广西柳州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2024-03-08 类型：期末考试

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一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分。）

1. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、绿色饮品 B、绿色食品 C、有机食品 D、速冻食品

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2. 下列方程中，是一元二次方程的是（）

A、2x+y＝1 B、x²+3xy＝6 C、x+ $\frac{1}{x}$ ＝4 D、x²＝3x﹣2

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3. 掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（）

A、点数的和为1 B、点数的和为6 C、点数的和大于12 D、点数的和小于13

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4. 下列各点中，不在反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 图象上的点是（）

A、（1，6） B、（﹣6，﹣1） C、（6，1） D、（2，﹣3）

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5. 如图， $C D$ 为 $⊙ O$ 直径，弦 $A B ⊥ C D$ 于点 $E$ ， $C E = 1$ ， $A B = 6$ ，则 $C D$ 长为（　　）

A、10 B、9 C、8 D、5

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6. 已知x＝3是方程x²﹣4x+c＝0的一个根，则c的值是（）

A、﹣21 B、﹣3 C、3 D、21

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7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，连接 $A C 、 A D$ ，若 $∠ B A C = 28 °$ ，则 $∠ D$ 的度数是（）

A、 $56 °$ B、 $58 °$ C、 $60 °$ D、 $62 °$

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8. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（）

A、3（1+x）＝10 B、3（1+x）²＝10 C、3+3（1+x）²＝10 D、3+3（1+x）+3（1+x）²＝10

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9. 如图，二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（1，0），对称轴是直线x=- $\frac{3}{2}$ ，根据图象判断以下说法正确的是（）

A、b²﹣4ac＜0 B、4a+c＜0 C、若y＞0，则﹣4＜x＜1 D、当x＜0，则y随x的增大而增大

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10. 如图，正方形ABCD，边长AB＝2，对角线AC、BD相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与BC、CD交于E、F两点，当三角板绕点O旋转时，线段EF的最小值为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、2 $\sqrt{2}$

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二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

11. 在平面直角坐标系中，点P（﹣5，3）关于原点对称点P′的坐标是．

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12. 已知线段PQ＝2cm，以P为圆心，1.5cm为半径画圆，则点Q与⊙P的位置关系是点Q在．（填“圆内”、“圆外”或“圆上”）

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13. 已知二次函数y＝3（x﹣a）²的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是．

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14. 请你给出一个c值，c= ，使方程x²﹣3x+c=0无实数根．

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15. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB =5，则BE的长度为.

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16. 如图，已知点P是y轴正半轴上一点，过点P作EF∥x轴，分别交反比例函数y $＝ \frac{4}{x}$ （x＞0）和y $＝ \frac{k}{x}$ （x＜0）图象的于点E和点F，以EF为对角线作平行四边形EMFN．若点N在x轴上，平行四边形EMFN的面积为10，则k的值为．

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三、解答题（本题共7小题，满分52分。解答题写必要的文字说明、演算步骤或推理过程）

17. 解方程：x²﹣6x﹣18＝0．

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18. 如图，△ABC位于一平面直角坐标系中．

(1)、画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A₁B₁C₁；

(2)、在（1）的操作下，求点B经过的路径长．（结果保留π）

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19. 已知：如图，PA是⊙O的切线，A是切点．B为⊙O上一点，PA＝PB．求证：PB是⊙O的切线．

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20. 某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用40米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边），设AB＝x米．

(1)、若花园的面积为300米² ，求x的值；

(2)、若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米，24米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为400米²？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．

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21. 如图，直线 $y_{1} = x + 1$ 与双曲线 $y_{2} = \frac{k}{x}$ （k为常数， $k \neq 0)$ 交于 $A$ ， $D$ 两点，与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $B$ ， $C$ 两点，点 $A$ 的坐标为 $(m ， 2)$ ．

(1)、求反比例函数的解析式．

(2)、结合图象直接写出当 $y_{1} < y_{2}$ 时， $x$ 的取值范围．

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22. 如图1，为美化校园，学校要建造一个圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈可移动的喷水头向中央喷水，使水流沿形状相同的抛物线落下．以喷水池中心为原点，水平方向为x轴、中心线为y轴建立平面直角坐标系，则水柱高度y（单位：m）与水柱距离喷水池中心的水平距离x（单位：m）之间的关系如图2所示．当水流与中心线的水平距离为2m时，达到最大高度3.61m，此时水柱刚好经过中心线上的点A，已知点A距水面高2.61m．

(1)、求如图2所示抛物线的解析式．

(2)、为形成错落有致的喷水景观，现让喷水头向中心线沿直线滑动，在保持水流形状不变的情况下，要求喷水柱最高点不能超过中心线，若喷水头的位置用（p，0）表示．（仅考虑y轴右侧的情况）．
①求p的取值范围；
②若水刚好喷到中心线上，且距水面高3.25m处，直接写出此时p的值 ▲ ．

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23. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，把边 $C B$ 绕点 $C$ 旋转到 $C F$ ．

(1)、如图1，连接 $A F$ ，使 $F A = F C$ ， $B C = 2 A B = 4$ ，求 $F$ 到 $A C$ 的距离；

(2)、如图2，连接 $F B$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，当 $B D ⊥ A C$ 时，在 $B C$ 边取一个点 $E$ ，使 $B E = B A$ ，过点 $E$ 作 $B C$ 的垂线交 $A C$ 于点 $H$ ，交 $C F$ 于点 $M$ ，交 $B F$ 延长线于点 $G$ ，求证： $B E + G M = M C$ ；

(3)、如图3，若 $∠ B C F = 90 °$ ，连接 $A F$ ，点 $N$ 是 $R t △ A C B$ 内部一个动点，连接 $A N$ 、 $B N$ 使 $∠ N A B = ∠ C B N$ ，连接 $C N$ 、 $N F$ ，若 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = \sqrt{6}$ ，当 $C N$ 取最小时，请直接写出 $△ C N F$ 的面积．

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