重庆市渝北区六校联盟2023-2024学年八年级上学期第二次大练兵期中数学试题

试卷更新日期：2024-03-08 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．

1. 我市积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）

A、防控疫情我们在一起 B、有症状早就医 C、打喷嚏捂口鼻 D、勤洗手勤通风

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2. 下列运算中，正确的是（）

A、 $x^{2} + x^{2} = x^{4}$ B、 $(- x^{3} y)^{2} = - x^{6} y^{2}$ C、 $x^{6} \div x^{2} = x^{3}$ D、 $4 x^{2} \cdot 3 x = 12 x^{3}$

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3. 如图，点A，D，C，F在一条直线上，AB=DE，∠A=∠EDF，补充下列条件不能证明三角形△ABC≌△DEF的是（）

A、AD=CF B、BC∥EF C、∠B=∠E D、BC=EF

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4. 如果等腰三角形两边长是 $4 c m$ 和 $8 c m$ ，那么它的周长是（）

A、 $16 c m$ B、 $20 c m$ C、 $21 c m$ D、16或 $20 c m$

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5. 如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为5，面积为12，则OE+OF的值为（）

A、1.2 B、2.4 C、3.6 D、4.8

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6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，根据尺规作图的痕迹判断，以下结论中错误的是（）

A、∠BDE=∠BAC B、∠BAD=∠B C、DE=DC D、AE=AC

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7. 某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格下调了10%．将某种果汁饮料每瓶的价格上调了5%，已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费8元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费19.8元，若设上述碳酸饮料、果汁饮料在调价前每瓶分别为x元和y元，则可列方程组为（　　）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 8 \\ 3 \times 0.9 x + 2 \times 1.05 y = 19.8 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 8 \\ 3 \times 1.1 x + 2 \times 0.95 y = 19.8 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 8 \\ 3 \times 1.05 x + 2 \times 0.9 y = 19.8 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 8 \\ 3 \times 0.95 x + 2 \times 1.1 y = 19.8 \end{array}$

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8. 将大小形状完全相同的“ $△$ ”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图中“ $△$ ”的个数，则第 $8$ 个图中三角形的个数是（）

A、40 B、42 C、43 D、44

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9. 如果关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} \frac{x + 3}{2} \geq x - 1 \\ 3 x + 6 > a + 4 \end{array}$ 有且只有 $5$ 个整数解，且关于 $y$ 的方程 $3 y + 6 a = 22 - y$ 的解为非负整数，则符合条件的所有整数 $a$ 的和为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 有 $n$ 个依次排列的整式：第一项是 $a^{2}$ ，第二项是 $a^{2} + 2 a + 1$ ，用第二项减去第一项，所得之差记为 $b_{1}$ ，将 $b_{1}$ 加 $2$ 记为 $b_{2}$ ，将第二项与 $b_{2}$ 相加作为第三项，将 $b_{2}$ 加 $2$ 记为 $b_{3}$ ，将第三项与 $b_{3}$ 相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到 $5$ 个结论：
$① b_{3} = 2 a + 5$ ；
$②$ 当 $a = 2$ 时，第 $3$ 项为 $16$ ；
$③$ 若第 $4$ 项与第 $5$ 项之和为 $25$ ，则 $a = 7$ ；
$④$ 第 $2022$ 项为 $(a + 2022)^{2}$ ；
$⑤$ 当 $n = k$ 时， $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{k} = 2 a k + k^{2}$ ；
以上结论正确的是（）

A、 $① ② ⑤$ B、 $① ③ ⑤$ C、 $① ② ④$ D、 $② ④ ⑤$

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二、填空题（本大题共8小题，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．）

11. 计算： $- (- 3)^{2} \times \frac{1}{3} + | 2 - 4 | =$ ．

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12. 已知 $x^{m} = 6$ ， $x^{n} = 3$ ，则 $x^{2 m - n}$ 的值为．

