湖南省郴州市2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷

试卷更新日期：2024-03-08 类型：期末考试

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知 $A (7 ， - 4) ， B (- 5 ， 6)$ ，若直线 $m$ 与直线 $A B$ 垂直，则直线 $m$ 的斜率为（）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $- \frac{6}{5}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $- \frac{5}{6}$

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2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，公差为 $d (d \neq 0) ， \vec{O A} = a_{4} \vec{O B} + a_{2021} \vec{O C}$ ，且 $\vec{A B} = d \vec{B C}$ ，则 $S_{2024} =$ （）

A、0 B、1011 C、1012 D、2024

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3. 函数 $f (x) = e^{x} + x$ 在点 $(0 ， 1)$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 2 x + 1$ B、 $y = x + 1$ C、 $y = e x + 1$ D、 $y = (e + 1) x + 1$

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4. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为1，现将 $△ A C D$ 沿对角线 $A C$ 向上翻折，使得二面角 $D - A C - B$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则点 $D$ 到平面 $A B C$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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5. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B C$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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6. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点，点 $M$ 在 $C$ 上，若使 $△ M F_{1} F_{2}$ 为直角三角形的点 $M$ 有8个，则 $C$ 的离心率的范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{3} ， 1)$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$

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7. 德国数学家米勒曾提出最大视角问题：已知点 $A ， B$ 是 $∠ M O N$ 的 $O N$ 边上的两个定点， $C$ 是 $O M$ 边上的一个动点，当 $C$ 在何处时， $∠ A C B$ 最大？结论是：当且仅当 $△ A B C$ 的外接圆与边 $O M$ 相切于点 $C$ 时， $∠ A C B$ 最大.人们称这一命题为米勒定理.在平面直角坐标系内，已知 $M (1 ， 0) ， N (3 ， 0)$ ，点 $P$ 是直线 $l ： x - y + 1 = 0$ 上一动点，当 $∠ M P N$ 最大时，点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$ B、 $(\sqrt{2} ， \sqrt{2} + 1)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(\sqrt{3} ， \sqrt{3} + 1)$

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8. 若函数 $f (x) = x l n x - k x^{2} - x$ 在定义域内有两个极值点，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- ∞ ， \frac{1}{2 e})$ B、 $(- ∞ ， \frac{1}{e})$ C、 $(0 ， \frac{1}{e})$ D、 $(0 ， \frac{1}{2 e})$

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二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9. 在棱长为1的正四面体 $A B C D$ 中， $E 、 F$ 分别为 $B C 、 A D$ 的中点，则下列命题正确的是（）

A、 $\vec{E F} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C} - \vec{A D})$ B、 $E F = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $B C ⊥$ 平面 $A E F$ D、 $A E$ 和 $C F$ 夹角的正弦值为 $\frac{2}{3}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = n^{2} + 2 n$ ，数列 ${\frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若对一切 $n \in N^{*}$ 都有 $3 m - 1 > T_{n}$ 恒成立，则整数 $m$ 的可能值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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11. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 13 = 0$ ，则下列命题正确的是（）

A、圆心坐标为 $(2 ， 1)$ B、直线 $l ： x + y - 1 = 0$ 与圆 $C$ 相交所得的弦长为8 C、圆 $C$ 与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 8$ 有三条公切线. D、圆 $C$ 上恰有三个点到直线 $y = x + b$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，则 $b = 3$ 或-5

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12. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是世界数学史上第一道数列题.已知大衍数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 0 ， a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} + n + 1 ； n 为奇数 \\ a_{n} + n ； n 为偶数 \end{array}$ ，则（）

A、 $a_{3} = 4$ B、 $a_{2024} = 1012 \times 2024$ C、此数列的前 $n$ 项和为 $S_{n} = n (n - 1)$ D、数列 ${(- 1)^{n} a_{n}}$ 的前60项和为930

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三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} ， a_{3}$ 是方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两根，则 $a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot a_{4}$ 的值为.

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14. 设曲线 $C$ 上的动点 $P$ 与定点 $F (1 ， 0)$ 的距离和点 $P$ 到定直线 $l ： x = 4$ 的距离的比为 $\frac{1}{2}$ .倾斜角为 $6 0^{∘}$ 的直线 $m$ 经过点 $F$ 与曲线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点（点 $A$ 位于 $x$ 轴上方），则 $\frac{| A F |}{| B F |} =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} ， g (x) = l n x - 2 x$ ，若 $f^{'} (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则 $| x_{2} - x_{1} |$ 的最小值为.

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16. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $A B = 1 ， A D = 2 ， P A = 2$ ，点 $M$ 在线段 $P C$ 上运动，则点 $M$ 到 $A B$ 距离的最小值为.

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四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， S_{n} + 1 = 2 a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前项 $n$ 和 $T_{n}$ .

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18. 已知圆 $C$ 经过 $A (1 ， 2) ， B (3 ， 4)$ 两点，且圆心 $C$ 在直线 $x - y + 3 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程.

(2)、 $P (0 ， 5)$ 为圆 $C$ 内一点，弦 $M N$ 恰好被点 $P$ 平分，求直线 $M N$ 的方程，并判断 $△ C M N$ 为钝角三角形､直角三角形还是锐角三角形？

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19. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $S_{△ A B C} = \sqrt{3} ， A A_{1} = \sqrt{3} ， D$ 为 $A C$ 的中点， $E$ 为 $A A_{1}$ 上一个动点.

(1)、若 $E$ 为靠近 $A$ 点线段 $A A_{1}$ 的三等分点，求证： $E D ⊥$ 平面 $B D C_{1}$ ；

(2)、在线段 $A A_{1}$ 上是否存在点 $E$ ，使平面 $A B E$ 与平面 $B E D$ 的夹角等于 $3 0^{∘}$ ？若存在，求出 $A E$ 的长；若不存在，请说明理由.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} e^{2 x} - (a + 1) e^{x} + a x + \frac{1}{2}$ .

(1)、若 $a ⩽ 0$ ，求证： $f (x) ⩾ - a$ ；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < 1 < x_{2} ， a \in N^{*}$ ，当 $a$ 取最小值时，求 $f (x)$ 的极小值.

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21. 已知抛物线 $E ： x^{2} = 2 p y (0 < p < 3) ， E$ 上一点 $C$ 的横坐标为 $\sqrt{3} ， C$ 到抛物线 $E$ 的焦点的距离为2.

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 交抛物线 $E$ 于 $A ， B$ 两点， $O$ 为坐标原点，满足 $k_{O A} \cdot k_{O B} = - 4$ ，求 $△ O A B$ 面积的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a (x - 1) ， g (x) = 2 a x - 2 a ， a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象恰有一对点关于 $M (1 ， 0)$ 对称，求实数 $a$ 的取值范围.

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