算： $(a - 1) (a^{2} + a + 1) = a^{3} + a^{2} + a - a^{2} - a - 1 = a^{3} - 1$ ；
$(2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + y^{2}) =$ =；

(2)、（1）中的整式乘法计算结果很简洁，由（1）发现一个新的乘法公式：
（a—b）（）=（）（用含a、b的字母表示）；

(3)、下列各项能用（2）中你发现的乘法公式计算的是（）

A、 $(a - 3) (a^{2} - 3 a + 9)$ B、 $(2 m - n) (2 m^{2} + 2 m n + n^{2})$ C、 $(4 - x) (16 + 4 x + x^{2})$ D、 $(m - n) (m^{2} + 2 m n + n^{2})$

(4)、求 $(3 x - 2 y) (9 x^{2} + 6 x y + 4 y^{2})$ 的值.

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25. 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小丽的探究过程，请补充完整：

(1)、具体运算，发现规律，
特例1： $\sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{3 + 1}{3}} = \sqrt{4 \times \frac{1}{3}} = 2 \sqrt{\frac{1}{3}}$
特：2： $\sqrt{2 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{8 + 1}{4}} = \sqrt{9 \times \frac{1}{4}} = 3 \sqrt{\frac{1}{4}}$
特：3： $\sqrt{3 + \frac{1}{5}} = 4 \sqrt{\frac{1}{5}}$
特例4：．（填写一个符合上述运算特征的例子）；

(2)、观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：；

(3)、证明你的猜想；

(4)、应用运算规律化简： $\sqrt{2022 + \frac{1}{2024}} \times \sqrt{4048}$ ＝．

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26. 乘法公式的探究及应用.

(1)、如左图，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；

(2)、如右图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是（写成多项式乘法的形式）

(3)、比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（用式子表达）

(4)、运用你所得到的公式，计算下列各题：
① $12 3^{2} - 124 \times 122$
② $(m + n - b) (m - n + b)$

(5)、求 $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) \cdot \cdot \cdot (1 - \frac{1}{202 1^{2}}) (1 - \frac{1}{202 2^{2}})$ 的值.

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27. 在数学探究课上，老师布置如下活动：用若干个大小一样的小矩形拼成一个大矩形，探究图中包含的矩形（含正方形）个数，如图1，是由两个小矩形组成的一个图形，该图中共有3个矩形．尝试解决以下问题：

(1)、图2是由4个小矩形组成的图形，该图中共有个矩形；图3是由6个小矩形组成的图形，该图中共有个矩形；

(2)、小军在与同学探究时发现，矩形的个数与最大矩形的长和宽所包含的线段条数有关．如图4，最大矩形的长包含6条线段，宽也包含6条线段，则该图中共有个矩形；若某大矩形是由mn个矩形组成，则该图中共有个小矩形；（备注：1＋2＋3＋……＋n＝ $\frac{n (n + 1)}{2}$ ）

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28. 数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．

(1)、图中阴影部分的面积为；

(2)、受此启发，得到 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ⋯ + \frac{1}{2^{6}}$ ＝；

(3)、联系拓广，得到 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ⋯ + \frac{1}{2^{n}}$ ＝（用含n的式子表示）；

(4)、迁移应用：得到 $\frac{2}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3^{2}} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3^{3}} \times \frac{2}{3} + ⋯ + \frac{1}{3^{2023}} \times \frac{2}{3}$ ＝（直接写出答案即可）．

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29. 实际问题：
各边长都是整数，最大边长为31的三角形有多少个？
问题建模：为解决上面的数学问题，我们先研究下面的数学模型。
在1～n这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n，有多少种不同的取法？
为了找到解决问题的方法，我们把上面数学模型简单化．
探究一：
在1～4这4个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于4，有多少种不同的取法？
第一步：在1～4这4个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于4，根据题意，有下列取法：1+4，2+3，2+4，3+2，3+4，4+1，4+2，4+3；而1+4与4+1，2+3与3+2，…是同一种取法，所有上述每一种取法都重复过一次，因此共有 $\frac{1 + 2 + 2 + 3}{4} = 4 = \frac{4^{2}}{4}$ 种不同的取法．
第二步：在1～4这4个自然数中，每次取两个相同的数，使得所取的两个数之和大于4，有下列取法：3+3，4+4，因此有2种不同的取法．
综上所述，在1～4这4个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于4，有 $\frac{4^{2}}{4} + 2$ 种不同的取法．
探究二：
在1～5这5个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于5，有多少种不同的取法？
第一步：在1～5这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，根据题意，有下列取法：1+5，2+4，2+5，3+4，3+5，4+2，4+3，4+5，5+1，5+2，5+3，5+4；而1+5与5+1，2+4与4+2，…是同一种取法，所有上述每一种取法都重复过一次，因此共有 $\frac{1 + 2 + 2 + 3 + 4}{4} = 6 = \frac{5^{2} - 1}{4}$ 种不同的取法．
第二步：在1～5这5个自然数中，每次取两个相同的数，使得所取的两个数之和大于5，有下列取法：3+3，4+4，5+5因此有3种不同的取法．
综上所述，在1～5这5个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于5，有 $\frac{5^{2} - 1}{4} + 3$ 种不同的取法．
探究三：
在1～6这6个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于6，有多少种不同的取法？（仿照探究二写出探究过程）
探究四：
在1～7这7个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于7，有      ▲ 种不同的取法．
探究五：
在1～n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n，有      ▲ 种不同的取法．
探究六：
在1～n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n，有      ▲ 种不同的取法．
问题解决：
①各边长都是整数，最大边长为20的三角形有      ▲ 个；
②各边长都是整数，最大边长为31的三角形有      ▲ 个．

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