广西南宁市2023-2024学年高二上学期1月教学质量调研（期末）数学试题

试卷更新日期：2024-03-08 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 若直线过点 $(- 1 ， 2)$ ， $(2 ， 2 + \sqrt{3})$ ，则该直线的斜率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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2. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和， $a_{3} = 3$ ， $a_{7} = 15$ ，则 $S_{9}$ 的值为（）

A、48 B、56 C、81 D、100

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3. 已知方程 $\frac{x_{}^{2}}{2 + m_{}^{2}} - \frac{y_{}^{2}}{m + 1} = 1$ 表示双曲线，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m > - 1$ B、 $m > - 2$ C、 $- 2 < m < - 1$ D、 $m < - 2$ 或 $m > - 1$

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ ，则 $a_{2021} a_{2022} a_{2023} =$ （）

A、 $- 1$ B、2 C、12 D、33

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5. 如图，在四面体OABC中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ .点M在OA上，且 $O M = 2 M A$ ， $N$ 为BC中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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6. 在正项等比数列 ${a_{n}^{}}$ 中， $S_{n}^{}$ 为其前n项和，若 $S_{30} = 13 S_{10} ， S_{10} + S_{30} = 140$ ，则 $S_{20}^{}$ 的值为（）

A、10 B、18 C、36 D、40

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7. 已知点 $A (- 1 ， 1)$ 和圆 $C$ ： $(x - 5)^{2} + (y - 7)^{2} = 4 ，$ 一束光线从点 $A$ 经 $x$ 轴反射到圆 $C$ 上的最短路程是（）

A、 $6 \sqrt{2} - 2$ B、8 C、 $4 \sqrt{6}$ D、10

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8. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $A ， B$ 在 $C$ 上，四边形 $A F_{1} F_{2} B$ 是等腰梯形， $| A F_{1} | = | F_{1} F_{2} | ， ∠ B A F_{1} < \frac{π}{3}$ ，则 $C$ 的离心率 $e$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{3})$ B、 $(\frac{1}{3} ， \frac{\sqrt{3} - 1}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{3} - 1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，能作为空间的一个基底的一组向量有（）

A、 $\vec{A A_{1}}$ ， $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ B、 $\vec{B A}$ ， $\vec{B C}$ ， $\vec{B D}$ C、 $\vec{A C_{1}}$ ， $\vec{B D_{1}}$ ， $\vec{C B_{1}}$ D、 $\vec{A D_{1}}$ ， $\vec{B A_{1}}$ ， $\vec{A C}$

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10. 下列说法错误的有（）

A、若 $a b > 0$ ，则直线 $l ： a x + b y - 2 = 0$ 的斜率大于0 B、过点 $(2 ， - 1)$ 且斜率为 $- \sqrt{3}$ 的直线的点斜式方程为 $y + 1 = - \sqrt{3} (x - 2)$ C、斜率为 $- 2$ ，在y轴上的截距为3的直线方程为 $y = - 2 x \pm 3$ D、经过点 $(1 ， 1)$ 且在x轴和y轴上截距（截距均不为0）相等的直线方程为 $x + y - 1 = 0$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，下列说法正确的是（）

A、若 $S_{n} = 2 n^{2} + n + 1$ ，则 ${a_{n}^{}}$ 是等差数列 B、若 $S_{n} = 2^{n + 1} - 2$ ，则 ${a_{n}^{}}$ 是等比数列 C、若 ${a_{n}^{}}$ 是等差数列，则 $S_{13} = 13 a_{7}$ D、若 ${a_{n}^{}}$ 是等比数列，且 $a_{1} > 0 ， q > 0 ，$ 则 $S_{1} \cdot S_{3} > S_{2}^{2}$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $H$ 为棱 $A A_{1}$ （包含端点）上的动点，下列命题正确的是（）

