湖南省邵阳市重点中学2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题

试卷更新日期：2024-03-08 类型：期末考试

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一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = {x | l o g_{2} x ， x \leq 2}$ ， $B = {x | x^{2} - x - 6 \leq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 0 < x \leq 4}$ B、 ${x | - 2 \leq x \leq 4}$ C、 ${x | 0 < x \leq 3}$ D、 ${x | x < 0 或 x \leq 3}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = 3 + 5 i$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $4 + 4 i$ B、 $4 - 4 i$ C、 $- 1 + 4 i$ D、 $- 1 - 4 i$

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3. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 为 $B_{1} C_{1}$ 中点，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ ， $\vec{A_{1} A} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{B M}$ 相等的是（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ 且 $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{a_{n} + 3} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{22}$ 为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 第19届亚运会于2023年9月28日至10月8日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河.某同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，现将这6个吉祥物排成一排，且名称相同的两个吉祥物相邻，则排法种数共为（）

A、48 B、24 C、12 D、6

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6. 在 $△ A B C$ 中， $A B C = 90$ ， $| A B | = 12$ ， $| B C | = 5$ ，以顶点 $A$ ， $B$ 为焦点且过点 $C$ 的双曲线离心率记为 $e_{1}$ ，以顶点 $B$ ， $C$ 为焦点且过点 $A$ 的双曲线离心率记为 $e_{2}$ ，则 $e_{1} e_{2} =$ （）

A、 $\frac{10}{3}$ B、 $\frac{60}{13}$ C、 $\frac{15}{2}$ D、 $\frac{65}{12}$

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7. 正割（Secant）及余割（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔威发首先引入，sec，csc这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正割 $s e c α = \frac{1}{c o s α}$ ，余割 $c s c α = \frac{1}{s i n α}$ ，则函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{s e c x} + \frac{1}{c s c x}$ 的值域为（）

A、 ${f (x) | - 2 \leq f (x) \leq 2}$ B、 ${f (x) | - 2 \leq f (x) \leq 2 且 f (x) \neq \pm 1 且 f (x) \neq \pm \sqrt{3}}$ C、 ${f (x) | - 2 \leq f (x) \leq 2 且 f (x) \neq \pm \sqrt{3}}$ D、 ${f (x) | - 1 < f (x) < 1}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 及其导数 $f^{'} (x)$ 的定义域为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ，且 $f (x)$ ， $g (x + 1)$ 都为奇函数.若 $f (- 5) = 2$ ，则 $f (2023) =$ （）

A、0 B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、 $- 2$

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二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、函数 $y = f (x - \frac{π}{6})$ 为偶函数 C、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称 D、函数 $y = f (x)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{12}]$ 上的最小值为 $- \sqrt{3}$

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10. 若实数 $m ， n > 0$ ，满足 $2 m + n = 1$ ，以下选项中正确的有（）

A、 $m n$ 的最大值为 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}$ C、 $\frac{2}{m + 1} + \frac{9}{n + 2}$ 的最小值为15 D、 $4 m^{2} + n^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$

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11. 如图所示，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 是线段 $C_{1} D_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、平面 $B B_{1} P ⊥$ 平面 $A B C D$ B、 $B P$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ C、若直线 $B_{1} P$ 与 $B D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，则 $D_{1} P = \frac{1}{2}$ D、若 $P$ 是 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则 $A A_{1}$ 到平面 $B B_{1} P$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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12. 1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》，在书中收录了一个有关兔子繁殖的问题.他从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，…，即从数列的第三项开始，每个数字都等于前两个相邻数字之和.已知数列 ${a_{n}}$ 为斐波那契数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，并且满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} (n \geq 3 ， n \in N^{*})$ ，则关于斐波那契数列，以下结论正确的是（）

A、 $a_{8} = 34$ B、 $3 a_{n} = a_{n - 2} + a_{n + 2} (n \geq 3 ， n \in N^{*})$ C、 $a_{n} = S_{n - 2} + 1 (n \geq 3 ， n \in N^{*})$ D、 $a_{2} + a_{4} + a_{6} + \cdot \cdot \cdot + a_{2022} = a_{2023}$

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三、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）

13. 已知函数 $y = l o g_{a} (k x^{2} - 4 k x + 1 - k)$ 的定义域为 $R$ ，则实数 $k$ 的取值范围是.

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14. “莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺.”这是清代女诗人吴绛雪的一首回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文数”，图232，251152等，那么在有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有个.

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15. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a b > 0)$ 的左右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ .直线 $y = k x$ 与椭圆 $C$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，若 $| P F_{1} | = 2 | Q F_{1} |$ ，且 $∠ P F_{1} Q = \frac{2 π}{3}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为.

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16. 意大利著名画家、数学家、物理学家达·芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计．经过计算，悬链线的函数方程为 $c o s h (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，并称其为双曲余弦函数．若 $c o s h (s i n θ + c o s θ) \geq c o s h (m - s i n θ c o s θ)$ 对 $\forall θ \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 恒成立，则实数m的取值范围为．

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四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知锐角三角形 $A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $t a n B + t a n C = \frac{\sqrt{3} c o s A}{c o s B c o s C}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{6}$ ，求 $b + c$ 的取值范围.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 为等边三角形， $A D ⊥ C D$ ， $A D ∥ B C$ ，且 $A D = 2 B C = 2$ ， $C D = \sqrt{3}$ ， $P B = \sqrt{6}$ ， $E$ 为 $A D$ 中点.

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若线段 $P C$ 上存在点 $Q$ ，使得二面角 $Q - B E - C$ 的大小为 $60 °$ ，求 $\frac{C Q}{C P}$ 的值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 是递增的等差数列，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{1} = 3$ ， $a_{1} - 1$ 、 $a_{2} - 1 、 a_{3} + 1$ 成等比数列， $b_{1} = 1$ ， $a_{5} - 2 b_{2} = a_{3}$ ，

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式

(2)、若 $c_{n} = b_{n} + l o g_{2} \frac{a_{n}}{a_{n + 1}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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20. 2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试，进入面试环节.现随机抽取了100名同学的面试成绩，并分成五组：第一组 $[45 ， 55)$ ，第二组 $[55 ， 65)$ ，第三组 $[65 ， 75)$ ，第四组 $[75 ， 85)$ ，第五组 $[85 ， 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、估计这100名同学面试成绩的众数和 $60 %$ 分位数（百分位数精确到0.1）；

(3)、在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率.

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21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F ， M (m ， - 2)$ 为抛物线上一点， $| M F | = 2$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的标准方程；

(2)、已知点 $A (- 2 ， 0)$ ，点 $B (2 ， 1)$ ，过点 $A$ 的直线与抛物线交于 $P ， Q$ 两点，连接 $P B$ 交抛物线于另一点 $T$ ，证明：直线 $Q T$ 过定点，并求出定点坐标.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} s i n x$ .（ $e$ 是自然对数的底数）

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、记 $g (x) = f (x) - a x$ ，若 $0 < a \leq 1$ ，试讨论 $g (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上的零点个数.

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