湖南省岳阳市平江县2023-2024学年高二（上）期末数学试卷

试卷更新日期：2024-03-08 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 直线 $m$ 的方程为 $\sqrt{3} x - y + 2 = 0$ ，则直线 $m$ 的倾斜角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $120 °$

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2. 圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 6 = 0$ 的圆心坐标和半径分别是（）

A、 $(- 1 ， - 2)$ ， $11$ B、 $(- 1，2)$ ， $11$ C、 $(- 1 ， - 2)$ ， $\sqrt{11}$ D、 $(- 1，2)$ ， $\sqrt{11}$

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，若 $a_{1} = 1$ ， $q = 2$ ， $S_{n} = 31$ ，则 $n$ 等于（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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4. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C$ 与 $B D$ 的交点为 $M .$ 设 $\vec{A_{1} B_{1}} = \vec{a}$ ， $\vec{A_{1} D_{1}} = \vec{b}$ ， $\vec{A_{1} A} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{M B_{1}}$ 相等的向量是（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$

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5. 在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（）

A、25.5尺 B、34.5尺 C、37.5尺 D、96尺

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6. 椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{25 - k} + \frac{y^{2}}{9 - k} = 1 (0 < k < 9)$ 的（）

A、长轴长相等 B、短轴长相等 C、离心率相等 D、焦距相等

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7. 如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $F$ 为线段 $A B$ 的中点，则直线 $F C$ 到平面 $A E C_{1}$ 的距离等于（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是椭圆上的动点， $I$ 和 $G$ 分别是 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心和重心，若 $I G$ 与 $x$ 轴平行，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 已知各项均为正数的等差数列 ${a_{n}}$ 单调递增，且 $a_{5} = 2$ ，则（）

A、公差 $d$ 的取值范围是 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ B、 $2 a_{7} = a_{9} + 2$ C、 $a_{8} + a_{4} > a_{6} + a_{5}$ D、 $a_{1} + a_{9} = 4$

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10. 下列说法中，正确的有（）

A、过点 $P (1，2)$ 且在 $x$ 轴， $y$ 轴截距相等的直线方程为 $x + y - 3 = 0$ B、直线 $y = k x - 2$ 在 $y$ 轴的截距是 $2$ C、直线 $x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $30 °$ D、过点 $(5，4)$ 且倾斜角为 $90 °$ 的直线方程为 $x - 5 = 0$

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11. 对于非零空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，现给出下列命题，其中为真命题的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角是锐角 B、若 $\vec{a} = (2，3 ， 3)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， - 1，3)$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ D、若 $\vec{a} = (1，1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (0，2 ， 0)$ ， $\vec{c} = (0，0 ， 3)$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 可以作为空间中的一组基底

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12. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 5$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| A B | = 4$ ，直线 $l$ 过 $C$ 的焦点 $F$ ，且与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，则下列说法中正确的是（）

A、若直线 $l$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $| M N | = 16$ B、 $| M F | + 2 | N F |$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、若以 $M F$ 为直径的圆与 $y$ 轴的公共点为 $(0 ， \frac{\sqrt{6}}{2})$ ，则点 $M$ 的横坐标为 $\frac{3}{2}$ D、若点 $G (2，2)$ ，则 $△ G F M$ 周长的最小值为 $4 + \sqrt{5}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 数列的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2 n^{2} + n + 1$ ，那么它的通项公式是．

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14. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左顶点，且与直线 $2 x - y + 1 = 0$ 平行的直线方程为．

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15. 已知函数 $f (x) = x (x - c)^{2}$ 在 $x = 2$ 处有极大值，则 $c =$ ．

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16. 正四棱锥 $P - A B C D$ ，底面四边形 $A B C D$ 为边长为 $2$ 的正方形， $P A = \sqrt{5}$ ，其内切球为球 $G$ ，平面 $α$ 过 $A D$ 与棱 $P B$ ， $P C$ 分别交于点 $M$ ， $N$ ，且与平面 $A B C D$ 所成二面角为 $30 °$ ，则平面 $α$ 截球 $G$ 所得的图形的面积为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 已知 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， - 4)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， k ， 2)$ ．

(1)、若 $(\vec{a} - \vec{b}) / / (\vec{a} + \vec{b})$ ，求实数 $k$ 的值；

(2)、若 $(\vec{a} + 3 \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，求实数 $k$ 的值．

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18. 已知圆 $C$ ： $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ ，直线 $l$ ： $(2 m + 1) x + (m + 1) y - 7 m - 4 = 0 (m \in R)$ ．

(1)、求证：直线 $l$ 恒过定点；

(2)、当 $m = 0$ 时，求直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = \frac{3}{5}$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ．

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{a_{n}} - 1}$ 为等比数列．

(2)、若 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < 100$ ，求满足条件的最大整数 $n$ ．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A D = 2 A B = 2 C D = 4$ ， $∠ B A D = ∠ C D A = \frac{π}{3}$ ．

(1)、判断直线 $B C$ 与平面 $P A D$ 的位置关系，并证明；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P B C$ 所成二面角 $α$ 余弦值的绝对值．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - l n (x + m)$ ．

(1)、当 $m = \frac{1}{2}$ 时，求曲线 $f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处切线方程；

(2)、当 $m \leq 2$ 时，求证： $f (x) > 0$ ．

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22. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为 $30^{o}$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、经过点 $F$ 的直线与双曲线的右支交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $P$ 点，点 $P$ 关于原点的对称点为点 $Q$ ，求 $△ Q A B$ 的面积的取值范围．

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