湖南省衡阳市衡阳县2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-03-08 类型：期末考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{2} = 1 ， a_{4} = 2$ ，则 $a_{8} =$ （）

A、3 B、4 C、6 D、8

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2. 已知直线 $l$ 的倾斜角 $α$ 满足 $12 0^{∘} < α ⩽ 13 5^{∘}$ ，则 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， - \frac{\sqrt{3}}{3})$ B、 $[- \sqrt{3} ， - 1]$ C、 $(- \sqrt{3} ， - 1]$ D、 $(- ∞ ， - \sqrt{3}] \cup (- 1 ， + ∞)$

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3. 已知曲线 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{m} = 1 (m \neq 0)$ 的焦距为4，则 $m =$ （）

A、4 B、8 C、12 D、20

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4. 若抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点到直线 $\sqrt{3} x - y + 2 \sqrt{3} = 0$ 的距离为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的准线方程为（）

A、 $x = 2$ B、 $x = 1$ C、 $x = - 1$ D、 $x = - 2$

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5. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 2 ， 3) ， \vec{b} = (1 ， x ， 1) ， \vec{c} = (2 ， 0 ， y - 1)$ ，且 $\vec{a}$ $∥$ $(\vec{b} + \vec{c})$ ，则 $x + y =$ （）

A、-6 B、-3 C、3 D、6

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6. 我国古代数学名著《九章算术》中将有三条棱互相平行且只有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍.如图，今有一刍甍，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $E F$ $∥$ 平面 $A B C D$ ，且 $A B = 2 E F$ ，点 $M$ 在棱 $F C$ 上，且 $2 F M = M C$ .设 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b} ， \vec{A E} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A M} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{5}{6} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{4}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$

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7. 已知实数 $x ， y$ 满足 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 1 = 0$ ，则 $\frac{y + 4}{x + 5}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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8. 已知斜率为2的直线 $l$ 与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 交于 $A ， B$ 两点， $M$ 为线段 $A B$ 的中点， $O$ 为坐标原点，若 $O M$ 的斜率为 $- \frac{3}{8}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知点 $P (1 ， 3)$ 与 $Q (- 3 ， 1)$ 到直线 $l$ 的距离相等，则 $l$ 的方程可以是（）

A、 $2 x + y = 0$ B、 $x - 2 y - 3 = 0$ C、 $2 x + 3 y - 5 = 0$ D、 $3 x - 2 y + 7 = 0$

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10. 已知 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 均是公差不为0的等差数列， $a_{1} = 3$ 且 $\frac{a_{n} - 1}{b_{n} - 1} = \frac{2}{3}$ ，记 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n} ， T_{n}$ ，则（）

A、 $b_{1} = 4$ B、 $a_{n} = 2 n + 1$ C、 ${\frac{a_{n}}{b_{n}}}$ 为递增数列 D、 $\frac{S_{n} + n}{T_{n} + 2 n} = \frac{2}{3}$

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11. 已知 $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，直线 $A B$ 过点 $T (2 p ， 0)$ 且与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $O$ 为坐标原点，则（）

A、 $| A F |$ 的最小值为 $\frac{p}{2}$ B、以线段 $A B$ 为直径的圆与 $C$ 的准线相离 C、 $△ A O B$ 的面积为定值 D、 $O A ⊥ O B$

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12. 已知四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面为正方形，棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $A D = A A_{1} = 2 A_{1} D_{1} = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $C D_{1}$ 与平面 $A_{1} B D$ 相交 B、若直线 $A C_{1}$ 与平面 $B D D_{1} B_{1}$ 交于点 $M$ ，则 $M$ 为线段 $A C_{1}$ 的中点 C、平面 $A_{1} C D$ 将该四棱台分成的大､小两部分体积之比为 $5 ： 2$ D、若点 $P ， Q$ 分别在直线 $A A_{1} ， C D_{1}$ 上运动，则线段 $P Q$ 长度的最小值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的一条渐近线方程为.

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14. 直线 $l ： (3 a - 1) x + (a + 2) y + a - 5 = 0 (a \in R)$ 所过定点的坐标为.

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15. 已知公比 $q \neq 1$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} ， a_{9} ， a_{6}$ 成等差数列，设 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{S_{9}}{S_{27}} =$ .

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16. 如图，已知 $A B ， B C$ 是圆 $E$ 的弦， $| A B | > | B C | ， P$ 为 $\overset{⌢}{A B C}$ 的中点，且 $P$ 在弦 $A B$ 上的射影为 $Q$ ，则 $| A Q | = \frac{| A B | + | B C |}{2}$ ，该定理称为阿基米德折弦定理.在上述定理中，若已知 $A (- 3 ， 2)$ ， $B (5 ， 6)$ ，点 $C$ 在直线 $A B$ 下方， $P Q$ $∥$ $B C ， | A Q | = 3 \sqrt{5}$ ，则过点 $B ， C ， Q$ 的圆的方程为.

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四、解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.

(1)、已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} + 2 a_{n + 1} = 9 n$ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q = 3$ ，且 $a_{3}^{2} a_{6} = 1$ ，求 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0) ， F_{2} (\sqrt{3} ， 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $y = x$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，求 $△ A B F_{2}$ 的周长.

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19. 已知圆 $C$ 经过 $A (- 1 ， 2)$ 和 $B (8 ， 5)$ 两点，且与 $x$ 轴的正半轴相切.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若圆 $C^{'}$ 与圆 $C$ 关于直线 $l ： 2 x + y = 1$ 对称，求圆 $C^{'}$ 的方程.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D ， ∠ D A B = ∠ A D C = 9 0^{∘}$ ，且 $A B = 2 D C = 2$ ， $P A = A D = \sqrt{2}$ .

(1)、证明：直线 $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求平面 $P A C$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值.

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21. 已知在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{2} = 3 ， {a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{n (1 + a_{n})}{2}$ .

(1)、证明： ${a_{n}}$ 为等差数列；

(2)、已知 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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22. 已知曲线 $C$ 上的动点 $M$ 满足 $| | M F_{1} | - | M F_{2} | | = 2$ ，且 $F_{1} (- 2 ， 0) ， F_{2} (2 ， 0)$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点，过 $P ， Q$ 分别作 $C$ 的切线，若两切线交于点 $R$ ，且点 $R$ 在直线 $x = \frac{1}{4}$ 上，证明： $l$ 经过定点.

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