湖南省长沙市2024届高三上学期1月新高考适应性考试数学试卷

试卷更新日期：2024-03-08 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $M = {x | x < 1}$ ， $N = {x | x^{2} < 1}$ ，则（）

A、 $M = N$ B、 $M \subseteq N$ C、 $N \subseteq M$ D、 $M ∩ N = \emptyset$

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2. 复数 $z = \frac{i}{2 - i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 若抛物线 $y^{2} = a x$ 的焦点坐标为 $(1 ， 0)$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 4$ D、4

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4. 下图是函数 $y = A s i n (ω x + φ)$ 的部分图象，则该函数的解析式可以是（）

A、 $y = 2 s i n (\frac{1}{2} x + \frac{π}{3})$ B、 $y = 2 s i n (\frac{1}{2} x - \frac{π}{3})$ C、 $y = 2 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ D、 $y = 2 s i n (2 x - \frac{π}{3})$

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5. 已知甲盒中有3个红球和2个黄球，乙盒中有2个红球和1个黄球.现从甲盒中随机抽取1个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取1个球，此球恰为红球的概率是（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{9}{20}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{13}{20}$

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6. 若 $t a n 2 α + 4 t a n (α + \frac{π}{4}) = 0$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7. 已知直线 $y = a$ 与函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = l n x$ 的图象分别相交于 $A$ ， $B$ 两点.设 $k_{1}$ 为曲线 $y = f (x)$ 在点 $A$ 处切线的斜率， $k_{2}$ 为曲线 $y = g (x)$ 在点 $B$ 处切线的斜率，则 $k_{1} k_{2}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、1 C、 $e$ D、 $e^{c}$

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8. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A D$ ， $B C$ 的中点.若 $A B = 2$ ， $C D = 3$ ，且 $\vec{E F} \cdot \vec{A B} = 4$ ，则 $| \vec{E F} | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{42}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列函数中，是奇函数的是（）

A、 $y = e^{x} - e^{- x}$ B、 $y = x^{3} - x^{2}$ C、 $y = t a n 2 x$ D、 $y = l o g_{2} \frac{1 + x}{1 - x}$

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10. 某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为 $d_{1}$ ，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为 $d_{2}$ ，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（）

A、轨道的焦距为 $d_{2} + d_{1}$ B、轨道的离心率为 $\frac{d_{2} - d_{1}}{d_{2} + d_{1}}$ C、轨道的短轴长为 $2 \sqrt{d_{1} d_{2}}$ D、当 $\frac{d_{1}}{d_{2}}$ 越大时，轨道越扁

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11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 为线段 $B D_{1}$ 上的动点，直线 $m$ 为平面 $A_{1} D P$ 与平面 $B_{1} C P$ 的交线，则（）

A、存在点 $P$ ，使得 $B B_{1} / /$ 面 $A_{1} D P$ B、存在点 $P$ ，使得 $B_{1} P ⊥$ 面 $A_{1} D P$ C、当点 $P$ 不是 $B D_{1}$ 的中点时，都有 $m / /$ 面 $A_{1} B_{1} C D$ D、当点 $P$ 不是 $B D_{1}$ 的中点时，都有 $m ⊥$ 面 $A B D_{1}$

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12. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $T_{8} = T_{12}$ ，则 $a_{10} a_{11} = 1$ B、若 $T_{8} = T_{12}$ ，则 $T_{20} = 1$ C、若 $a_{1} = 1024$ ，且 $T_{10}$ 为数列 ${T_{n}}$ 的唯一最大项，则 ${(\frac{1}{2})}^{\frac{10}{9}} < q < \frac{1}{2}$ D、若 $a_{1} > 0$ ，且 $T_{10} > T_{11} > T_{9}$ ，则使得 $T_{n} > 1$ 成立的 $n$ 的最大值为20

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知随机变量 $X$ 的分布列如下：
$X$
1
2
3
$P$
0.1
0.7
0.2
则数学期望 $E (X) =$ .

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14. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的增函数，且 $f (2) = 1$ ，则不等式 $f (x) > 5 - 2 x$ 的解集为.

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15. 已知 $A (4 ， 1)$ ， $B (2 ， 2)$ ， $C (0 ， 3)$ ，若在圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ （ $r > 0$ ）上存在点 $P$ 满足 ${| P A |}^{2} + {| P B |}^{2} + {| P C |}^{2} = 13$ ，则实数 $r$ 的取值范围是.

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16. 已知正四棱锥 $P - A B C D$ 的顶点均在球 $O$ 的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球 $O$ 体积的最小值为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} - 3 a_{n} = 2 n - 1$ ，且 $a_{1} = 1$ .

(1)、证明：数列 ${a_{n} + n}$ 是等比数列：

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，将 $△ A B D$ 沿矩形的对角线 $B D$ 进行翻折，得到如图2所示的三棱锥 $A - B C D$ .
图1 图2

(1)、当 $A B ⊥ C D$ 时，求 $A C$ 的长；

(2)、当平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ 时，求平面 $A B C$ 和平面 $A C D$ 的夹角的余弦值.

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19. 某厂为了考察设备更新后的产品优质率，质检部门根据有放回简单随机抽样得到的样本测试数据，制作了如下列联表：
产品
优质品
非优质品
更新前
24
16
更新后
48
12
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (χ^{2} \geq x_{a})$
0.050
0.010
0.001
$x_{a}$
3.841
6.635
10.828

(1)、依据小概率值 $α = 0.050$ 的独立性检验，分析设备更新后能否提高产品优质率？

(2)、如果以这次测试中设备更新后的优质品频率作为更新后产品的优质率.质检部门再次从设备更新后的生产线中抽出5件产品进行核查，核查方案为：若这5件产品中至少有3件是优质品，则认为设备更新成功，提高了优质率；否则认为设备更新失败.
①求经核查认定设备更新失败的概率 $p$ ；
②根据 $p$ 的大小解释核查方案是否合理.

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20. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $s i n B + s i n C = 2 s i n A c o s B$ .

(1)、证明： $a^{2} - b^{2} = b c$ ；

(2)、如图，点 $D$ 在线段 $A B$ 的延长线上，且 $| A B | = 3$ ， $| B D | = 1$ ，当点 $C$ 运动时，探究 $| C D | - | C A |$ 是否为定值？

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21. 已知函数 $f (x) = a x l n x - x^{2} + 1$ .

(1)、若 $f (x)$ 有且仅有一个零点，求实数 $a$ 的取值范围：

(2)、证明： ${(l n 2)}^{2} + {(l n \frac{3}{2})}^{2} + {(l n \frac{4}{3})}^{2} + \cdot \cdot \cdot + {(l n \frac{n + 1}{n})}^{2} < 1$ .

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22. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 与直线 $l$ ： $y = k x + m$ （ $k \neq \pm \sqrt{3}$ ）有唯一的公共点 $P$ ，直线 $l$ 与双曲线的两条渐近线分别交于 $M$ ， $N$ 两点，其中点 $M$ ， $P$ 在第一象限.

(1)、探求参数 $k$ ， $m$ 满足的关系式；

(2)、若 $O$ 为坐标原点， $F$ 为双曲线的左焦点，证明： $∠ M F P = ∠ N F O$ .

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$P (χ^{2} \geq x_{a})$	0.050	0.010	0.001
$x_{a}$	3.841	6.635	10.828

$X$	1	2	3
$P$	0.1	0.7	0.2

产品	优质品	非优质品
更新前	24	16
更新后	48	12