湖南省郴州市2023-2024学年高一上学期期末教学质量监测数学试卷

试卷更新日期：2024-03-08 类型：期末考试

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一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 命题“ $\forall x \in R ， x^{2} - x + 1 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R ， x^{2} - x + 1 < 0$ B、 $\exists x \in R ， x^{2} - x + 1 \leq 0$ C、 $\forall x \in R ， x^{2} - x + 1 < 0$ D、 $\forall x \in R ， x^{2} - x + 1 \leq 0$

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2. 已知集合 $A = {1 ， 4 ， a}$ ， $B = {1 ， 2 ， 3}$ ，若 $A ∪ B = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则 $a$ 的可能取值个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 函数 $f (x) = l g (1 - x) + \sqrt{x}$ 的定义域是（）

A、 $[0 ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， + \infty)$ D、 $(0 ， 1)$

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4. 函数 $f (x) = x - 4 + 2^{x}$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(4 ， 5)$

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5. 设 $a = l g 5$ ， $b = 3^{0.1}$ ， $c = 2^{0.1}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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6. 要得到函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象，只需要将函数 $g (x) = s i n (x - \frac{π}{6})$ 的图象上所有的点（）

A、纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，然后横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变） B、纵坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（横坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C、纵坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（横坐标不变），再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） D、纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，然后横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变）

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7. 某省新高考中选考科目采用赋分制，具体转换规则和步骤如下：第一步，按照考生原始分从高到低按成绩比例划定 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 共五个等级（见下表）.第二步，将 $A$ 至 $E$ 五个等级内的考生原始分，依照等比例转换法则，分别对应转换到100～86、85～71、70～56、55～41和40～30五个分数段，从而将考生的等级转换成了等级分.
等级
$A$
$B$
$C$
$D$
$E$
比例
15%
35%
35%
13%
2%
赋分区间
100-86
85-71
70-56
55-41
40-30
赋分公式： $\frac{(该区间原始最高分 - 原始分)}{(原始分 - 该区间原始最低分)} = \frac{(等级赋分区间最高分 - X)}{(X - 等级赋分区间最低分)}$ ，计算出来的 $X$ 经过四舍五人后即为赋分成绩.
某次考试，化学成绩 $A$ 等级的原始最高分为98分，最低分为63分.学生甲化学原始成绩为76分，则该学生的化学赋分分数为（）

A、85 B、88 C、91 D、95

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8. 定义： $N {f (x) \otimes g (x)}$ 表示不等式 $f (x) < g (x)$ 的解集中的整数解之和.若 $f (x) = | l o g_{2} x |$ ， $g (x) = a {(x - 1)}^{2} + 2$ ， $N {f (x) \otimes g (x)} = 6$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1]$ B、 $(l o {g_{2}}^{3} - 2 ， 0]$ C、 $(2 - l o g_{2} 6 ， 0]$ D、 $(\frac{l o g_{2} 3 - 2}{4} ， 0]$

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二、多项选择题（每小题有多于一个的正确选顶，全答对得5分，部分答对得2分，有错误选项的得0分）

9. 下列函数中最小正周期为 $π$ ，且为偶函数的是（）

A、 $y = | c o s x |$ B、 $y = s i n 2 x$ C、 $y = s i n (2 x + \frac{π}{2})$ D、 $y = c o s \frac{1}{2} x$

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10. 若函数 $f (x) = a^{x - 1} + 1$ ，（ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）恒过一定点 $P$ 成立，且点 $P$ 在直线 $y = \frac{1}{m} x + \frac{1}{n}$ ，（ $m > 0$ ， $n > 0$ ）上，则下列命题成立的是（）

A、定点 $P$ 的坐标为 $(1 ， 2)$ B、 $m + n$ 的最小值为4 C、 $m n$ 的最小值为1 D、 $\frac{m}{n} + \frac{1}{2 m}$ 的最小值为1

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11. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x - \frac{π}{3})$ （ $ω > 0$ ）在区间 $[0 ， π]$ 上有且仅有3个零点，则（）

A、当 $ω = 3$ 时， $f (\frac{π}{2}) = - 1$ B、 $f (x)$ 的最小正周期可能是 $\frac{3 π}{5}$ C、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{7}{3} ， \frac{10}{3})$ D、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调递增

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) = f (- x)$ 及 $f (x + 2) = f (x) + f (1)$ 成立，当 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [0 ， 1]$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，下列四个结论中正确的是（）

A、 $f (1) = 0$ B、直线 $x = 2$ 是函数 $f (x)$ 的一条对称轴 C、函数 $f (x)$ 在区间 $[- 3 ， - 2]$ 上为减函数 D、方程 $f (x) = 0$ 在区间 $[- 3 ， 3]$ 上有4个不同的实根

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三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知幂函数 $f (x) = x^{α}$ 过点 $(4 ， 8)$ ，则 $α =$ .

