湖南省长沙市雨花区2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试卷

试卷更新日期：2024-03-08 类型：期末考试

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 如图所示的Venn图中，集合A={0，1，2}， $B = {- 1 ， 0 ， 2}$ ，则阴影部分表示的集合是（）

A、 ${0 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1}$

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2. 已知一个扇形的圆心角为 $30 °$ ，半径为1，则该扇形的周长为（）

A、32 B、 $\frac{π}{6}$ C、30 D、 $\frac{π}{6} + 2$

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3. 设 $f (x) = 2_{}^{x} + x - 8$ ，用二分法求方程 $2_{}^{x} + x - 8 = 0$ 在 $[1 ， 5]$ 上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（）

A、[1，2]或[2，3]都可以 B、[2，3] C、1，2] D、不能确定

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4. “幂函数 $y = (m_{}^{2} + m - 5) x_{}^{m}$ 的图象分布在第一、二象限”是“ $m = - 3$ 或 $2$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为 $a ， b ， c$ ，三角形的面积 $S$ 可由公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ 求得，其中 $p$ 为三角形周长的一半.已知 $Δ A B C$ 周长为12， $c = 4$ ，则此三角形面积最大时， $∠ A$ =（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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6. 已知 $s i n α - c o s α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $t a n α + \frac{1}{t a n α}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、-4 C、 $\frac{1}{4}$ D、4

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7. 函数 $f (x) = \frac{2^{x} s i n x}{4^{x} + 1}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如果函数 $y = f (x)$ 在区间D上是增函数，而函数 $y = \frac{f (x)}{x}$ 在区间D上是减函数，那么称函数 $y = f (x)$ 是区间D上
的“缓增函数”，区间D称为“缓增区间”.若函数 $f (x) = \frac{1}{2} x_{}^{2} - x + \frac{3}{2}$ 是区间D上的“缓增函数”，则“缓增区间”为（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $[0 ， \sqrt{3}]$ C、 $[0 ， 1]$ D、 $[1 ， \sqrt{3}]$

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二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

9. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ C、若 $a > b > 0 且 c < 0$ ，则 $\frac{c}{a^{2}} > \frac{c}{b^{2}}$ D、若 $a > b$ 且 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a b < 0$

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10. 下列说法正确的是（）

A、 $y = x_{}^{0}$ 与 $y = 1 (x \neq 0)$ 表示同一函数 B、已知 $f (x) = x^{3} + a x - \frac{b}{x} - 8$ ，若 $f (- 2) = 10$ ，则 $f (2)$ =-26 C、若角 $α$ 是第一象限角，则 $\frac{α}{2}$ 是第一或第二象限角 D、当 $x ∈ R$ 时，不等式 $k x_{}^{2} - k x + 1 > 0$ 恒成立，则 $k$ 的取值范围是 $(0 ， 4)$

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11. 将函数 $y = s i n \frac{1}{2} x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标保持不变），得到函数 $g (x)$ 的图象，下列关于函数 $g (x)$ 的说法正确的是（）

A、 $g (x) = s i n (\frac{1}{4} x + \frac{π}{6})$ B、 $g (x)$ 关于 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、 $g (x)$ 在区间 $[0 ， 2023]$ 上有644个零点 D、若 $g (x)$ 在 $[- a ， a]$ 上是增函数，则 $a$ 的最大值为 $\frac{π}{6}$

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12. 函数 $f (x)$ 的定义域为R，对任意的实数 $x_{1}^{} ， x_{2}^{} (x_{1}^{} \neq x_{2}^{})$ ，满足 $x_{1}^{} f (x_{1}^{}) + x_{2}^{} f (x_{2}^{}) > x_{1}^{} f (x_{2}^{}) + x_{2}^{} f (x_{1}^{})$ ，下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在R上是单调递减函数 B、 $f (- 5) < f (0) < f (1)$ C、 $f (0) = 0$ D、 $f (2 x - 1) < f (3 - x)$ 的解为 $x < \frac{4}{3}$

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三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）

13. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} \begin{array}{l} 2 s i n x ， x < 1 \\ f (x - 1) ， x \geq 1 \end{array} \end{cases}$ ，则 $f (1)$ = ．

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14. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 1 ， 1]$ ，则 $y = \frac{f (x + 1)}{\sqrt{x^{2} - 2 x - 3}}$ 的定义域为．

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15. 函数 $f (x) = l n (x^{2} - a x - 3)$ 在 $[2 ， + \infty)$ 单调递增，则a的取值范围是．

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16. 已知正实数 $x ， y$ 满足方程 $e^{2 x - 1} + 2 x = e^{3 - y} + 4 - y$ ，则 $\frac{x}{y} + \frac{1}{x}$ 的最小值．

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四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知集合
$A = {| x | 0 < x < 2} ， B = {{| x | 1 < x < - a}$ ．

(1)、若 $a = - 3$ ，求A∪ $(C_{R}^{} B)$ ；

(2)、若 $A ∩ B = B$ ，求a的取值范围．

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18. 求下列各式的值：

(1)、 ${(\frac{1}{64})}_{}^{- \frac{2}{3}} + l g 25 + l g 4 + 7_{}^{l o g_{7}^{} 2}$ ；

(2)、 $\frac{\sqrt{1 - 2 s i n 10 ° c o s 10 °}}{s i n 10 ° - \sqrt{1 - s i n_{}^{2} 10 °}}$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = a^{x} + 1 (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图象恒过定点 $A$ ，点 $A$ 又在函数 $g (x) = l o g_{2} (x + a)^{2}$ 的图象上．

(1)、求a的值；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (g (x)) > k x + 1$ 在 $x \in [3 ， 4]$ 上恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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20. 已知函数
$f (x) = \sqrt{3} s i n ω x c o s ω x - c o s^{2} ω x + m$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{2 π}{9}$ 对称， $ω \in [1 ， π]$ ，求 $ω$ 的值及函数 $f (x)$ 单增区间；

(2)、在（1）的条件下，当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时， $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 是函数 $f (x)$ 的两个零点，求 $f (x_{1} + x_{2}) - m$ 的值.

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21. 春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足 $0 < t \leq 24$ ， $t \in N$ .经测算，当 $16 \leq t \leq 24$ 时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当 $0 < t < 16$ 时，候车人数会减少，减少人数与 $t (16 - t)$ 成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为 $f (t)$ .

(1)、求 $f (t)$ 的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；

(2)、若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为 $P = \frac{f (t) - 3160}{t} + 320$ ，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?

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22. 如果函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且存在常数 $a$ ，使得对定义域内的任意 $x$ ，都有 $f (x + a) = f (- x)$ 恒成立，那么称此函数具有“ $P (a)$ 性质”．

(1)、已知 $y = f (x)$ 具有“ $P (0)$ 性质”，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = l o g_{2} (x^{2} - 2 x + 5)$ ，求 $y = f (x)$ 的解析式及在 $[0 ， 1]$ 上的最大值；

(2)、已知定义在 $R$ 上的函数 $y = h (x)$ 具有“ $P (2)$ 性质”，当 $x ≥ 1$ 时， $h (x) = | x - 4 |$ ．若 $h^{2} (x) - t \cdot h (x) + t = 0$ 有8个不同的实数解，求实数 $t$ 的取值范围．

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