备考2024年中考数学核心素养专题十几何图形的探究型问题

试卷更新日期：2024-03-10 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形，探究在第n个图中，黑、白瓷砖分别各有多少块（）

A、 $4 n + 6$ ， $n (n + 1)$ B、 $4 n + 6$ ， $n (n + 2)$ C、 $n (n + 1)$ ， $4 n + 6$ D、 $n (n + 2)$ ， $4 n + 6$

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2. 小红在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线ln(n=1，2，3，4，5，6，7)，其中l₁、l₂互相平行，l₃、l₄、I₅三条直线交于一点，则他探究这7条直线的交点个数最多是（）

A、17个 B、18个 C、19个 D、21个

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3. 在图1所示的 $3 \times 3$ 的网格内有一个八边形，其中每个小方格的边长均为1.经探究发现，此八边形可按图2的方式分割成四个全等的五边形和一个小正方形①.现将分割后的四个五边形重新拼接(即图2中的阴影部分)，得到一个大正方形ABCD，发现该正方形中间的空白部分②也是个正方形，记正方形①得面积为S₁ ，正方形②的面积为S₂ ，且 $S_{1} ： S_{2} = 3 ： 2$ ，则大正方形ABCD的边长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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4. 图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB=6，AC=2．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束．在整个运动过程中，点C运动的路程是（）

A、4 B、6 C、4 $\sqrt{2}$ ﹣2 D、10﹣4 $\sqrt{2}$

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5. 将一张长宽分别为 $4 cm$ 和 $2 cm$ 的长方形纸片 $A B C D$ 按如图方式折叠，使点 $A ， C$ 分别落在长方形纸片内的点 $A^{'} ， C^{'}$ 处，折痕 $B E ， D F$ 分别交 $A D ， B C$ 于点 $E ， F (0 cm < A E < 2 cm)$ ，且满足 $△ A^{'} B E ≌ △ C^{'} D F$ .喜欢探究的小明通过独立思考，得到两个结论：①当点 $E ， A^{'} ， C^{'} ， F$ 在一条直线上时， $A^{'} E = \frac{2}{3} cm$ ；②当 $∠ A E B = 60 °$ 时，四边形 $A^{'} E C^{'} F$ 是菱形.下列判断正确的是（）

A、①正确，②错误 B、①错误，②正确 C、①，②都正确 D、①，②都错误

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二、填空题

6. 何老师在一次“探析矩形折叠问题”的公开课上，与同学们一起对折纸进行了如下探究：已知正方形 $A B C D$ 边长为1，G是 $A B$ 边的中点，E是射线 $D C$ 上的一个动点.

(1)、如图① ，若点E在线段 $D C$ 上且点E与点C不重合，连结 $B E$ ，将 $△ B C E$ 沿着 $B E$ 翻折，使点C落在 $D G$ 上的点M处，连结 $C M$ 延长交 $A D$ 边于点F且 $C F ⊥ D G$ ，则 $E H · C F$ 的值为

(2)、若点E与点C不重合，以点C为圆心，线段 $G E$ 的长为半径作 $⊙ C$ ，当 $⊙ C$ 与线段 $D G$ 只有一个公共点时， $C E$ 的取值范围是.

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7. 如图，把图（a）称为二环三角形，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠A₁+∠B₁+∠C₁；把图（b）称为二环四形边，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠D+∠A₁+∠B₁+∠C₁+∠D₁⋯⋯；依此规律，请你探究：二环n边形的内角和为度.（用含n的式子表示）

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8. 活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.如已知 $△ A B C$ 中， $∠ A = 30 °$ ， $A C = 3$ ， $∠ A$ 所对的边为 $\sqrt{3}$ ，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的 $△ A B C$ 是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为

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9. （问题探究）如图1， $a // b$ ，直线 $M N ⊥ a$ ，垂足为 $M$ ，交 $b$ 于点 $N$ ，点 $A$ 到直线 $a$ 的距离为2，点 $B$ 到 $b$ 的距离为1， $M N = 1$ ， $A B = 5$ ，则 $A M + B N$ 的最小值是；（提示：将线段 $B N$ 沿 $N M$ 方向平移1个单位长度即可解决，如图2所示.）
（关联运用）如图3，在等腰 $R t △ A B C$ 和等腰 $R t △ D E F$ 中， $∠ A C B = ∠ D F E = 90 °$ ， $E F$ 在直线 $A B$ 上， $B C = 2 D F = 4$ ，连接 $C E$ 、 $C F$ ，则 $C E + C F$ 的最小值是.

