湖南省岳阳市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-03-08 类型：期末考试

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一、单选题（5分每题，共40分）

1. 若集合 $A = {x \in R | a x^{2} - 2 x + 1 = 0}$ 中只有一个元素，则实数 $a =$ （）

A、1 B、0 C、2 D、0或1

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2. 已知 $m \in R$ ， $n \in R$ ，若集合 ${m ， \frac{n}{m} ， 1} = {m^{2} ， m + n ， 0}$ ，则 $m^{2023} + n^{2023}$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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3. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(2 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则函数 $y = f (x^{2} + 2 x)$ 的单调递增区间为（）

A、 $(- ∞ ， - 2)$ B、 $(- ∞ ， - 1)$ C、 $(0 ， + ∞)$ D、 $(1 ， + ∞)$

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4. 把函数 $y = f (x)$ 的图象上各点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的 $\frac{2}{3}$ 倍，所得图象的解析式是 $y = 2 s i n (\frac{1}{2} x + \frac{π}{3})$ ，则 $f (x)$ 的解析式是（　　）

A、 $f (x) = 3 c o s x$ B、 $f (x) = 3 s i n x$ C、 $f (x) = 3 c o s x + 3$ D、 $f (x) = s i n x$

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5. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，满足 $f (1 - x) = f (3 + x)$ ，若 $f (2) = 1$ ，则 $f (2) + f (4) + f (6) + f (8) + f (10) =$ （）

A、 $- 5$ B、1 C、5 D、 $- 1$

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6. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足：对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (- \infty ， 0] (x_{1} \neq x_{2})$ ，有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ 且 $f (2) = 0$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x - 2} < 0$ 的解集是（）．

A、 $(2 ， + ∞)$ B、 $(- 2 ， 0) \cup (0 ， 2)$ C、 $(- 2 ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2)$

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7. 若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + p x + q > 0$ 的解集为 $(- \infty ， - 1) \cup (2 ， + \infty)$ ，则不等式 $\frac{x^{2} + q x - 8}{x + p} > 0$ 的解集为（）．

A、 $(- 4 ， 1) ∪ (2 ， + \infty)$ B、 $(- 2 ， 1) ∪ (4 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 2) ∪ (1 ， 4)$ D、 $(- \infty ， - 4) ∪ (1 ， 2)$

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8. 奇函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + ∞)$ 上单调递增，且 $f (2) = 3$ ，则满足 $- 3 \leq f (1 - x) \leq 3$ 的x的取值范围是（）

A、 $[0 ， 2]$ B、 $[- 1 ， 3]$ C、 $[- 2 ， 0]$ D、 $[- 1 ， 5]$

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二、多选题（5分每题，共20分）

9. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的图象是连续不断的，且满足以下条件：
① $\forall x \in R$ ， $f (- x) = - f (x)$ ；② $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in [0 ， + \infty)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时， $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ .
则下列选项成立的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (- 1) < - f (3)$ C、若 $x f (x) < 0$ ，则 $x \in (0 ， + \infty)$ D、若 $f (m - 1) < 0$ ，则 $m \in (- \infty ， 1)$

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10. 已知 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ x \leq a}$ ，集合 $B = {x ∣ x < 1}$ ，则下列正确的是（）

A、若 $B \cup (∁_{U} A) = R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是 ${a ∣ a < 1}$ B、若 $B \cup (∁_{U} A) = R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是 ${a ∣ a \leq 1}$ C、若 $B ∩ (∁_{U} A) = \emptyset$ ，则实数 $a$ 的取值范围是 ${a ∣ a > 1}$ D、若 $B ∩ (∁_{U} A) = \emptyset$ ，则实数 $a$ 的取值范围是 ${a ∣ a \geq 1}$

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11. $x^{2} - b x + c < 0$ 的解集为 $(x_{0} ， x_{0} + 2)$ ，则（）

A、 $b^{2} = 4 c + 4$ B、若 $1 - b + c > 0$ ，则 $x_{0}^{2} < 1$ C、若 $x_{0} > 0$ ，则 $c x^{2} - b x + 1 < 0$ 的解集为 $(\frac{1}{x_{0} + 2} ， \frac{1}{x_{0}})$ D、 $b + c$ 有最小值为 $- \frac{9}{4}$

