广西南宁市2023-2024学年高一上学期1月教学质量调研（期末）数学试题

试卷更新日期：2024-03-08 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 ⩽ 0}$ ， $B = {- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 1 ⩽ x ⩽ 3}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ C、 ${- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 已知 $a ， b ， c$ 是实数，“ $a c^{2} > b c^{2}$ ”是“ $a > b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知命题“ $\forall x \in R$ ，使得 $x^{2} + x + 2 m > 0$ ”是真命题，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{8} ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{8} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{8}]$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{8})$

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4. 如图，在半径 $O A = 18 c m$ 的圆形金属板上截取一块扇形板 $A O B$ ，使其面积为 $54 π c m^{2}$ ，则圆心角 $∠ A O B$ 为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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5. 在平面直角坐标系中，已知角 $α$ 的顶点与坐标原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (- 3 ， \sqrt{3})$ ，下列结论错误的是（）

A、 $α = \frac{5 π}{6} + 5 k π (k \in Z)$ B、 $s i n α = \frac{1}{2}$ C、 $c o s α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $t a n α = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

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6. 已知函数 $f (x)$ 为奇函数，函数 $g (x)$ 为偶函数， $f (x) + g (x) = x^{2} - 3 x + 1$ ，则 $f (2) =$ （）

A、 $3$ B、 $- 3$ C、 $6$ D、 $- 6$

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7. 在同一平面直角坐标系中，指数函数 $y = {(\frac{a}{b})}^{x}$ ，二次函数 $y = a x^{2} - b x$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} l o g_{2} (x^{2} - 2 x - a) ， x ⩾ 0 ， \\ 3^{x} - a - 2 ， \begin{array}{l} \begin{array}{l} \end{array} \end{array} x < 0 \end{cases}$ 有 $3$ 个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(- 2 ， - 1]$ D、 $(- 2 ， - 1)$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得．

9. 已知 $c > a > b > 0$ ，则下列不等式中正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $a c > a^{2}$ C、 $\frac{a}{b} > \frac{a + c}{b + c}$ D、 $\frac{a}{c - a} > \frac{b}{c - b}$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{3^{x} - 1}{3^{x} + 1}$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ B、函数 $f (x)$ 的值域为 $(- 1 ， 1)$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 D、函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上单调递增

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11. 关于函数 $f (x) = l o g_{2} x - x + 2$ 的零点，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的零点个数为 $2$ B、函数 $f (x)$ 的零点是 $(4 ， 0)$ C、函数 $f (x)$ 在 $(\frac{1}{4} ， 1)$ 内不存在零点 D、用二分法求函数 $f (x)$ 在 $(\frac{1}{4} ， 1)$ 内的零点的近似值可取为 $0 . 3$ （结果精确到 $0 . 1$ ）

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 3 ， & x ⩽ 0 ， \\ | l g x | - 1 ， & x > 0 ， \end{array}$ 关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} - m f (x) + 1 = 0$ 有 $6$ 个不同的实数根，则下列选项正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的零点个数为 $1$ B、实数 $m$ 的取值范围为 $(2 ， \frac{10}{3}]$ C、函数 $f (x)$ 无最值 D、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知幂函数 $y = x^{α}$ 的图象过点 $(2 ， 8)$ ，则 $α =$ .

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14. 已知 $x > 3$ ，则函数 $y = x + \frac{1}{x - 3}$ 的最小值为.

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15. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式为.

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16. 已知 $f (x) = l o g_{2} (\sqrt{1 + x^{2}} - x)$ ，且满足 $f (a^{2} - 2 a + 1) > f (3 - a)$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 计算：

(1)、 $8^{\frac{2}{3}} + {(\frac{16}{81})}^{- \frac{3}{4}} + \sqrt[4]{{(3 - π)}^{4}} + {(e - 3)}^{0}$ (其中 $e \approx 2.71828$ )；

(2)、 $l g 2 + l g 5 + l o g_{4} 3 \cdot l o g_{3} 4$ ．

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18. 已知 $f (α) = \frac{s i n (- α) c o s^{2} (\frac{5 π}{2} - α) s i n (2 π - α)}{t a n (π - α) c o s (\frac{π}{2} + α) s i n (π + α)}$ ．

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $f (α) = \frac{1}{8}$ ，且 $\frac{3 π}{4} < α < π$ ，求 $s i n α + c o s α$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{3} (x^{2} - 4 x + 6)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域，写出函数 $f (x)$ 的单调区间（不必说明理由）；

(2)、当 $x \in [1 ， a]$ 时，函数 $f (x)$ 的值域为 $[l o g_{3} 2 ， 1]$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 某运输公司今年初用 $36$ 万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第 $1$ 年到第 $n$ 年 $(n \in N *)$ 花在该台运输车上的维护费用总计为 $(n^{2} + 2 n)$ 万元，该车每年运输收入为 $18$ 万元．

(1)、该运输车从第几年开始盈利（即总收入减去成本及所有维护费之差为正值）？

(2)、若该车运输若干年后，有以下两种处理方案，哪一种方案效益更高？请说明理由．
方案一：当年平均盈利达到最大值时，以 $16$ 万元的价格卖出该运输车；
方案二：当盈利总额达到最大值时，以 $12$ 万元的价格卖出该运输车．

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21. 超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，交管部门提醒广大驾驶人合理控制车速，提高安全意识。某公路局经多次实验得到一辆汽车的行车速度 $v$ （单位： $k m / h$ ）（ $0 ⩽ v ⩽ 128$ ）与停车距离 $d$ （单位： $m$ ）的下列数据：
$v$
$0$
$40$
$56$
$64$
$72$
$80$
$97$
$105$
$113$
$128$
$d$
$0$
$17.6$
$27.9$
$35.3$
$43.4$
$54.4$
$75.6$
$89.1$
$104.5$
$141.4$
为了描述速度与停车距离的关系，现有以下三种模型供选择：
① $d = a v^{2} + b v$ ， ② $d = a l o g_{2} v + b$ ， ③ $d = 0 . 5^{v} + b$ .

(1)、根据上表的数据信息，选出你认为最符合实际的函数模型（不必说明理由），并利用表中两组数据 $(40 ， 17.6)$ 和 $(80 ， 54.4)$ ，求出相应的解析式；

(2)、一辆汽车在公路上行驶，当驾驶员发现前方 $41 m$ 处设有路障，为保证安全，应在距离路障不小于 $1 m$ 处停车，设司机发现路障到踩刹车耽搁的时间忽略不计，则该车的最高行车速度 $v$ 不能超过多少？（结果精确到 $0.1 k m / h$ ）.

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (\frac{5 x + 4}{x + 1})$ ， $g (x) = x^{2} - 2 a x + a^{2} - 2$ .

(1)、当 $x \in [0 ， + \infty)$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、对于任意 $x_{1} \in [0 ， + \infty)$ ，总存在 $x_{2} \in [1 ， 2]$ ，使得 $f (x_{1}) > g (x_{2})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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$v$	$0$	$40$	$56$	$64$	$72$	$80$	$97$	$105$	$113$	$128$
$d$	$0$	$17.6$	$27.9$	$35.3$	$43.4$	$54.4$	$75.6$	$89.1$	$104.5$	$141.4$

广西南宁市2023-2024学年高一上学期1月教学质量调研（期末）数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得．