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10. 数学兴趣小组的同学拿出如图所示的矩形纸片 $A B C D$ ，其中 $\frac{A B}{B C} = \frac{7}{12}$ ，他们将纸片对折使 $A D$ 、 $B C$ 重合，展开后得折痕 $M N$ ，又沿 $B M$ 折叠使点C落在 $C^{'}$ 处，展开后又得到折痕 $B M$ ，再沿 $B E$ 折叠使点A落在 $B M$ 上的 $A^{'}$ 处，大家发现了很多有趣的结论．就这个图形，请你探究 $\frac{D E}{A E}$ 的值为．

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三、实践探究题

11. 实践与探究

(1)、操作一：如图①．已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE．再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF．则∠EAF=度．

(2)、操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF= 度．

(3)、在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
①设AM与NF的交点为点P．求证：AP=EF：
②若AB= $4 \sqrt{3}$ ，则线段EF的长为

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12. 【问题呈现】
△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA ， CE＝mCD ，连接AD ， BE ，探究AD ， BE的位置关系．
【问题探究】

(1)、如图1，当m＝1时，直接写出AD ， BE的位置关系：．

(2)、如图2，当m≠1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

(3)、【拓展应用】当 $m = \sqrt{3}$ ， $A B = 4 \sqrt{7}$ ， DE＝4时，将△CDE绕点C旋转，使A ， D ， E三点恰好在同一直线上，求BE的长．

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13. 操作探究题

(1)、已知 $A C$ 是半圆 $O$ 的直径， $∠ A O B = (\frac{180}{n}) °$ （ $n$ 是正整数，且 $n$ 不是3的倍数）是半圆 $O$ 的一个圆心角．
操作：如图1，分别将半圆 $O$ 的圆心角 $∠ A O B = (\frac{180}{n}) °$ （ $n$ 取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

交流：当 $n = 11$ 时，可以仅用圆规将半圆 $O$ 的圆心角 $∠ A O B = (\frac{180}{n}) °$ 所对的弧三等分吗？

探究：你认为当 $n$ 满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆 $O$ 的圆心角 $∠ A O B = (\frac{180}{n}) °$ 所对的弧三等分？说说你的理由．

(2)、如图2， $⊙ o$ 的圆周角 $∠ P M Q = (\frac{270}{7}) °$ ．为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧 $\overset{⌢}{C D}$ （要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

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14. 数学活动课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：

(1)、【操作探究】如图1， $△ A B C$ 为等边三角形，将 $△ A B C$ 绕点A旋转 $180 °$ ，得到 $△ A D E$ ，连接BE ， F是BE的中点，则 $∠ E B C =$ ；连接AF ，则AF与DE的数量关系是．

(2)、【迁移探究】如图2，将（1）中的 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $30 °$ ，得到 $△ A D E$ ，其他条件不变，求出此时 $∠ E B C$ 的度数及AF与DE的数量关系．

(3)、【拓展应用】如图3，在 $R t △ A B C$ 中， $A B = A C = 2$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点A旋转，得到 $△ A D E$ ，连接BE ， F是BE的中点，连接AF ．在旋转过程中，当 $∠ E B C = 15 °$ 时，线段AF的长为：．

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15. 某班“数学兴趣小组”在学习“勾股定理”章节的内容后，遇到这样的问题：如图，在直角三角形ACB中，

C A = 6

，

C B = 8

，点D是边CB上的一个动点（不与B、C重合），连接AD.若

△ A D B

是等腰三角形，求线段CD的长.

方法一：小敏利用刚学习的勾股定理进行解决，当 $△ A B D$ 为等腰三角形时， $A D = B D$ ，设 $C D = x$ ，则 $B D = 8 - x$ ，所以 $A D = B D = 8 - x$ ，在直角三角形ACD中，利用勾股定理可得， $6^{2} + x^{2} = {(8 - x)}^{2}$ ，

解得 $x = \frac{7}{4}$ .故当 $△ A B D$ 为等腰三角形时，CD的长为 $\frac{7}{4}$ .

方法二：小聪提前预习了函数这一章节的内容，他尝试利用函数的方法探究并解决该问题.

下面是他的探究讨程，请你补充完整.

(1)、根据点D在PC上的不同付置，画出相应图形，测量出线段CD、AD的长度，得出下面的表格：

CD	0	1	2	3	4	5	6	7	8
AD	6	6.1	6.3	6.7	7.2	7.8	8.5	9.2	a

①表格中 $a$ 的值为.