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12. 已知函数 $f (x) (x \in R)$ 满足当 $x > 0$ 时， $f (x) > 1$ ，且对任意实数 $x_{1} ， x_{2}$ 满足 $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) f (x_{2})$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时， $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 B、 $f (0) = 0$ 或1 C、函数 $f (x)$ 为非奇非偶函数 D、对任意实数 $x_{1} ， x_{2}$ 满足 $\frac{1}{2} [f (x_{1}) + f (x_{2})] \geq f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$

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三、填空题（（5分每题，共20分）

13. 已知 $a \in R$ ，若函数 $y = {\begin{array}{l} (3 a - 1) x + 2 a ， x > 1 \\ x^{3} ， x \leq 1 \end{array}$ 的值域为 $R$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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14. 已知 $f (a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}}) = \frac{a^{\frac{3}{2}} - a^{- \frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}}}$ ，则 $f (\frac{5}{2}) =$ ， $f (x) =$ ；

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15. 已知 $a > 0$ ，设函数 $f (x) = \frac{202 3^{x + 1} + 2019}{202 3^{x} + 1} + \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ 在 $x \in [- a ， a]$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $N$ ，那么 $M + N$ 的值为．

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16. 已知函数 $f (x) = l n (x + \sqrt{x^{2} + 1}) + 2^{x}$ ，若 $f (m^{2} + 5 m - 6) < 1$ ，则实数m的取值范围是.

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四、解答题（共6题，共70分）

17. 已知不等式 $x^{2} + a x + b < 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 2}$ ，设不等式 $a x^{2} + b x + 3 > 0$ 的解集为集合 $A$ .

(1)、求集合 $A$ ；

(2)、设全集为R，集合 $B = {x | x^{2} - m x + 2 < 0}$ ，若 $x ∈ A$ 是 $x ∈ B$ 成立的必要条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x)$ 对任意实数x，y恒有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ ，且 $f (1) = - 2$ ．

(1)、求 $f (0)$ 的值并判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断函数单调性，求 $f (x)$ 在区间 $[- 3 ， 3]$ 上的最大值；

(3)、若 $f (x) < m^{2} - 2 a m + 2$ 对所有的 $x \in [- 1 ， 1] ， a \in [- 1 ， 1]$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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19. 已知 $f (α) = \frac{s i n (- α - \frac{5 π}{2}) c o s (\frac{3 π}{2} + α) t a n^{2} (π - α)}{c o s (\frac{π}{2} - α) s i n (π + α)}$ ．

(1)、化简 $f (α)$ ，并求 $f (\frac{8 π}{3})$ 的值；

(2)、若 $f (α) = 2$ ，求 $s i n^{2} α - 3 s i n α c o s α + 1$ 的值．

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20. 如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 $A B C D$ 和 $E F G H$ 构成的面积为400m²的十字形地域.计划在正方形 $M N P Q$ 上建一座花坛，造价为8400元/m²；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为420元/m²；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元/m².设总造价为y（单位：元），AD长为x（单位：m）.

(1)、用x表示AM的长度，并求x的取值范围；

(2)、当x为何值时，y最小？并求出这个最小值.

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21. 中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设各，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产 $x$ 台，需另投入成本 $C (x)$ （万元），当年产量不足80台时， $C (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 40 x$ （万元）；当年产量不小于80台时， $C (x) = 101 x + \frac{8100}{x} - 2180$ （万元），若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．

(1)、求年利润 $y$ （万元）关于年产量 $x$ （台）的函数关系式；

(2)、年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？

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22. 已知函数 $f (x) = a^{x} + a^{- x} (a > 1)$ ，且 $f (1) = \frac{10}{3}$ .

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $y = l o g_{a} (\frac{m \cdot a^{x} - m}{f (x)})$ 的图象与直线 $y = x$ 有且只有一个交点，求实数 $m$ 的取值范围.

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