安徽省滁州市天长市2023-2024学年七年级上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2024-03-08 类型：期中考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列各组数中 $.$ 互为相反数的有（）
$① - (- 3)$ 和 $- | - 3 |$ ；
$② (- 2)^{4}$ 和 $- 2^{4}$ ；
$③ (- 2)^{3}$ 和 $(- 3)^{2}$ ；
$④ (- 2)^{3}$ 和 $- 2^{3}$

A、 $① ②$ B、 $① ② ③$ C、 $① ② ④$ D、 $②$

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2. 杭州亚运体育场俗称“大莲花”，总建筑面积约 $21.6$ 万平方米，将 $21.6$ 万平方米用科学记数法表示为（）

A、 $21.6 \times 1 0^{5}$ 平方米 B、 $2.16 \times 1 0^{6}$ 平方米 C、 $2.16 \times 1 0^{5}$ 平方米 D、 $2.16 \times 1 0^{7}$ 平方米

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3. 如图，点 $A$ 和 $B$ 表示的数分别为 $a$ 和 $b$ ，下列式子中，不正确的是（）

A、 $a < b$ B、 $a + b > 0$ C、 $| b | < | a |$ D、 $a - b < 0$

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4. 如图为朵朵披萨屋的公告 $.$ 若一个夏威夷披萨调涨前的售价为 $x$ 元，则会员购买一个夏威夷披萨的花费，公告前后相差多少元？（）

A、 $0.05 x$ B、 $0.09 x$ C、 $0.14 x$ D、 $0.15 x$

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5. 观察下列关于 $x$ 的单项式，探究其规律： $- 2 x$ ， $4 x^{2}$ ， $- 6 x^{3}$ ， $8 x^{4}$ ， $- 10 x^{5}$ ， $12 x^{6}$ ， $\dots$ 按照上述规律，第 $2023$ 个单项式是（）

A、 $- 4046 x^{2022}$ B、 $4046 x^{2022}$ C、 $- 4046 x^{2023}$ D、 $4046 x^{2023}$

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6. 如图， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 是一条公路上的三个村庄， $A$ 、 $B$ 间的路程为 $60 k m$ ， $A$ 、 $C$ 间的路程为 $40 k m$ ，现要在 $A$ 、 $B$ 之间建一个车站 $P$ ，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？（）

A、点 $C$ 处 B、线段 $B C$ 之间 C、线段 $A B$ 之间 D、 $1$ 线段 $A B$ 之间

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7. $《$ 九章算术 $》$ 中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知 $6$ 个大桶加上 $4$ 个小桶可以盛酒 $48$ 斛 $($ 斛，音 $h ú$ ，是古代一种容量单位 $)$ ， $5$ 个大桶加上 $3$ 个小桶可以盛酒 $38$ 斛 $. 1$ 个大桶、 $1$ 个小桶分别可以盛酒多少斛？设 $1$ 个大桶可以盛酒 $x$ 斛、 $1$ 个小桶可以盛酒 $y$ 斛 $.$ 根据题意，可列方程组为（）

A、 $\{\begin{array}{l} 6 x + 4 y = 48 \\ 5 x + 3 y = 38 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} 6 x + 4 y = 38 \\ 5 x + 3 y = 48 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} 4 x + 6 y = 48 \\ 3 x + 5 y = 38 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} 4 x + 6 y = 38 \\ 3 x + 5 y = 48 \end{array}$

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8. 下列说法： $①$ 近似数 $2.236 \times 10^{8}$ 精确到十万位； $②$ 若 $a$ 、 $b$ 互为相反数，且 $a b \neq 0$ ，则 $\frac{a}{b} = - 1$ ； $③$ 若 $| a | = - a$ ，则数轴上表示 $a$ 的点一定在原点的右边； $④$ 若 $- 7 a^{x} b^{3} + a^{4} b^{y} = - 6 a^{4} b^{3}$ ，则 $x + y = 7$ ； $⑤$ 若 $a + b + c = 0$ ，则关于 $x$ 方程 $a x + b = - c$ 的解为 $x = 1 .$ 其中正确的有（）

A、 $4$ 个 B、 $3$ 个 C、 $2$ 个 D、 $1$ 个

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9. 为了鼓励居民节约用水，天长市自来水公司调整了新的自来水收费标准：用水每月不超过 $6 m^{3}$ ，按 $0.8$ 元 $/ m^{3}$ 收费，如果超过 $6 m^{3}$ ，超过部分按 $1.2$ 元 $/ m^{3}$ 收费 $.$ 已知某用户某月交水费 $7.2$ 元，那么这个用户这个月用水（）

A、 $6.5 m^{3}$ B、 $7 m^{3}$ C、 $7.5 m^{3}$ D、 $8 m^{3}$

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10. 如图，点 $O$ 是直线 $A B$ 上一点， $O C$ 平分 $∠ A O E$ ， $∠ D O E = 90 °$ ，则以下结论： $① ∠ A O D$ 与 $∠ B O E$ 互为余角； $② ∠ A O D = \frac{1}{2} ∠ C O E$ ； $③ ∠ B O E = 2 ∠ C O D$ ； $④$ 若 $∠ B O E = 56 °$ ，则 $∠ C O E = 62 ° .$ 其中正确的是（）

