四川省南充市2024届高三上学期1月高考适应性考试（一诊）数学（理）试题

试卷更新日期：2024-03-08 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的准线方程为（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = 1$ C、 $y = - 1$ D、 $y = 1$

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2. 当 $1 < m < 2$ 时，复数 $m - 1 + (m - 2) i$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为1，则 $| \vec{A B} + \vec{B C} - \vec{C A} | =$ （）

A、0 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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4. 已知直线m，n和平面 $α$ ， $n \subset α$ ， $m \subset α$ ，则“ $m ∥ n$ ”是“ $m ∥ α$ ”的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充分必要 D、既不充分也不必要

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5. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | l o g_{3} (x - 1) > 1}$ ， $B = {x | \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1}$ ，则能表示A，B，U关系的图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 某商品的地区经销商对2023年1月到5月该商品的销售情况进行了调查，得到如下统计表．发现销售量y（万件）与时间x（月）成线性相关，根据表中数据，利用最小二乘法求得y与x的回归直线方程为： $\hat{y} = 0.48 x + 0.56$ ．则下列说法错误的是（）
时间x（月）
1
2
3
4
5
销售量y（万件）
1
1.6
2.0
a
3

A、由回归方程可知2024年1月份该地区的销售量为6.8万件 B、表中数据的样本中心点为 $(3 ， 2.0)$ C、 $a = 2.4$ D、由表中数据可知，y和x成正相关

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7. 二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为（）

A、 $- 60$ B、60 C、210 D、 $- 210$

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8. 已知： $2^{a + 1} = 3$ ， $2^{b - 3} = \frac{1}{3}$ ，则下列说法中错误的是（）

A、 $a + b = 2$ B、 $1 < b < \frac{3}{2}$ C、 $b - a < 1$ D、 $a b > 1$

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9. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E，F分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点，则平面 $A E F$ 截正方体所得的截面面积为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、9 D、18

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10. 如图1是函数 $f (x) = c o s (\frac{π}{2} x)$ 的部分图象，经过适当的平移和伸缩变换后，得到图2中 $g (x)$ 的部分图象，则（）

A、 $g (x) = f (2 x - \frac{1}{2})$ B、 $g (\frac{2023}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、方程 $g (x) = l o g_{\frac{1}{4}} x$ 有4个不相等的实数解 D、 $g (x) > \frac{1}{2}$ 的解集为 $(\frac{1}{6} + 2 k ， \frac{5}{6} + 2 k)$ ， $k \in Z$

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11. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， P为双曲线在第一象限上的一点，若 $c o s ∠ P F_{2} F_{1} = \frac{1}{4}$ ，则 $\vec{P A_{1}} \cdot \vec{P A_{2}} =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、5 D、 $- 5$

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12. 已知函数 $f (x) = | l n x - \frac{2}{x} + 2 | - m$ （ $0 < m < 3$ ）有两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），下列关于 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 的说法正确的有（）个
① $\frac{x_{2}}{x_{1}} < e^{2 m}$ ② $x_{1} > \frac{2}{m + 2}$ ③ $e^{\frac{m}{3}} < x_{2} < \frac{3}{3 - m}$ ④ $x_{1} x_{2} > 1$

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 1 \leq 0 \\ x - y + 3 \leq 0 \\ x + 2 \geq 0 \end{array}$ 的平面区域的面积为．

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14. 已知函数 $f (x)$ 为R上的奇函数，且 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 1 ， (0 \leq x < 3) \\ x - 5 ， (x \geq 3) \end{array}$ ，则 $f (f (3)) =$ ．

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15. 已知圆台 $O_{1} O_{2}$ 的上下底面半径分别为 $\sqrt{3}$ 和 $3 \sqrt{3}$ ，若存在一个球同时与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则该圆台的体积为．
附：圆台体积公式为： $V = \frac{1}{3} (S_{上} + \sqrt{S_{上} S_{下}} + S_{下}) h$

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C = 1$ ， P为 $△ A B C$ 内一点，且 $∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A = α$ ，则 $t a n α =$ ．

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三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．必考题：共60分

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是首项为2的等比数列，且 $a_{4}$ 是 $6 a_{2}$ 和 $a_{3}$ 的等差中项．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 的公比 $q > 0$ ，设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{l o g_{2} a_{n} \cdot l o g_{2} a_{n + 1}}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前2023项和 $T_{2023}$ ．

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18. 2023年秋季，支原体肺炎在全国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人，某市医院传染病科在该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人的情况，并将调查结果整理如下：

有慢性疾病
没有慢性疾病
合计
未感染支原体肺炎
60
80
140
感染支原体肺炎
40
20
60
合计
100
100
200
附表：
$P (K^{2} ⩾ k)$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （其中 $n = a + b + c + d$ ）

(1)、是否有99.5%的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关？

(2)、现从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，再从6人中随机抽出4人作为医学研究对象并免费治疗．按以往的经验，有慢性疾病的老人每人的研究治疗费用为2万元，没有慢性疾病的老人每人的研究治疗费用为1万元，记抽出的这4人产生的研究治疗总费用为 $ξ$ （单位：万元），求 $ξ$ 的分布列及数学期望．

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19. 如图，在四棱锥 $C - A B D E$ 中， $D E ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = A D = 2 \sqrt{3}$ ， $B D = 4$ ， $D E = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求证： $A E ∥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、若 $B C ⊥ C D$ ，二面角 $A - B C - D$ 的正切值为 $2 \sqrt{2}$ ，求直线 $C E$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值．

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20. 设函数 $f (x) = e^{x}$ （e为自然对数的底数），函数 $f (x)$ 与函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称．

(1)、设函数 $h (x) = \frac{m f (x)}{s i n x}$ ，若 $x \in (0 ， π)$ 时， $h (x) \geq \sqrt{2}$ 恒成立，求m的取值范围；

(2)、证明： $f (x)$ 与 $g (x)$ 有且仅有两条公切线，且 $f (x)$ 图象上两切点横坐标互为相反数．

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21. 如图，椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ 的四个顶点为A，B，C，D，过左焦点 $F_{1}$ 且斜率为k的直线交椭圆E于M，N两点．

(1)、求四边形 $A B C D$ 的内切圆的方程；

(2)、设 $R (1 ， 0)$ ，连结 $M R$ ， $N R$ 并延长分别交椭圆E于P，Q两点，设 $P Q$ 的斜率为 $k^{'}$ ．则是否存在常数 $λ$ ，使得 $k = λ k^{'}$ 恒成立？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，说明理由．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t c o s α \\ y = t s i n α \end{array}$ （t为参数， $0 < α < \frac{π}{2}$ ），把 $C_{1}$ 绕坐标原点逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ 得到 $C_{2}$ ，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．

(1)、写出 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、若曲线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $ρ = 8 s i n θ$ ，且 $C_{1}$ 与 $C_{3}$ 交于点A， $C_{2}$ 与 $C_{3}$ 交于点B（A，B与点O不重合），求 $△ A O B$ 面积的最大值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 4 | - | x + 2 |$ ．

(1)、若 $f (x) - a^{2} + 5 a \geq 0$ 恒成立，求a取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 的最大值为M，正实数a，b，c满足： $a + b + c = M$ ，求 $\sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 2} + \sqrt{c + 3}$ 的最大值．

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	有慢性疾病	没有慢性疾病	合计
未感染支原体肺炎	60	80	140
感染支原体肺炎	40	20	60
合计	100	100	200

$P (K^{2} ⩾ k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

时间x（月）	1	2	3	4	5
销售量y（万件）	1	1.6	2.0	a	3