广东省佛山市高明区重点中学2023-2024学年高三上学期数学1月调研考试试卷

试卷更新日期：2024-03-08 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1. 已知全集U={a ， b ， c ， d ， e}，（∁_UM）∩P={a}，（∁_UP）∩M={b}，（∁_UM）∩（∁_UP）={c}，则（）

A、P={a} B、M={a ， c} C、P∩M={c ， d ， e} D、P∪M={a ， b ， d ， e}

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2. 在复数范围内解得方程x²＋4x＋5=0的两根为x₁ ， x₂ ，则|x₁－x₂|=（）

A、4 B、1 C、2 D、3

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3. 某同学经过研究发现 $y = \frac{1}{x}$ 的图象实际是一条双曲线，则该双曲线的焦距为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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4. 《易经》中的“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”充分体现了中国古典哲学与现代数学的关系，从数轴中的两个半轴（正半轴和负半轴），到平面直角坐标系中的四个象限，进而到空间直角坐标系中的八个卦限，是由简单到繁复的变化过程．已知平面向量的运算可推广到n（n≥3）维向量，用有序数组（x₁ ， x₂ ， …，x_n）表示n（n≥3）维向量，若n维向量 $\vec{a} = (- 1 ， 1 ， 1 ， \dots ， 1) ， \vec{b} = (1 ， 1 ， 1 ， \dots ， 1)$ ，则（）

A、 $| \vec{a} + \vec{b} | = n - 1$ B、 $\vec{a} · \vec{b} = n - 1$ C、 $c o s ⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ = \frac{n - 2}{n}$ D、存在λ∈R使得 $\vec{b} = λ \vec{a}$

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5. 将函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{2 ω}$ 个单位长度后，得到g（x）的图象，若函数g（x）在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递减，则ω的取值范围为（）

A、（0，3] B、（0，2] C、 $(0 ， \frac{4}{3}]$ D、 $(0 ， \frac{2}{3}]$

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6. $2 2^{22}$ 除以5的余数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 把边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角D^'－AC－B ，则三棱锥D^'－ABC外接球的球心到平面BCD^'的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 已知 $a = \frac{2}{7} ， b = l n 1.4 ， c = e^{0.2} - 1$ ，则（）

A、a<b<c B、c<a<b C、a<c<b D、c<b<a

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知m ， n ， l为空间中三条不同的直线，α ， β ， γ ， δ为空间中四个不同的平面，则下列说法中正确的是（）

A、若m⊥l ， n⊥l ，则m∥n B、已知α∩β=l ， β∩γ=m ， γ∩α=n ，若l∩m=P ，则P∈n C、若m⊥α ， m⊥β ， α∥γ ，则β∥γ D、若α⊥β ， γ⊥α ， δ⊥β ，则γ⊥δ

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10. 在声学中，音量被定义为 $L_{p} = 20 l g_{p_{0}}$ ，其中L_p是音量（单位为dB），p₀是基准声压，为2×10^－5Pa，p是实际声音压强．人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值．经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中240Hz对应的听觉下限阈值为20dB，1000Hz对应的听觉下限阈值为0dB，则下列结论正确的是（）

A、音量同为20dB的声音，1000～10000Hz的高频比30～100Hz的低频更容易被人们听到 B、听觉下限阈值随声音频率的增大而减小 C、240Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa D、240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍

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11. 已知一组2n（n∈N^*）个数据：a₁ ， a₂ ， …，a₂_n ，满足a₁≤a₂≤…≤a₂_n ，平均值为M ，中位数为N ，方差为s² ，则（）

A、a_n≤M≤a_n_＋1 B、a_n≤N≤a_n_＋1 C、函数 $f (x) = \sum_{i = 1}^{2 n} {(x - a_{i})}^{2}$ 的最小值为2ns² D、若a₁ ， a₂ ， …，a₂_n成等差数列，则M=N

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知等比数列{a_n}的前n项积为T_n ，若T₂=T₅=32，则T₆= ．

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13. 已知tanα=cosα ，则 $\frac{1}{1 - s i n α} - \frac{1}{s i n α} =$ ．

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14. 已知点F（2，0）为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>0，b>0）的右焦点，过点F的直线交椭圆于A ， B两点．若AB的中点坐标为 $(1 ， - \frac{1}{2})$ ，则C的离心率为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知△ABC的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， 2sinAsinBcosC=sin²C.

(1)、求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的值；

(2)、若c=2，求△ABC的面积S的最大值．

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16. 铅球起源于古代人类用石块猎取禽兽或防御攻击的活动．现代推铅球始于14世纪40年代欧洲炮兵闲暇期间推掷炮弹的游戏和比赛，后逐渐形成体育运动项目．男、女铅球分别于1896年、1948年被列为奥运会比赛项目．为了更好地在中小学生中推广推铅球这项体育运动，某教育局对该市管辖内的42所高中的所有高一男生进行了推铅球测试，测试结果表明所有高一男生的成绩X（单位：米）近似服从正态分布N（9，σ²），且 $P (X < 7.4) = \frac{1}{15} ， P (10 < X < 10.6) = \frac{1}{10}$ .

(1)、若从所有高一男生中随机挑选1人，求他的推铅球测试成绩在（8，10）范围内的概率；

(2)、从该市所有高一男生中随机挑选4人，记这4人中推铅球测试成绩在（8，10）范围内的人数为Y ，求Y的分布列和方差；

(3)、某高一男生进行推铅球训练，若推n（n为正整数）次铅球，期望至少有21次成绩在（8，10）范围内，请估计n的最小值．

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17. 如图1，在平面五边形ABCDE中，AD∥BC ， AD=2BC=4， $A B = \sqrt{6}$ ， ∠ABC=90°，△ADE是等边三角形．现将△ADE沿AD折起，记折后的点E为E^' ，连接E^'B ， E^'C ，得到四棱锥E^'－ABCD ，如图2.

(1)、证明：BC⊥CE^'；

(2)、若平面E^'CD⊥平面ABCD ，求二面角A－DE^'－B的余弦值．

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18. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₁=3，且S_n_＋1=2S_n＋n＋3.数列{b_n}满足b₁=1， $b_{n + 1} = (1 + \frac{2}{2 n - 1}) b_{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

(2)、将数列{b_n}中的项按从小到大的顺序依次插入数列{a_n}中，在任意的a_k ， a_k_＋1之间插入2k－1项，从而构成一个新数列{c_n}，求数列{c_n}的前100项和．

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19. 某学校有4000名学生，假设携带乙肝病毒的学生占m%，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验4000次．为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照k个人进行分组，将各组k个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人的血样再分别化验一次．假设每人的血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立．

(1)、若m=0.4，记每人血样化验的次数为X ，求当k取何值时，X的数学期望最小，并求化验总次数；

(2)、若m=0.8，设每人血样单独化验一次的费用为5元，k个人混合化验一次的费用为k＋4元．求当k取何值时，每人血样化验费用的数学期望最小，并求化验总费用．
参考数据及公式： $\sqrt{10} \approx 3.16 ， (1 + x)^{n} \approx 1 + n x$ （n∈N^* ， n≥2，|x|≤0.01）．

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