A、只有 $① ④$ B、只有 $③ ④$ C、只有 $① ③ ④$ D、 $① ② ③ ④$

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

11. 用一个平面去截一个几何体，截面是圆形，这个几何体可能是 $. ($ 请写出两个 $)$

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12. 若 $a^{2} - 2 b^{2} - 2 = 0$ ，则 $- 3 a^{2} + 6 b^{2} + 2023$ 的值为．

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13. 若关于 $x$ ， $y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} 2 x - y = 5 k + 6 \\ 4 x + 7 y = k \end{array}$ 的解满足 $x + y = 2024$ ，则 $k$ 的值为．

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14. 下列结论：
$①$ 若 $| x | = | - 3 |$ ，则 $x = \pm 3$ ；
$②$ 若 $| - x | = | - 3 |$ ，则 $x = 3$ ；
$③$ 若 $| x | = | y |$ ，则 $x = y$ ；
$④$ 若 $x + y = 0$ ，则 $\frac{| x |}{| y |} = 1$ ；
$⑤$ 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 均为非零有理数，若 $a < 0$ ， $a + b < 0$ ， $a + b + c < 0$ ，则 $\frac{| a |}{a} + \frac{| b |}{b} + \frac{| c |}{c} - \frac{| a b c |}{a b c}$ 的值为 $2$ 或 $- 2$ ．
其中，正确的结论是 $($ 填写序号 $)$ ．

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三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 计算：

(1)、 $- 1^{2} - | - 2 | + (\frac{1}{3} - \frac{3}{4}) \times 12$ ．

(2)、解方程组： $\{\begin{array}{l} \frac{x}{2} - \frac{y + 1}{3} = 1 \\ 3 x + 2 y = 10 \end{array}$ ．

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16. $a ※ b$ 是新规定的这样一种运算法则： $a ※ b = a^{2} + 2 a b$ ，例如 $5 * (- 2) = 5^{2} + 2 \times 5 \times (- 2) = 5$ ．

(1)、求 $2 ※ 4$ 的值；

(2)、若 $(- 3) ※ x = - 3 + x$ ，求 $x$ 的值．

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17. $2023$ 年 $9$ 月 $15$ 日，绕省一圈的杭州亚运会火炬在温州接棒 $.$ 火炬传递路线从“松台广场”开始，沿信河街 $-$ 蝉街 $-$ 五马街 $-$ 公园路 $-$ 环城东路 $-$ 安澜亭 $($ 古港遗址、江心屿 $) -$ 瓯江路进行传递，最后到达“城市阳台” $.$ 按照路线，从“松台广场”到“蝉街”共安排 $15$ 名火矩手跑完全程 $.$ 平均每人传递里程为 $58$ 米，若以 $58$ 米为基准，其中实际里程超过基准的米数记为“ $+$ ”，不足的记为“ $-$ ”，并将其称为里程波动值 $.$ 下表记录了 $15$ 名火矩手中部分人的里程波动值．
棒次
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$7$
$8$
$9$
$10$
$11$
$12$
$13$
$14$
$15$
里程波动值
$2$
$5$
$- 4$

$4$
$- 2$
$0$
$- 6$
$5$
$7$
$- 4$
$- 5$

$- 3$
$4$

(1)、第 $2$ 棒火矩手的实际里程为米；

(2)、若第 $4$ 棒火矩手的实际里程为 $60$ 米．
$①$ 第 $4$ 棒火矩手的里程波动值为；
$②$ 求第 $13$ 棒火炬手的实际里程．

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18. 已知： $A = 2 a^{2} - 5 a b + 3 b$ ， $B = 4 a^{2} + 6 a b + 8 a$ ．

(1)、化简： $2 A - B$ ；

(2)、若 $a = - 2$ ， $b = 1$ ，求 $2 A - B$ 的值；

(3)、若代数式 $2 A - B$ 的值与 $a$ 无关，求此时 $b$ 的值．

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19. 如图，长为 $60 c m$ ，宽为 $x (c m)$ 的大长方形被分割成 $7$ 小块，除阴影 $A$ ， $B$ 外，其余 $5$ 块是形状、大小完全相同的小长方形 $.$ 其较短一边长为 $y (c m)$ ．

(1)、从图中可知，这 $5$ 块完全相同的小长方形中，每块小长方形较长边的长是 $c m ($ 用含 $y$ 的代数式表示 $)$ ．

(2)、分别计算阴影 $A$ ， $B$ 的周长 $($ 用含 $x$ ， $y$ 的代数式表示 $)$ ．

(3)、阴影 $A$ 与阴影 $B$ 的周长差会不会随着 $x$ 的变化而变化？请说明理由．

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20. 如图，天长市星美国际影城，某影厅共有 $16$ 排座位，第 $1$ 排有 $m$ 个座位，第 $2$ 排比第 $1$ 排多 $6$ 个座位，第 $3$ 排及后面每排座位数相同，都比第 $2$ 排多 $n$ 个座位．