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14. $\forall x \in [\frac{1}{2} ， 2]$ ，不等式 $x^{2} + a x + 1 \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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15. 已知 $\frac{s i n (π - α) - c o s (\frac{π}{2} + α)}{c o s (- α)} = 4$ ，则 $s i n 2 α =$ .

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16. 我们家里大多数装了空调，空调风机的工作原理就是把室内热空气抽出去，然后把室外新鲜空气通过空调制冷系统，净化后再传回室内.假设某房间体积为 $v_{0}$ ，室内热气的质量为 $m$ ，已知某款空调机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为 $v$ （ $v > 1$ ），室内热气体的浓度与时刻 $t$ 的函数关系为 $ρ (t) = λ \frac{m}{v_{0}} + μ \frac{m}{v_{0}} e^{- v t}$ ，其中常数 $λ$ 为过滤效率， $λ + μ = 1$ .若该款新风机的过滤效率为 $λ = \frac{1}{4}$ ，且 $t = 1$ 时室内热空气的浓度是 $t = 2$ 时的 $\frac{3}{2}$ 倍，则该款空调单位时间内从室外吸入的空气体积 $v =$ .

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四、解答题（要求写出必要的过程，第17题10分，第18～22题各12分，共70分.）

17. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x^{2} - 5 x + 6 \leq 0}$ ， $B = {x | (x - 1) (x - a) < 0 ， a > 1}$ .

(1)、求集合 $A$ ， $B$ ；

(2)、若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的充分不必要条件，求 $a$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = | l o g_{2} x |$

(1)、完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数 $f (x) = | l o g_{2} x |$ 的简图；
$x$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}$
1
2
4
$f (x)$

(2)、根据（1）的结果，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ （ $x_{1} \neq x_{2}$ ），试猜想 $x_{1} x_{2}$ 的值，并证明你的结论.

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19. 设函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{3})$ （ $x \in R$ ）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值.

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20. 某人自主创业，制作销售一种小工艺品，每天的固定成本为80元，根据一段时间的制作销售发现，每生产 $x$ 件该工艺品，需另投入成本 $C (x)$ 万元，且 $C (x) = {\begin{array}{l} 10 x^{2} + 80 x ， 0 < x \leq 5 \\ 210 x + \frac{640}{x} - 500 ， x > 5 \end{array}$ 假设每件工艺品的售价定为200元，且每天生产的工艺品能全部销售完.

(1)、求出每天的利润 $W (x)$ （元）关于日产量 $x$ （件）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；

(2)、当日产量为多少件时，这个人每天所获利润最大？最大利润是多少元？

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21. 定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{- 2^{x} + a}{2^{x} + 1}$ 是奇函数

(1)、求 $a$ 的值并判断函数的单调性；

(2)、对任意 $θ \in [0 ， \frac{π}{6}]$ ，使得 $f (\sqrt{3} s i n θ c o s θ) + f (k + c o s^{2} θ) > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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22. 对于满足一定条件的连续函数 $g (x)$ ，存在实数 $x_{0}$ ，使得 $g (x_{0}) = x_{0}$ ，我们就称该函数为“不动点”函数，实数 $x_{0}$ 为该函数的不动点.若函数 $y = f (x)$ ， $x \in I$ ，若存在 $x_{0} \in I$ ，使得 $f (f (x_{0})) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 的稳定点.

(1)、证明：函数不动点一定是函数的稳定点.

(2)、已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a - 2) x - 1$ ，
（Ⅰ）当 $a = 2$ 时，求函数的不动点和稳定点；
（Ⅱ）若存在 $m > 0$ ，使函数 $y = f (| x |) + x + 3 - m - \frac{1}{m}$ 有三个不同的不动点，求 $m$ 的值和实数 $a$ 的取值范围.

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等级	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$
比例	15%	35%	35%	13%	2%
赋分区间	100-86	85-71	70-56	55-41	40-30

$x$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	1	2	4
$f (x)$