湖南省张家界市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题

试卷更新日期：2024-03-08 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 35是等差数列3，5，7，9，…的（　）

A、第16项 B、第17项 C、第18项 D、第19项

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2. 若直线经过 $A (1 ， 0)$ ， $B (2 ， \sqrt{3})$ 两点，则直线 $A B$ 的倾斜角为（　）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $135 °$

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3. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点到直线 $x - y + 1 = 0$ 的距离等于（　）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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4. 已知向量 $\vec{p} = (1 ， 3 ， λ) ， \vec{a} = (2 ， - 1 ， 3) ， \vec{b} = (- 1 ， 4 ， - 2) ，$ 若 $\vec{p}$ 与 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 共面，则实数 $λ =$ （　）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $2$

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5. 若直线 $x - y - 2 = 0$ 被圆 ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 4$ 所截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ，则实数 $a$ 的值为（　）

A、－2 B、0 C、4 D、0或4

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6. 音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：若以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的 $\frac{5}{4}$ ，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到“商”；......，依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（　）

A、“徵､商､羽”的频率成等比数列 B、“宫､徵､商”的频率成等比数列 C、“宫､商､角”的频率成等比数列 D、“商､羽､角”的频率成等比数列

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7. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > 0 ， b_{1} > 0)$ 的公共焦点，它们在第一象限内交于点 $M$ ， $∠ F_{1} M F_{2} = 60 °$ ，若椭圆的离心率 $e \in [\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ ，则双曲线 $C_{2}$ 的离心率 $e_{1}$ 的取值范围为（　）

A、 $[\frac{\sqrt{5}}{2} ， \frac{\sqrt{6}}{2}]$ B、 $[\frac{\sqrt{6}}{2} ， + \infty)$ C、 $[\frac{\sqrt{6}}{2} ， \frac{\sqrt{14}}{2}]$ D、 $[\frac{3 \sqrt{2}}{4} ， \frac{\sqrt{6}}{2}]$

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8. 设 $a = l n 2$ ， $b = 1.09$ ， $c = e^{0.3}$ ，则（　）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 已知直线l： $\sqrt{3} x + y - 1 = 0$ ，则（　）

A、直线l过点 $(\sqrt{3} ， - 2)$ 　　 B、直线l的斜率为 $\sqrt{3}$ C、直线l的倾斜角为 $12 0^{∘}$ 　　 D、直线l在 $y$ 轴上的截距为1

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10. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = - n^{2} + 7 n$ ，则下列说法正确的是（　）

A、 $a_{1} = 6$ B、数列 ${a_{n}}$ 是等差数列 C、当 $n > 4$ 时， $a_{n} > 0$ D、当 $n = 3$ 或4时， $S_{n}$ 取得最大值

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11. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别为 $A_{1} B$ ， $B_{1} C$ 的中点，则（　）

A、 $E F / / A C$ B、 $E F$ ⊥平面 $B_{1} B D D_{1}$ C、异面直线 $E F$ 与 $D_{1} C$ 所成角的大小为45° D、平面 $B_{1} C D_{1}$ 到平面 $B A_{1} D$ 的距离等于 $\sqrt{2}$

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12. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左右顶点为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，左右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $l$ 与双曲线的左右两支分别交于 $P$ ， $Q$ 两点，则（　）

A、若 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ B、直线 $l$ 与双曲线的两条渐近线分别交于 $M$ ， $N$ 两点，则 $| P M | = | N Q |$ C、若 $P A_{1}$ 的斜率的范围为 $[- 8 ， - 4]$ ，则 $P A_{2}$ 的斜率的范围为 $[- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{4}]$ D、存在直线 $l$ ： $2 x - y - 1 = 0$ ，使得弦 $P Q$ 的中点坐标为 $(1 ， 1)$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 3 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 4 ， 2 ， x)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $x =$ .

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14. 已知抛物线的准线方程为 $x = - \frac{1}{2}$ ，则抛物线的标准方程为．

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15. 若函数 $f (x) = a x + c o s x$ 在 $R$ 上单调递减，则实数a的取值范围是．

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16. 记R上的可导函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，满足 $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}$ 的数列 ${x_{n}}$ 称为“牛顿数列”．若函数 $f (x) = x^{2} - x$ ，数列 ${x_{n}}$ 为牛顿数列，设 $a_{n} = l n \frac{x_{n}}{x_{n} - 1} ，$ 已知 $a_{1} = 2$ ， $x_{n} > 1$ ，则 $a_{2} =$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若不等式 $t S_{n} - 14$ ≤ $S_{n}^{2}$ 对任意的 $n \in N *$ 恒成立，则实数 $t$ 的最大值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} ， a \in R$ ，且 $f^{'} (- 1) = 5$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值.

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18. 已知直线 $l$ ： $3 x + 4 y + 12 = 0$ 和圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ .

(1)、求圆C的圆心坐标和半径；

(2)、求经过圆 $C$ 的圆心且与直线 $l$ 垂直的直线方程.

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19. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{2} = 6$ ，且 $4 a_{2}$ ， $2 a_{3}$ ， $a_{4}$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知 $b_{n} = a_{n} l o g_{2} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 如图， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $A B / / C D$ ， $P Q / / C D$ ， $A D = C D = D P = 2$ ， $P Q = A B = 1$ ，点E，F，M分别为 $A P$ ， $C D$ ， $B Q$ 的中点.

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $C P M$ ；

(2)、求平面 $A B Q P$ 与平面 $C P M$ 的夹角的大小.

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21. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点P为椭圆短轴的一个端点， $Δ P F_{1} F_{2}$ 的面积是 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆的方程；

(2)、若动直线l与椭圆E交于A，B两点，且恒有 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ，是否存在一个以原点O为圆心的定圆，使得动直线l始终与定圆相切？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 1$ ， $g (x) = a x + l n x$ ， $a \in$ R.

(1)、讨论函数 $g (x)$ 的单调性；

(2)、设 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，若 $h (x)$ 存在零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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