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13. 一个多边形的内角和是外角和的 $2$ 倍，这个多边形边数是．

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14. 已知点 $A (m - 1，3)$ 与点 $B (2 ， n + 1)$ 关于 $x$ 轴对称，则 $m^{n} =$ ．

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15. 如图，在△ABC中， $∠ A = 35 °$ ， $D$ 是 $A B$ 上一点．将 $△ A B C$ 沿 $C D$ 折叠，使点 $B$ 落在 $A C$ 边上的点 $E$ 处，且满足 $B C + B D = A C$ ，则 $∠ B =$ ．

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16. 如图，△ABC的面积为16，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于D，则△ADC的面积为。

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17. 如图， $B D$ 是等腰 $R t △ A B C$ 的角平分线， $∠ C A B = 90 °$ ， $A B = A C$ ，过点 $A$ 作 $B D$ 的垂线，过点 $C$ 作 $A B$ 的平行线，两线交于点 $G . A G$ 与 $B D$ 交于 $E$ ，与 $B C$ 交于 $F$ ，连接 $D F$ ，点 $N$ 是线段 $B D$ 上的动点，点 $M$ 是线段 $B F$ 上的动点，连接 $F N$ ， $N M$ ，下列四个结论： $① A D = C F$ ； $② ∠ B D A = ∠ C D F$ ； $③ C D + A C = B C$ ； $④ F N + N M \geq \frac{1}{2} B C$ ； $⑤ C F = C G$ 其中正确的是 $($ 填写序号 $)$

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18. 若一个四位数 $M$ 的千位数字与十位数字的和为 $10$ ，百位数字与个位数字的和也为 $10$ ，则这个四位数 $M$ 为“双十数” $.$ 例如： $M = 3278$ ， $∵ 3 + 7 = 10$ ， $2 + 8 = 10$ ， $∴ 3278$ 是“双十数”；又如： $M = 1294$ ， $∵ 1 + 9 = 10$ ， $2 + 4 = 6 \neq 10$ ， $∴ 1294$ 不是“双十数” $.$ 若一个“双十数” $M$ 的千位数字为 $a$ ，百位数字为 $b$ ，十位数字为 $c$ ，个位数字为 $d$ ，记 $G (M) = \frac{c + d}{4}$ ， $P (M) = \frac{a c + b d}{5}$ ，当 $G (M)$ 是整数时， $|c - d|$ 的最大值为，若 $G (M)$ 、 $P (M)$ 均为整数时，记 $F (M) = G (M) + P (M)$ ，当 $F (M)$ 取得最大值，且 $c > d$ 时， $M$ 的值为．

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三、（解答题：（本大题共7小题，每题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．

19. 计算：

(1)、 $3 a^{2} b^{2} \cdot (- 2 a b^{3} + 1)$

(2)、 $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

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20. 尺规作图并完成证明：

(1)、如图，点 $C$ 是 $A B$ 上一点， $A C = B E$ ， $A D = B C$ ， $∠ A D E = ∠ B E D$ ．尺规作图：作 $∠ D C E$ 的平分线 $C F$ ，交 $D E$ 于点 $F$ ；

(2)、证明： $C F ⊥ D E$ ．

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21. 如图 $△ A B C$ 的顶点均在边长为 $1$ 的小正方形网格中的格点上，如图，建立平面直角坐标系，点 $B$ 在 $x$ 轴上．

(1)、在图中画出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴对称的 $△ A' B' C'$ ，连接 $A A'$ ，求证： $△ A A' C$ ≌ $△ A' A C'$ ，

(2)、请在 $y$ 轴上画点 $P$ ，使得 $P B + P C$ 最短． $($ 保留作图痕迹，不写画法 $)$

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22. 某校为了解八年级学生的视力情况，对八年级的学生进行了一次视力调查，并将调查数据进行统计整理，绘制出如下频数分布表和频数分布直方图的一部分．
视力
频数 $($ 人 $)$
频率