(1)、该影厅第 $3$ 排有个座位 $($ 用含 $m$ ， $n$ 的式子表示 $)$ ；

(2)、图中的阴影区域为居中区域，第 $1$ 排的两侧各去掉 $1$ 个座位后得到第 $1$ 排的居中区域，第 $2$ 排的居中区域比第 $1$ 排的居中区域在两侧各多 $1$ 个座位，第 $3$ 排及后面每排的居中区域座位数相等，都比第 $2$ 排的居中区域在两侧各多 $2$ 个座位 $.$ 居中区域的第 $7$ ， $8$ ， $9$ 排为最佳观影位置．
$①$ 若该影厅的第 $1$ 排有 $13$ 个座位，则居中区域的第 $2$ 排有个座位，居中区域的第 $3$ 排有个座位；
$②$ 若该影厅的最佳观影位置共有 $39$ 个座位，则该影厅共有个座位 $($ 用含 $n$ 的式子表示 $)$ ．

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21. 定义：关于 $x$ 的方程 $a x - b = 0$ 与方程 $b x - a = 0 (a ， b$ 均为不等于 $0$ 的常数 $)$ 称互为“反对方程”，例如：方程 $2 x - 1 = 0$ 与方程 $x - 2 = 0$ 互为“反对方程”．

(1)、若关于 $x$ 的方程 $4 x - 3 = 0$ 与方程 $3 x - c = 0$ 互为“反对方程”，则 $c =$ ．

(2)、若关于 $x$ 的方程 $4 x + 3 m + 1 = 0$ 与方程 $5 x - n + 2 = 0$ 互为“反对方程”，求 $m \div n$ 的值．

(3)、若关于 $x$ 的方程 $3 x - c = 0$ 与其“反对方程”的解都是整数，求整数 $c$ 的值．

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22. 生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光 $.$ 同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识．
一块手表如图 $①$ 所示，把它抽象成数学模型：如图 $②$ ，表带的两端用点 $A$ 和点 $D$ 表示，表盘与线段 $A D$ 交于点 $B$ 、 $C$ ， $O$ 为表盘圆心．

(1)、若 $B C$ 为 $2 c m$ ， $C D$ ： $A B = 3$ ： $2$ ， $B$ 是 $A C$ 中点，则手表全长 $A D =$ $c m$ ．

(2)、表盘上的点 $B$ 对应数字“ $12$ ”，点 $C$ 对应数字“ $6$ ”， $O E$ 为时针， $O N$ 为分针， $8$ ： $30$ 时表盘指针状态如图 $③$ 所示，分针 $O N$ 与 $O C$ 重合．
$① ∠ E O N =$ 度；
$②$ 作射线 $O M$ ，使 $∠ E O M = 30 °$ ，求此时 $∠ B O M$ 的度数．

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23. 黑马铃薯又名“黑金刚”，它富含碘、硒等多种微量元素，特别是含有花青素、花青原素，素有“地下苹果”之称 $.$ 老李今年种植了 $5$ 亩 $A$ 品种黑马铃薯， $10$ 亩 $B$ 品种黑马铃薯，其中 $A$ 品种的平均亩产量比 $B$ 品种的平均亩产量低 $20 %$ ，共收获两个品种黑马铃薯 $14000$ 千克．

(1)、求 $A$ ， $B$ 两个品种黑马铃薯平均亩产量各多少千克？

(2)、根据如图信息，求收购时 $A$ 、 $B$ 两种马铃薯每箱的收购价格分别是多少元？

(3)、在 $(2)$ 的条件下某蔬菜商人分两次向老李收购完这些黑马铃薯 $.$ 收购方式如下： $A$ 、 $B$ 两个品种各自独立装箱， $A$ 品种每箱 $40$ 千克， $B$ 品种每箱 $100$ 千克，老李给出如下优惠：
收购 $A$ 或 $B$ 的数量 $($ 单位：箱
不超过 $30$ 箱
超过 $30$ 箱
优惠方式
收购总价打九五折
收购总价打八折
第一次收购了两个品种共 $60$ 箱，且收购的 $B$ 品种箱数比 $A$ 品种箱数多；受某些因素影响，蔬菜商人第二次收购时做出了价格调整：每箱 $A$ 的收购价不变，每箱 $B$ 的收购价比第一次的收购价降低 $\frac{1}{6}$ ，优惠方式不变 $.$ 两次收购完所有的黑马铃薯后，蔬菜商人发现第二次支付给老李的费用比第一次支付给老李费用多 $11400$ 元，求蔬菜商人第一次收购 $A$ 品种黑马铃薯多少箱？

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棒次	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$
里程波动值	$2$	$5$	$- 4$		$4$	$- 2$	$0$	$- 6$	$5$	$7$	$- 4$	$- 5$		$- 3$	$4$

收购 $A$ 或 $B$ 的数量 $($ 单位：箱	不超过 $30$ 箱	超过 $30$ 箱
优惠方式	收购总价打九五折	收购总价打八折