②小聪分析得知不用测量BD的值，因为CD与BD满足关系式：.

(2)、将CD的长作为自变量x，AD的长为x的函数，记为y，在下面平面直角坐标系中画出函数y关于x的图象，并写出该函数的一条性质： ▲ .

(3)、继续在平面直角坐标系画出小聪所需的其他函数图象，并结合图形直接写出，当

△ A B D

为等腰三角形时，线段CD的长度的近似值（精确到0.1）.

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16. 如图，半圆O中， $A B = 8 c m$ ，点M为 $A B$ 上一点， $A M = 6 c m$ ，点P为半圆上一个动点，连接 $P M 、 A P$ ，过点A作 $A N ⊥ P M$ ，垂足为N．小明根据学习函数的经验，对线段 $A P 、 A N 、 N M$ 的长度之间的关系进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整：

(1)、设 $A P$ 的长度为 $x c m$ ， $A N$ 的长度为 $y_{1} c m$ ， $N M$ 的长度为 $y_{2} c m$ ，对于点P在半圆O上的不同位置，通过画图、测量，得到了线段 $A P 、 A N 、 N M$ 的长度的几组值，如下表：
$x$ /cm
0
1
2
3
4
5
6
7
7.5
7.64
7.78
7.90
8
$y_{1}$ /cm
0
0.99
1.99
2.97
3.92
4.82
5.61
5.90
5.56
5.18
4.46
3.30
0
$y_{2}$ /cm
6
5.91
5.65
5.21
4.53
3.56
2.12
0.24
2.25
3.01
4.0
5.00
6
请计算，当 $P M ⊥ A B$ 时， $A P =$ $c m$ ；

(2)、利用表格中的数据，在如平面直角坐标系 $x O y$ 中画出（1）中所确定的函数 $y_{2}$ 关于x的函数图象；

(3)、观察函数图象分别写出函数 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 的一条性质；

(4)、当 $△ A N M$ 等腰三角形时：
①通过计算可知： $A N = N M =$ $c m$ ；

②通过进一步探究函数图象可知： $A P$ 长度的近似值为 $c m$ ．（保留一位小数）

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17. 课本呈现：如图1，在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置 $C$ 对球门 $A B$ 的张角（ $∠ C$ ）有关．当球员在 $C$ ， $D$ 处射门时，则有张角 $∠ C = ∠ D$ ．某数学小组由此得到启发，探究当球员在球门 $A B$ 同侧的直线 $l$ 射门时的最大张角．
问题探究：

(1)、如图2，小明探究发现，若过 $A$ 、 $B$ 两点的动圆与直线 $l$ 相交于点 $C$ 、 $D$ ，当球员在 $P$ 处射门时，则有 $∠ A C B > ∠ A P B$ ．

小明证明过程如下：

设直线 $B P$ 交圆于点 $E$ ，连接 $A E$ ，则 $∠ A C B = ∠ A E B$

∵ $∠ A E B =$ $+ ∠ E A P$

∴ $∠ A C B =$ $+ ∠ E A P$

∴ $∠ A C B > ∠ A P B$

(2)、如图3，小红继续探究发现，若过 $A$ 、 $B$ 两点的动圆与直线 $l$ 相切于点 $F$ ，当球员在 $F$ 处射门时，则有 $∠ A F B > ∠ A C B$ ，你同意吗？请你说明理由．

(3)、问题应用：如图4，若 $∠ B O C = 45 °$ ， $O B = 10 \sqrt{2}$ 米， $A$ 是中点，球员在射线 $O C$ 上的 $P$ 点射门时的最大张角为 $45 °$ ，则 $O P$ 的长度为米．

(4)、问题迁移：如图5，在射门游戏中球门 $A B = 10$ ， $C D$ 是球场边线， $D E = 25$ ， $∠ A D C$ 是直角， $E F ⊥ C D$ ．若球员沿 $E F$ 带球前进，记足球所在的位置为点 $P$ ，求 $∠ A P B$ 的最大度数．（参考数据： $s i n 67 ° \approx \frac{12}{13}$ ， $c o s 67 ° \approx \frac{5}{13}$ ， $t a n 67 ° \approx 2.4$ ， $t a n 23 ° \approx \frac{5}{12}$ ， $t a n 42 ° \approx \frac{12}{13}$ ．）

