吉林省延边朝鲜族自治州2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-09 类型：期末考试

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一、单项选择题（每小题2分，共12分）

1. 第19届亚运会将于2023年9月在浙江省杭州市举办，下列与杭州亚运会有关的图案中，其中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列事件中，属于必然事件的是（）

A、抛掷硬币时，正面朝上 B、太阳从东方升起 C、经过红绿灯路口，遇到红灯 D、负数大于正数

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3. 抛物线 $y = - 2 (x - 2)^{2} - 5$ 的顶点坐标是（）

A、 $(- 2 ， 5)$ B、 $(2 ， 5)$ C、 $(- 2 ， - 5)$ D、 $(2 ， - 5)$

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4. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个相等的实数根 B、没有实数根 C、有两个不相等的实数根 D、无法确定

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5. 在同一平面内，已知 $⊙ O$ 的半径为5，点A在 $⊙ O$ 外，则 $O A$ 的长度可以等于（）

A、6 B、5 C、3 D、0

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6. 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O点竖直安装一根水管，在水管的顶端A处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与水池中心O点的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心O点3m，则水管OA的高是（）

A、2m B、 $2.25 m$ C、 $2.5 m$ D、 $2.8 m$

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二、填空题（每小题3分，共24分）

7. 点 $(3 ， - 2)$ 关于原点对称的点的坐标为．

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8. 10件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是．

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9. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间只比赛一场），计划安排 $15$ 场比赛，求应邀请多少支球队参加比赛，设应邀请 $x$ 支球队参加比赛，则可列方程为.

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10. 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 $10 (m / s)$ 的速度竖直上抛，那么物体经过 $x (s)$ 离地面的高度（单位：m）为 $10 x - 4.9 x^{2}$ ．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间x约为s（结果保留整数）．

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11. 如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $⊙ O$ 上， $∠ B A C = 25 °$ ，则 $∠ O C B$ 的度数为°.

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12. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的自变量x与函数y的部分对应值如表所示，则当自变量 $x = 2$ 时，函数y的值为.
x
$- 3$
$- 2$
$- 1$
0
1
y
$- 5$
0
3
4
3

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13. 将二次函数 $y = x^{2} + 1$ 图像向左平移2个单位长度，平移后的解析式为．

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14. 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，AE⊥BC，垂足是E，若线段AE=4，则S_{四边形ABCD}=

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三、解答题（每小题5分，共20分）

15. 解方程： $x (x - 2) + x - 2 = 0$ ．

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16. 两年前生产 $1$ 吨甲种药品的成本是 $6400$ 元 $.$ 随着生产技术的进步，现在生产 $1$ 吨甲种药品的成本是 $3600$ 元 $.$ 求甲种药品成本的年平均下降率．

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17. 如图，在⊙O中， $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{A C}$ ，∠ACB=60°，
求证∠AOB=∠BOC=∠COA.

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18. 布袋中有红、黄、蓝三种只有颜色不同的球各一个，从中先摸出一个球，记录下它的颜色，将它放回布袋并搅匀，再摸出一个球，记录下颜色.用列表或画树状图的方法求摸出的两个球颜色为“一红一黄”的概率.

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四、解答题（每小题7分，共28分）

19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上．

(1)、画出△ABC关于直线OM对称的△A₁B₁C₁；

(2)、画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的△A₂B₂C₂；

(3)、△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴．

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20. 石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图①），赵州桥是我国古代石拱桥的代表，图②是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为 $\overset{⌢}{A B}$ ，桥的跨度（弧所对的弦长） $A B = 30 m$ ，设 $\overset{⌢}{A B}$ 所在圆的圆心为O ， $O B$ ， $O C$ 为半径，半径 $O C ⊥ A B$ ，垂足为D.拱高（弧的中点到弦的距离） $C D = 5 m$ ．

(1)、直接写出 $A D$ 与 $B D$ 的数量关系；

(2)、求这座石拱桥主桥拱的半径．

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21. 某水果公司新进了

10000

千克柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行了“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中：

