湖南省怀化市八县九校联合调研考试2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2024-03-09 类型：期末考试

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 已知一元二次方程x²+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（）

A、−2 B、2 C、−4 D、4

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2. 如图为甲、乙、丙、丁四名射击运动员在赛前的某次射击选拔赛中，各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线，经过计算，四人成绩的方差关系为：s_甲²＝s_乙² ， s_丙²＝s_丁² ，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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3. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0 ， a ､ b ､ c$ 为常数 $)$ 的图象如图所示，则方程 $a x^{2} + b x + c = m$ 有一正实数根和一负实数根的条件是（）

A、 $m > 5$ B、 $m \geq 0$ C、 $m \geq - 4$ D、 $m \geq 6$

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4. 由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 方程 $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ 的两个根为（）

A、 $x_{1} = 1 ， x_{2} = 3$ B、 $x_{1} = - 1 ， x_{2} = 3$ C、 $x_{1} = 1 ， x_{2} = - 3$ D、 $x_{1} = - 1 ， x_{2} = - 3$

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6. 在同一平面直角坐标系中，函数 $y = k x + 1$ 与 $y = - \frac{k}{x}$ （k为常数且 $k \neq 0$ ）的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，点D为 $△ A B C$ 边 $A B$ 上任一点， $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于点E，连接 $B E 、 C D$ 相交于点F，则下列等式中不成立的是（）

A、 $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ B、 $\frac{D E}{B C} = \frac{D F}{F C}$ C、 $\frac{D E}{B C} = \frac{A E}{E C}$ D、 $\frac{E F}{B F} = \frac{A E}{A C}$

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8. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a ， b ， c为常数）的对称轴为 $x = - 2$ ，过点 $(1 ， - 2)$ 和点 $(x_{0} ， y_{0})$ ，且 $c > 0$ ．有下列结论：① $a > 0$ ；②对任意实数m都有： $a m^{2} + b m \leq 4 a - 2 b$ ；③ $16 a + c > 4 b$ ；④若 $x_{0} > - 4$ ，则 $y_{0} > c$ ．其中正确结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $A D = 4$ ，点E、F分别为 $B C$ 、 $C D$ 的中点， $B F$ 、 $D E$ 相交于点G，过点E作 $E H ∥ C D$ ，交 $B F$ 于点H，则线段 $G H$ 的长度是（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、1 C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{5}{3}$

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10. 如图，等边三角形ABC中，AB=3，点D在边AB上，且AD=1，点E是边B上的一动点，作射线ED．射线ED绕点E顺时针旋转60°得到射线EF，交AC于点F，则点E从B→C的运动过程中，CF的最大值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{3}$ B、1 C、 $\frac{9}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 已知关于x的一元二次方程 $a x^{2} + 6 x + 1 = 0$ 没有实数根，那么a的取值范围是．

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12. 如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离 $A D$ 为海里．

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13. 一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 配方为 ${(x - 2)}^{2} = k$ ，则k的值是.

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14. 如图，直线 $A B$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 交于点B ，与x轴和y轴分别交于点A和点D ， $B C ⊥ A C$ 于点C ，若点D是线段 $A B$ 的中点， $∠ D A O = 30 °$ ， $O A = 1$ ，则k的值为．

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15. 如图，A ， B是双曲线y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）上的两点，连接OA ， OB．过点A作AC⊥x轴于点C ，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m ， 2），则m的值为．

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16. 阅读材料：在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 22.5 °$ ，求 $t a n 22.5 °$ 的值．
解题思路：在 $C B$ 上截取 $C D = C A$ ，再连接 $A D$ ，可证 $△ A D B$ 为等腰三角形，设 $A C = C D = a$ ，则 $A D = B D = \sqrt{2} a$ ，则 $t a n 22.5 ° =$ ， $t a n 15 ° =$ ．

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三、解答题（共72分）

17. 解方程：

(1)、 $2 x^{2} + 7 x + 4 = 0$ ；

(2)、 $5 x (x - 3) = 3 - x$ ．

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18. 如图，一次函数 $y = m x + n$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于点 $A (1 ， 2) ， B (b ， - 1)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $O A ， O B$ .

(1)、求 $k ， b$ 的值；

(2)、观察函数图象，直接写出不等式 $m x + n > \frac{k}{x}$ 的解集；

(3)、求 $△ A O B$ 的面积.

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D为 $B C$ 上一点，且 $D A = D C$ ．

(1)、求证： $△ D A C ∽ △ A B C$ ；

(2)、当 $A C = 6 ， B C = 9$ ，且 $△ A B D$ 的面积为10时，求 $△ A C D$ 的面积．

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20. 某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆 $C D$ ，这时地面上的点E ，标杆的顶端点D ，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得 $E C = 4$ 米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F ，标B杆的顶端点H ，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F ，点G ，点E ，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得 $F G = 6$ 米， $C G = 20$ 米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB ．

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21. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6 c m$ ， $B C = 8 c m$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发沿边 $A C$ 向点 $C$ 以 $1 c m / s$ 的速度移动，点 $Q$ 从点 $C$ 出发沿 $C B$ 边向点 $B$ 以 $2 c m / s$ 的速度移动．

(1)、如果 $P$ ， $Q$ 同时出发，几秒钟后，可使 $△ P C Q$ 的面积为 $8$ 平方厘米？

(2)、点 $P$ ， $Q$ 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得 $△ P C Q$ 的面积等于 $△ A B C$ 的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．

(3)、点 $P$ ， $Q$ 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得 $△ P C Q$ 的面积最大？若存在，求出运动的时间和最大的面积；若不存在，说明理由．

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22. 某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系，可以近似的看作一次函数 $y = - 2 x + 100$ ．（利润 $=$ 售价 $-$ 制造成本）

(1)、写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（不必写出x的取值范围）

(2)、当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？

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23. 定义：已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根，若 $x_{1} ＜ x_{2} ＜ 0$ ，且 $3 < \frac{x_{1}}{x_{2}} < 4$ ，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程 $x^{2} + 13 x + 30 ＝ 0$ 的两根为 $x_{1} = ﹣ 10$ ， $x_{2} = ﹣ 3$ ，因为 $﹣ 10 ＜ - 3 ＜ 0$ ， $3 < \frac{- 10}{- 3} < 4$ ，所以一元二次方程 $x^{2} + 13 x + 30 = 0$ 为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：

(1)、判断一元二次方程 $x^{2} + 9 x + 14 ＝ 0$ 是否为“限根方程”，并说明理由；

(2)、若关于x的一元二次方程 $2 x^{2} + （ k + 7 ） x + k^{2} + 3 ＝ 0$ 是“限根方程”，且方程的两根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 满足 $x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2} = - 1$ ，求k的值．

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24. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + m x + n$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C ，抛物线的对称轴交x轴于点D ，已知 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、点E是线段 $B C$ 上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E运动到什么位置时， $△ C B F$ 的面积最大？求出 $△ C B F$ 的最大面积及此时E点的坐标；

(3)、在坐标平面内是否存在点P ，使得以A ， C ， D ， P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

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