湖南省邵阳市2024届高三上学期1月第一次联考（一模）数学试题

试卷更新日期：2024-03-08 类型：高考模拟

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = {x ∣ x = 3 n + 1 ， n \in N} ， B = {4 ， 5 ， 6 ， 7}$ ，则集合 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 若 $i (1 + z) = 1$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z + \bar{z} =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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3. 命题“ $\forall x \in R ， x^{2} - 2 x + 3 > 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \in R ， x^{2} - 2 x + 3 > 0$ B、 $\exists x \in R ， x^{2} - 2 x + 3 ⩽ 0$ C、 $\forall x \in R ， x^{2} - 2 x + 3 < 0$ D、 $\forall x \in R ， x^{2} - 2 x + 3 ⩾ 0$

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4. 若抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $M (3 ， m)$ 到焦点的距离是 $5 p$ ，则 $p$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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5. 城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届.假设在即将举办的第26届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节目.若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（）

A、110 B、144 C、132 D、156

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6. 已知向量 $\vec{a} = (t ， 2) ， \vec{b} = (2 ， - 1)$ .若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则实数 $t$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $- \frac{5}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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7. 在某次美术专业测试中，若甲､乙､丙三人获得优秀等级的概率分别是 $0.6 ， 0.7$ 和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲､乙､丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（）

A、 $\frac{15}{29}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{17}{29}$

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8. 已知 $a = 1 0^{l g 4} ， b = 9^{l g 5} ， c = 8^{l g 6}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

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二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 已知平面直角坐标系中， $M (- 2 ， 0) ， N (2 ， 0)$ ，动点 $P (x ， y)$ 满足 $| P M | = \sqrt{2} | P N |$ ，点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ，点 $P$ 到直线 $l ： x + y + 6 = 0$ 的距离的最小值为 $d$ ，下列结论正确的有（）

A、曲线 $C$ 的方程为 $(x - 6)^{2} + y^{2} = 32$ B、 $d = 2 \sqrt{2}$ C、曲线 $C$ 的方程为 $(x + 6)^{2} + y^{2} = 32$ D、 $d = \sqrt{2}$

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10. 下列命题中，说法正确的有（）

A、设随机变量 $X \sim B (10 ， \frac{1}{2})$ ，则 $D (X) = 5$ B、成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数 $r$ 越接近于1 C、决定系数 $R^{2}$ 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 D、基于小概率值 $α$ 的检验规则是：当 $χ^{2} ⩾ x_{α}$ 时，我们就推断 $H_{0}$ 不成立，即认为 $X$ 和 $Y$ 不独立，该推断犯错误的概率不超过 $α$ ；当 $χ^{2} < x_{α}$ 时，我们没有充分证据推断 $H_{0}$ 不成立，可以认为 $X$ 和 $Y$ 独立

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11. 已知函数 $f (x)$ 与其导函数 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f (x) - x$ 与 $g (1 - 2 x)$ 均为偶函数，则下列说法一定正确的有（）

A、 $f (x)$ 关于 $x = 1$ 对称 B、 $\frac{f (x)}{x}$ 关于点 $(0 ， 1)$ 对称 C、 $g (x + 2) + g (x) = 2$ D、 $f (0) = 1$

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12. 如图所示，四边形 $A B C D$ 是长方形， $A B = 3 ， B C = 4$ ，半圆面 $A P D ⊥$ 平面 $A B C D$ .点 $P$ 为半圆弧 $\overset{⌢}{A D}$ 上一动点（点 $P$ 不与点 $A ， D$ 重合）.下列说法正确的有（）

A、三棱锥 $P - A B D$ 的四个面都是直角三角形 B、三棱锥 $P - A B D$ 体积的最大值为4 C、异面直线 $P A$ 与 $B C$ 的距离的取值范围为 $[4 ， 5]$ D、当直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角最大时，平面 $P A B$ 截四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的截面面积为 $\frac{15 π}{4}$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $1$ ， $a_{n} a_{n + 1} = 3^{n} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{8} =$ .

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14. 已知 $(1 + x)^{8} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{8} x^{8}$ ，则 $2 a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} =$ .

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15. 已知 $\sqrt{3} s i n φ - \sqrt{3} c o s φ = 2 s i n α ， 3 s i n φ c o s φ = s i n^{2} β$ ，则 $4 c o s^{2} 2 α - c o s^{2} 2 β =$ .

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16. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点 $F_{1} ， F_{2}$ ，它们的离心率分别为 $e_{1} ， e_{2}$ ，点 $P$ 为它们的一个交点，且 $c o s ∠ F_{1} P F_{2} = - \frac{1}{4}$ .当 $3 e_{1}^{2} + e_{2}^{2}$ 取最小值时， $e_{1}^{2}$ 的值为.

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四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17. 甲､乙､丙三名同学准备参加本校知识竞赛，规定比赛成绩达到90分以上（含90分）获优秀等级.为预测他们的知识竞赛情况，收集了甲､乙､丙三人在学校的以往知识竞赛成绩，整理得到如下数据（单位：分）：
甲： $86 ， 87 ， 89 ， 92 ， 91 ， 89 ， 89 ， 95 ， 88 ， 94$ .
乙： $88 ， 89 ， 95 ， 94 ， 94 ， 88$ .
丙： $96 ， 93 ， 90 ， 89$ .
假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的知识竞赛成绩相互独立.

(1)、估计甲在本次知识竞赛中未获优秀等级的概率；

(2)、设 $X$ 表示甲､乙､丙三人在本次知识竞赛中获得优秀等级的总人数，估计 $X$ 的数学期望 $E X$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，向量 $\vec{m} = (c + b ， \sqrt{2} a - b)$ ，向量 $\vec{n} = (c - b ， \sqrt{2} a + b)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求证： $t a n B = 3 t a n A$ ；

(2)、延长 $B C$ 至点 $D$ ，使得 $| D A | = | D B |$ .当 $∠ D A C$ 最大时，求 $t a n D$ 的值.

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19. 如图所示，圆台的上､下底面圆半径分别为 $4 c m$ 和 $6 c m ， A A_{1} ， B B_{1}$ 为圆台的两条不同的母线.

(1)、求证： $A_{1} B_{1}$ $∥$ $A B$ ；

(2)、截面 $A B B_{1} A_{1}$ 与下底面所成的夹角大小为 $6 0^{∘}$ ，且截面截得圆台上底面圆的劣弧 $\overset{⌢}{A_{1} B_{1}}$ 的长度为 $\frac{8 π}{3}$ ，求截面 $A B B_{1} A_{1}$ 的面积.

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20. 已知递增的等差数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 满足： $a_{2} + a_{4} + a_{6} = 21 ， a_{1} ， a_{2} ， a_{5}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $b_{n} = \frac{S_{n}}{2^{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，左顶点到左焦点的距离为1.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、如图所示，点 $A$ 是椭圆 $C$ 的右顶点，过点 $(6 ， 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $E ， F$ ，且都在 $x$ 轴的上方，点 $P$ 的坐标为 $(\frac{2}{3} ， 0)$ .证明： $∠ A P E = ∠ O P F$ .

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22. 已知函数 $f (x) = 3 l n x + a x^{2} - 4 x + b (a > 0 ， b \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，方程 $f (x) = 0$ 有三个不相等的实数根，分别记为 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， 3)$ .
①求 $b$ 的取值范围；
②证明 $| x_{i} - x_{j} | < 4 (i = 1 ， 2 ， 3 ； j = 1 ， 2 ， 3)$ .

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