柑橘总质量（ $n$ /千克）	损坏柑橘质量（ $m$ /千克）	柑橘损坏的频率（ $\frac{m}{n}$ ）
$50$	$5.50$	$0.110$
$100$	$10.50$	$0.105$
$150$	$15.15$	$0.101$
$200$	$19.42$	$0.097$
$250$	$24.35$	$0.097$
$300$	$30.93$	$a$
$350$	$35.32$	$0.101$
$400$	$39.24$	$b$
$450$	$44.57$	$0.099$
$500$	$51.54$	$c$

(1)、写出

a =

▲

b =

▲

c =

▲ （精确到

0.001

）.

(2)、估计这批柑橘的损坏概率为 ▲ （精确到

0.1

）.

(3)、该水果公司以

2

元每千克的成本进的这批柑橘，公司希望这批柑橘能够获得利润

5000

元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，求出每千克大约定价为多少元时比较合适（精确到

0.1

）.

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22. 如图，将含 $30 °$ 角的直角三角板 $A B C$ 放入半圆 $O$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 三点恰好在半圆 $O$ 上，延长 $A B$ 到点 $E$ ，作直线 $C E$ ，使得 $∠ B C E = ∠ B A C = 30 °$ ·

(1)、求证： $E C$ 是半圆 $O$ 的切线.

(2)、若 $A B = 8$ ，求阴影部分的面积.

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五、解答题（每小题8分，共16分）

23. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．

(1)、若每个房间的定价为每天200元时，宾馆的利润是多少？

(2)、房价定为多少时，宾馆利润取得最大值？

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24. 已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F．

(1)、如图1，若AB= $\sqrt{3}$ ，点A，E，P恰好在一条直线上时，求EF的长（直接写出结果）；

(2)、如图2，当点P为射线BC上任意一点时，求证：BF=EF；

(3)、若AB= $\sqrt{3}$ ，设BP=2，求QF的长．

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六、解答题（每小题10分，共20分）

25. 如图， $△ A B C$ 是等腰直角三角形，其中 $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6 c m$ .动点P从点A出发以 $1 c m / s$ 的速度向终点C运动（动点P不与点A、C重合），过点P作 $P Q ⊥ A C$ ，交 $A B$ 于点Q ，将线段 $P Q$ 绕点Q逆时针方向旋转 $90 °$ 得到线段 $Q M$ ，连接 $P M$ .设 $△ P Q M$ 与 $△ A B C$ 重合部分图形的面积为S（ $c m^{2}$ ），动点P运动的时间为t（s）.

(1)、当点M落在边 $B C$ 上时，求t的值.

(2)、求出S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围.

(3)、在动点P的整个运动过程中，直接写出S的最大值.

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26. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 经过 $A (- 1 ， - 1)$ 、 $B (3 ， 3)$ 两点，点 $D$ 在该抛物线上运动，设点 $D$ 的横坐标为 $m (m > - 1)$ ．

(1)、求该抛物线的解析式．

(2)、当 $- 1 < m < 3$ 时，过点 $D$ 作 $D E ∥ y$ 轴，交直线 $A B$ 于 $E$ 点，求线段 $D E$ 的最大值．

(3)、当 $m \neq 3$ 时，若抛物线在点 $D$ ，点 $B$ 之间部分（包括点 $D$ ，点 $B$ 两个端点）的最高点和最低点的纵坐标的差为 $3$ 时，求 $m$ 的值．

(4)、设抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 与线段 $A B$ 围成的封闭图形记作图形 $P$ ，点 $C$ 为直线 $A B$ 上的一个动点（点 $C$ 不与点 $A$ 重合），设点 $C$ 的横坐标为 $n$ ，以 $A C$ 为边向下作正方形 $A C M N$ ，当 $M$ 、 $N$ 两点中只有一个点在图形 $P$ 的内部时（不包括边界），直按写出 $n$ 的取值范围．

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