湖南省长沙市雅礼教育集团2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷

试卷更新日期：2024-03-08 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数 $z = - i (1 + 2 i)$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $- 2 - i$ D、 $- 2 + i$

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2. 若集合 $A = {x \in N | x^{2} + x - 2 \leq 0}$ ，则集合A的子集的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、8

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3. 设a ， b为两条直线，α ， β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）

A、若 $a$ $∥$ $α ， b \subset α$ ，则 $a$ $∥$ $b$ B、若 $a$ $∥$ $α ， b$ $∥$ $β ， α$ $∥$ $β$ ，则 $a$ $∥$ $b$ C、若 $a \subset α ， b \subset β ， a$ $∥$ $b$ ，则 $α$ $∥$ $β$ D、若 $a ⊄ α ， b \subset α ， a$ $∥$ $b$ ，则 $a$ $∥$ $α$

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4. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，其前n项之和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{8}}{8} - \frac{S_{6}}{6} = 2$ ，则 $S_{10} =$ （）.

A、10 B、100 C、110 D、120

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5. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠､牛､虎､兔､龙､蛇､马､羊､猴､鸡､狗､猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛､狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）

A、30种 B、50种 C、60种 D、90种

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6. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 9$ ，直线 $l ： m x + y - m - 2 = 0$ ， l与圆C相交于A､B两点，当弦长 $| A B |$ 最短时，直线l的方程为（）

A、 $y - 2 = 0$ B、 $2 x - y = 0$ C、 $x + 2 y - 5 = 0$ D、 $x - 1 = 0$

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7. 若 $a = \frac{1}{2} l n \frac{1}{2}$ ， $b = \frac{2}{3} l n \frac{2}{3}$ ， $c = - \frac{1}{e}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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8. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点，O为坐标原点，过左焦点 $F_{1}$ 作直线 $F_{1} P$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足 $\vec{O E} = \frac{1}{2} (\vec{O P} + \vec{O F_{1}})$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 某校1500名学生参加“校园安全”知识竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（）

A、频率分布直方图中a的值为0.005 B、估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75 C、估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80 D、估计总体中成绩落在 $[60 ， 70)$ 内的学生人数为225

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10. 已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(2 ， + \infty)$ 上单调递增 B、函数 $f (x)$ 在 $(1 ， 3)$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值 D、函数 $f (x)$ 有最大值

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11. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，下列命题正确的是（）

A、若 ${a_{n}}$ 为等差数列，则 $S_{n}$ ， $S_{2 n} - S_{n}$ ， $S_{3 n} - S_{2 n}$ 仍为等差数列 B、若 ${a_{n}}$ 为等比数列，则 $S_{n}$ ， $S_{2 n} - S_{n}$ ， $S_{3 n} - S_{2 n}$ 仍为等比数列 C、若 ${a_{n}}$ 为等差数列，则 ${a_{n} + a_{n + 1}}$ 为等差数列 D、若 ${a_{n}}$ 为正项等比数列，则 ${l g a_{n}}$ 为等差数列

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12. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F ，过F作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{1}$ 与C相交于P､Q ， $l_{2}$ 与C相交于M ， N ， $P Q$ 的中点为G ， $M N$ 的中点为H ，则（）

A、 $\frac{1}{| P F |} + \frac{1}{| Q F |} = 1$ B、 $\frac{1}{| P Q |} + \frac{1}{| M N |} = \frac{1}{2}$ C、 $| P Q | + | M N |$ 的最大值为16 D、当 $| G H |$ 最小时，直线 $G H$ 的斜率不存在

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 函数 $f (x) = \frac{s i n x}{e^{x}}$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为.

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14. 已知 $c o s (θ + \frac{π}{4}) = \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ ，则 $s i n 2 θ =$ .

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15. 某高中计划2024年寒假安排甲､乙､丙､丁､戊共5名学生志愿者到A､B､C三个社区协助反诈宣传工作，每个社区至少安排1名志愿者，每个志愿者只能安排到1个社区，则所有排法的总数为.

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16. 若函数 $f (x) = x^{2} e^{x} - \frac{1}{2} a x - a l n x$ 有2个零点，则实数a的取值范围是.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 设a为实数，函数 $f (x) = x^{3} - x^{2} - x + a$ .

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当a在什么范围内取值时，曲线 $y = f (x)$ 与x轴仅有一个交点？

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A D = 3$ ，点F是棱 $P D$ 的中点，点E是棱 $D C$ 上靠近点D的三等分点.

(1)、证明： $A F ⊥ E F$ ；

(2)、求点B到平面 $A E F$ 的距离.

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19. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别是a ， b ， c ，且 $b c o s A + \sqrt{3} b s i n A = a + c$ .

(1)、求B；

(2)、若 $△ A B C$ 的中线 $B D$ 长为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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20. 记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，对任意正整数n ，有 $2 S_{n} = n a_{n}$ ，且 $a_{2} = 3$ .

(1)、求 $a_{1}$ 和 $a_{3}$ 的值，并猜想 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明第（1）问猜想的通项公式；

(3)、设 $b_{n} = \frac{1 + a_{n}}{2^{n}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < 4$ .

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中､椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 0)$ 的左､右顶点为A ， B ，上顶点K满足 $\bar{A K} \cdot \bar{K B} = 3$ .

(1)、求C的标准方程；

(2)、过点 $(1 ， 0)$ 的直线与椭圆C交于M ， N两点.设直线 $M A$ 和直线 $N B$ 相交于点P ，直线 $N A$ 和直线 $M B$ 相交于点Q ，直线 $P Q$ 与x轴交于S.证明： $| S P | \cdot | S Q |$ 是定值.

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22. 已知函数 $f (x) = l n x + 2 a x$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (x) + 1 \leq x e^{3 x}$ 恒成立，求a的取值范围.

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