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18. 几何探究题

(1)、发现：在平面内，若 $A B = a$ ， $B C = b$ ，其中 $b > a$ ．
当点A在线段BC上时，线段AC的长取得最小值，最小值为；

当点A在线段CB延长线上时，线段AC的长取得最大值，最大值为．

(2)、应用：点A为线段BC外一动点，如图2，分别以AB、AC为边，作等边△ABD和等边△ACE ，连接CD、BE ．
①证明： $C D = B E$ ；

②若 $B C = 5$ ， $A B = 2$ ，则线段BE长度的最大值为．

(3)、拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $(2 ， 0)$ ，点B的坐标为 $(7 ， 0)$ ，点P为线AB外一动点，且 $P A = 2$ ， $P M = P B$ ， $∠ B P M ＝ 90 °$ ．请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

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19. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax²（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0， $\frac{1}{4 a}$ ）的距离PF，始终等于它到定直线l：y= $- \frac{1}{4 a}$ 的距离PN　（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y= $- \frac{1}{4 a}$ 叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= $\frac{1}{2 a}$ ．例如，抛物线y=2x² ，其焦点坐标为F（0， $\frac{1}{8}$ ），准线方程为l：y= $- \frac{1}{8}$ ，其中PF=PN，FH=2OF= $\frac{1}{4}$ ．

(1)、【基础训练】请分别直接写出抛物线y= $\frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点坐标和准线l的方程：，；

(2)、【技能训练】如图2，已知抛物线y= $\frac{1}{4} x^{2}$ 上一点P（x₀ ， y₀）（x₀＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；

(3)、【能力提升】如图3，已知抛物线y= $\frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点为F，准线方程为l．直线m：y= $\frac{1}{2} x - 3$ 交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d₁ ，到直线m的距离为d₂ ，请直接写出d₁+d₂的最小值；

(4)、【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y=ax²（a＞0）平移至y=a(x-h)²+k（a＞0）．
抛物线y=a(x-h)²+k（a＞0）内有一定点F（h， $k + \frac{1}{4 a}$ ），直线l过点M（h， $k - \frac{1}{4 a}$ ）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP₁始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y=2(x-1)²+3上的动点P到点F（1， $\frac{25}{8}$ ）的距离等于点P到直线l：y= $\frac{23}{8}$ 的距离．

请阅读上面的材料，探究下题：

如图4，点D（-1， $\frac{3}{2}$ ）是第二象限内一定点，点P是抛物线y= $\frac{1}{4} x^{2}$ -1上一动点．当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积．

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20. 直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧！
【问题探究】

(1)、①如图1，若 $A B ∥ C D$ ，点P在 $A B ， C D$ 内部， $∠ B = 55 ° ， ∠ D = 30 °$ ，则 $∠ B P D =$ ；
②如图2，若 $A B ∥ C D$ ，将点P在 $A B ， C D$ 外部，求 $∠ B P D ， ∠ B ， ∠ D$ 之间数量关系（不需证明）；
③如图3，写出 $∠ B P D ， ∠ B ， ∠ D ， ∠ B Q D$ 之间的数量关系：（不需证明）．

(2)、如图4，五角星 $A B C D E$ ，请直接写出 $∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E =$ ．

(3)、如图5，将五角星 $A B C D E$ 去掉一个角后， $∠ B ＋ ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ P + ∠ Q$ 是多少？请证明你的结论．

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21. 在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．

(1)、操作判断
小红将两个完全相同的矩形纸片 $A B C D$ 和 $C E F G$ 拼成“L”形图案，如图①．
试判断： $△ A C F$ 的形状为．

(2)、深入探究
小红在保持矩形 $A B C D$ 不动的条件下，将矩形 $C E F G$ 绕点 $C$ 旋转，若 $A B = 2$ ， $A D = 4$ ．
探究一：当点 $F$ 恰好落在 $A D$ 的延长线上时，设 $C G$ 与 $D F$ 相交于点 $M$ ，如图②．求 $△ C M F$ 的面积．
探究二：连接 $A E$ ，取 $A E$ 的中点 $H$ ，连接 $D H$ ，如图③．
求线段 $D H$ 长度的最大值和最小值．

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22. 数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：

(1)、【操作探究】如图1，△ABC为等边三角形，将△ABC绕点A旋转180°，得到△ADE，连接BE，F是BE的中点，连接AF．
①写出图1中一个等于90°的角；
②图1中AF与DE的数量关系是．