$4.0 \leq x < 4.3$

$20$

$0.1$

$4.3 \leq x < 4.6$

$40$

$0.2$

$4.6 \leq x < 4.9$

$70$

$0.35$

$4.9 \leq x < 5.2$

$a$

$0.3$

$5.2 \leq x < 5.5$

$10$

$b$

(1)、在频数分布表中， $a =$ ， $b =$ ；

(2)、将频数分布直方图补充完整；

(3)、若视力在 $4.6$ 以上 $($ 含 $4.6)$ 均属正常，求视力正常的人数占被调查人数的百分比是多少？

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23. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $B D$ 是 $A C$ 边上的高，延长 $B C$ 至 $E$ ，使 $C E = C D$ ．

(1)、试说明： $D B = D E$ ．

(2)、过点 $D$ 作 $D F ⊥ B E$ ，垂足为 $F$ ，若 $C F = 3$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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24. 香椿是大家非常喜欢的时令蔬菜， $3$ 月份是香椿上市的旺季．某蔬菜超市销售香椿，第一周每千克香椿的销售单价比第二周销售单价高 $10$ 元，该蔬菜超市这两周共销售香椿 $180$ 千克，且第一周香椿的销量与第二周的销量之比为 $4$ ： $5$ ，该蔬菜超市这两周香椿销售总额为 $11600$ 元．

(1)、第二周香椿销售单价是每千克多少元？

(2)、随着香椿的大量上市， $3$ 月份第三周，香椿定价与第二周保持一致，且该蔬菜超市推出会员优惠活动，所有的会员均可享受 $a %$ 的价格优惠，而非会员需要按照原价购买，第三周香椿的销量比第二周增加了 $a %$ ，其中通过会员优惠活动购买的销量占第三周香椿总销量的 $\frac{5}{6}$ ，而第三周香椿的销售总额比第二周销售额提高了 $\frac{1}{20} a %$ ，求 $a$ 的值．

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25. 如图，在 $△ A B D$ 中， $∠ A B C = 45 °$ ， $A C$ ， $B F$ 为 $△ A B D$ 的两条高．

(1)、求证： $B E = A D$ ；

(2)、若过点 $C$ 作 $C M / / A B$ ，交 $A D$ 于点 $M$ ，求证： $B E = A M + E M$ .

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四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．

26.

(1)、【初步探索】如图 $1$ ：在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B = ∠ A D C = 90 °$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $B C$ 、 $C D$ 上的点，且 $E F = B E + F D$ ，探究图中 $∠ B A E$ 、 $∠ F A D$ 、 $∠ E A F$ 之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长 $F D$ 到点 $G$ ，使 $D G = B E .$ 连接 $A G$ ，先证明 $△ A B E ≌ △ A D G$ ，再证明 $△ A E F ≌ △ A G F$ ，可得出结论，他的结论应是；

(2)、【灵活运用】如图 $2$ ，若在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B + ∠ D = 180 ° . E$ 、 $F$ 分别是 $B C$ 、 $C D$ 上的点，且 $E F = B E + F D$ ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

(3)、【拓展延伸】如图 $3$ ，已知在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C + ∠ A D C = 180 °$ ， $A B = A D$ ，若点 $E$ 在 $C B$ 的延长线上，点 $F$ 在 $C D$ 的延长线上，如图 $3$ 所示，仍然满足 $E F = B E + F D$ ，请写出 $∠ E A F$ 与 $∠ D A B$ 的数量关系，并给出证明过程．

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视力	频数 $($ 人 $)$	频率
$4.0 \leq x < 4.3$	$20$	$0.1$
$4.3 \leq x < 4.6$	$40$	$0.2$
$4.6 \leq x < 4.9$	$70$	$0.35$
$4.9 \leq x < 5.2$	$a$	$0.3$
$5.2 \leq x < 5.5$	$10$	$b$