A、二面角 $D_{1} - A B_{1} - C$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ B、 $C H ⊥ B D$ C、若 $O$ 在正方形 $D C C_{1} D_{1}$ 内部，且 $| O B | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则点 $O$ 的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{3}}{6} π$ D、若 $C H ⊥$ 平面 $β$ ，则直线 $C D$ 与平面 $β$ 所成角的正弦值的取值范围为 $[\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y = 0$ ，则圆 $C$ 的半径为．

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14. 已知 $A (1 ， 1 ， 1)$ ， $B (2 ， 3 ， 1)$ ， $C (3 ， 1 ， 3)$ ，则 $\vec{A B}$ 在 $\vec{A C}$ 上的投影向量的模为．

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15. 已知函数 $f (x) = a^{x - 2} + 1 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 过定点 $A$ ，直线 $k x - y + 2 k - 1 = 0$ 过定点 $B$ ，则 $| A B | =$ ．

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16. 记数列 ${a_{n}^{}}$ 的前 $n$ 项和为 $s_{n}^{}$ ，若 $a_{1} + \frac{a_{2}}{2} + \frac{a_{3}}{3} + ⋯ + \frac{a_{n}}{n} = n$ ，且 $\frac{S_{2}}{3} ， a_{k + 1} ， S_{k + 3}$ 是等比数列 ${b_{n}^{}}$ 的前三项，则 $b_{5}^{} =$ ．

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知等轴双曲线 $C$ 的对称轴都在坐标轴上，并且经过点 $A (3 ， - 1)$ ，求双曲线 $C$ 的标准方程、离心率、实轴长

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18. 已知等比数列 ${a_{n}^{}}$ 的各项均为正数，且 $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 39$ ， $a_{5} = 2 a_{4} + 3 a_{3}$ ．

(1)、求 ${a_{n}^{}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${b_{n}^{}}$ 满足 $b_{n} = n + a_{n}$ ，求 ${b_{n}^{}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 已知圆 $C ： (x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 16$ ．

(1)、已知直线l： $2 x - y + 4 = 0$ ，求该直线截得圆C的弦AB的长度；

(2)、若直线 $l_{1}$ 过点 $B (3 ， 4)$ 且与圆C相交于M ， N两点，求 $Δ C M N$ 的面积的最大值，并求此时直线 $l_{1}$ 的方程．

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20. 如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B$ ∥ $C D$ ， $∠ D A B = 9 0^{∘}$ ， $A D = D C = \frac{1}{2} A B$ ．以直线 $A B$ 为轴，将直角梯形 $A B C D$ 旋转得到直角梯形 $A B E F$ ，且 $A F ⊥ A D$ ．

(1)、求证： $D F$ ∥平面 $B C E$ ；

(2)、在线段 $D F$ 上是否存在点 $P$ ，使得直线 $A F$ 和平面 $B C P$ 所成角的正弦值为 $\frac{3 \sqrt{11}}{11}$ ?若存在，求出 $\frac{D P}{D F}$ 的值；若不存在，说明理由．

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P$ 到点 $(1 ， 0)$ 的距离与到直线 $x = - 1$ 的距离相等，记动点 $P$ 的轨迹为 $C$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与 $C$ 相交异于坐标原点的两点 $M ， N$ ，若 $O M ⊥ O N$ ，证明：直线 $l$ 恒过定点，并求出定点坐标．

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22. 如图，已知点M在圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 上运动， $M N ⊥ y$ 轴（垂足为N），点Q在NM的延长线上，且 $| Q N | = 2 | M N |$ ．

(1)、求动点Q的轨迹方程；

(2)、直线 $l$ ： $y = \frac{1}{2} x + m$ 与 $($ 1 $)$ 中动点Q的轨迹交于两个不同的点A和B ，圆 $O$ 上存在两点C、D ，满足 $| C A | = | C B |$ ， $| D A | = | D B |$ ，求 $m$ 的取值范围．

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广西南宁市2023-2024学年高二上学期1月教学质量调研（期末）数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．