(2)、【迁移探究】如图2，将（1）中的等边△ABC绕点A逆时针旋转30°，得到△ADE，其他条件不变．探究AF与DE的数量关系，并说明理由．

(3)、【拓展应用】如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2 $\sqrt{2}$ ，将△ABC绕点A旋转，得到△ADE，连接BE，F是BE的中点，连接AF．在旋转过程中，当∠EBC＝15°时，直接写出线段AF的长．

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23. 综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知 $A B = A C ， ∠ A > 90 °$ ，点 $E$ 为 $A C$ 上一动点，将 $△ A B E$ 以 $B E$ 为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：
独立思考：小明：“当点 $D$ 落在 $B C$ 上时， $∠ E D C = 2 ∠ A C B$ ． ”
小红：“若点 $E$ 为 $A C$ 中点，给出 $A C$ 与 $D C$ 的长，就可求出 $B E$ 的长．”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：

问题1：在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ A > 90 ° ， △ B D E$ 由 $△ A B E$ 翻折得到．

(1)、如图1，当点 $D$ 落在 $B C$ 上时，求证： $∠ E D C = 2 ∠ A C B$ ；

(2)、如图2，若点 $E$ 为 $A C$ 中点， $A C = 4 ， C D = 3$ ，求 $B E$ 的长．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成 $∠ A < 90 °$ 的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．
问题2：如图3，在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ A < 90 ° ， A B = A C = B D = 4 ， 2 ∠ D = ∠ A B D$ ．若 $C D = 1$ ，则求 $B C$ 的长．

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24. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.
在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = B C$ ， D是AB边上一点，且 $\frac{A D}{B D} = \frac{1}{n}$ （n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F.

(1)、【初步感知】
如图1，当 $n = 1$ 时，兴趣小组探究得出结论： $A E + B F = \frac{\sqrt{2}}{2} A B$ ，请写出证明过程.

(2)、【深入探究】
①如图2，当 $n = 2$ ，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）.

(3)、【拓展运用】
如图3，连接EF，设EF的中点为M. 若 $A B = 2 \sqrt{2}$ ，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）.

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25. 实际问题：
婚礼上有116名宾客，地面上水平放置了一个长方体蛋糕，要保证这116名宾客都能分得蛋糕（忽略大小，水平切割的方向只能与地面平行，垂直切割只能与地面垂直），小明说我10刀即可完成任务，你认为小明是怎样切这个蛋糕才能完成任务．
问题探究：
为解决这个问题我们从最简单的长方形分割开始研究．
探究一：用一条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？
如图1所示，一条线来分多出1部分，最多分成1+1=2部分；
探究二：用2条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？
如图2所示，第2条线与第一条线相交，多出2部分，最多分成1+1+2=4部分；
探究三：用3条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？
如图3所示，第3条线与前2条线相交，多出3部分，最多分成1+1+2+3=7部分；
探究四：用4条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？
如图4所示，第4条线与原来3条线相交，多出4部分，最多分1+1+2+3+4=11部分；

(1)、探究五：用5条直线分一个长方形，第5条线与原来4条线相交，多出部分，即最多分成部分；

(2)、探究六：用 $n$ 条直线分一个长方形，最多可以分成部分；（用含 $n$ 的代数式表示）

(3)、探究七：我们可以将开始提出的问题转化为切割长方体，借助以上探究长方形切割的结论如何将长方体切割成14块？
我们只需要在探究三的基础上，先在长方体中竖直切割3刀最多分成7块，平行于地面切一刀，此时4刀可切成7×2=14块．
探究八：如何用最少的切割次数，将一个长方体蛋糕切割成44块，请说明切割过程，无需画图；
问题解决：

(4)、婚礼上有116名宾客，地面上放了一个长方体蛋糕，要保证这116名宾客都能分得蛋糕（忽略大小，水平切割的方向只能与地面平行，垂直切割只能与地面垂直），小明说我10刀即可完成任务，你认为小明是怎样切这个蛋糕？请说明切割的过程，无需画图．

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26. （规律探究）如下图，是由若干个边长为1的小正三角形组成的图形，第（2）个图比第(1)个图多一层，第（3）个图比第（2）个图多一层，依次类推.

(1)、第（9）个图中阴影三角形的个数为；非阴影三角形的个数为．

(2)、第 $n$ 个图形中，阴影部分的面积与非阴影部分的面积比是441∶43，求 $n$ .

(3)、能否将某一个图形中的所有小三角形重新拼接成一个菱形，如果能，请指出是第几个图形，如果不能说明理由.

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27. 综合与探究
数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究：

(1)、操作1：折叠纸带，使数轴上表示 $1$ 的点与表示 $- 1$ 的点重合，则表示数 $- 2.5$ 的点与表示数的点重合．

(2)、操作2：折叠纸带，使数轴上表示 $1$ 的点与表示 $- 3$ 的点重合，则表示 $a^{2} + 2$ 的点与表示数的点重合．

(3)、操作3：如图，在数轴上剪下6个单位长度（从 $- 1$ 到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点表示的数可能是几？

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28. 【问题探究】

(1)、如图1， $A B ∥$ 直线a，点E在 $A B$ 上，点C、D在直线a上，连接 $E C$ 、 $E D$ ，请利用直尺在射线 $C P$ 上找一点M，使得 $S_{△ M C D} = S_{△ E C D}$ ；

(2)、如图2，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $∠ D C B = 60 °$ ， E为线段 $B D$ 延长线上一点，连接 $A E$ 、 $C E$ ，点E到 $A B$ 的距离为 $3 \sqrt{3}$ ，求 $C E$ 的长；

(3)、【问题提出】
如图3，有一个四边形板材 $A B C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ A D$ ．现李师傅要从这块板材中裁出一个部件，他先在四边形 $A B C D$ 上画了一个正方形 $A G E D$ ，点G在 $A B$ 上，在 $C B$ 上截取 $C F = G E$ ，连接 $A F$ ， $△ A E F$ 即为所要裁的部件．测出C、G之间的距离为 $2 m$ ， $A E = A F = 2 m$ ，请你帮助李师傅计算出所裁部件 $△ A E F$ 的面积．

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29. 实践与探究

(1)、操作一：如图①，对折矩形纸片 $A B C D$ ，使 $A D$ 与 $B C$ 重合，折痕为 $E F$ ．把纸片展平后，将矩形纸片 $A B C D$ 沿过点D的直线折叠，使点A落在 $E F$ 上，点A的对应点为点 $A^{'}$ ，折痕为 $D P$ ，连结 $C A^{'}$ ．
①当矩形 $A B C D$ 是正方形时， $△ A^{^{'}} D C$ 是 ▲ 三角形；
②当 $△ A^{'} D F$ 是等腰直角三角形时，求边 $A B$ 与边 $A D$ 之间的数量关系；
③若点P、 $A^{'}$ 、C共线，求证： $△ P B C ≌ △ C A^{'} D$ ．

(2)、操作二：如图②，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ， $A D = 8$ ．先将矩形纸片 $A B C D$ 沿过点D的直线折叠，使点A落在矩形 $A B C D$ 的内部，点A的对应点为点 $A^{'}$ ，折痕为 $D P$ ．然后沿过点D的直线折叠，使点C落在直线 $D A^{'}$ 上，折痕为 $D G$ ，点C的对应点为点 $C^{'}$ ．再将矩形沿过点G的直线继续折叠，折痕为 $G H$ ，点B的对应点为点 $B^{'}$ ．我们发现，点H的位置不同，点B的位置也不同．当点 $B^{'}$ 恰好与点 $C^{'}$ ．重合时，线段 $A H$ 的长为．

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30. 【结论理解】“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．

(1)、【问题探究】如图1，在矩形ABCD中，点E为CD上一点，将△BCE沿BE翻折，点C的对应点F恰好落在边AD上，做经过F、E、C三点的圆，请根据以上结论判断点B点（填“在”或“不在”）该圆上；

(2)、如图2，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形， $∠ A B C = ∠ A D C$ ， $A B = B C = 5 \sqrt{2}$ ， $C D = 6$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

(3)、【问题解决】如图3，四边形 $A B C D$ 是某公园的一块空地，现计划在空地中修建 $A C$ 与 $B D$ 两条小路，（小路宽度不计），将这块空地分成四部分，记两条小路的交点为P，其中 $△ A D P$ 与 $△ B C P$ 空地中种植草坪， $△ A B P$ 与 $△ C D P$ 空地中分别种植郁金香和牡丹花．已知 $A B = C D ， B D = 150 m ， A C = 100 m ， ∠ B A C + ∠ B D C = 180 °$ ，且点C到 $B D$ 的距离是 $40 m$ ，求种植牡丹花的地块 $△ C D P$ 的面积比种植郁金香的地块 $△ A B P$ 的面积多多少 $m^{2}$ ？

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