广西壮族自治区北海市2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试题

试卷更新日期：2024-03-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {1 ， 2 ， 4 ， 8}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2 ， 4 ， 8}$

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2. 命题“ $\forall x > 0$ ， $2 x^{2} + x > 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x > 0$ ， $2 x^{2} + x \leq 0$ B、 $\forall x < 0$ .， $2 x^{2} + x \leq 0$ C、 $\exists x > 0$ ， $2 x^{2} + x < 0$ D、 $\exists x > 0$ ， $2 x^{2} + x \leq 0$

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3. 如果你正在筹划一次聚会，想知道该准备多少瓶饮料，你最希望得到所有客人需要饮料数量的（）

A、四分位数 B、中位数 C、众数 D、均值

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4. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{x^{3}}$ 图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知偶函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + ∞)$ 上单调递增，且 $f (1) = 0$ ，则关于 $x$ 的不等式 $f (2^{x} - 3) < 0$ 的解集为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $(2 ， 4)$ D、 $(2 ， 3)$

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6. 已知 $f (x) = 2 a x - 1 + 3 a ， f (0) < f (1)$ 且在 $(1 ， 2)$ 内存在零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{5} ， \frac{1}{3})$ B、 $(\frac{1}{6} ， \frac{1}{4})$ C、 $(\frac{1}{7} ， \frac{1}{5})$ D、 $(\frac{1}{8} ， \frac{1}{6})$

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7. 已知 $a = 2^{- 0.1} ， b = l o g_{2} 3 ， c = l o g_{4} 10$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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8. 已知实数 $a > 2 ， b > 2$ ，则 $\frac{a + b - 2}{\sqrt{a - 2} + \sqrt{b - 2}}$ 的最小值是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 下列每组函数不是同一函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{2} - 9}{x + 3} ， g (x) = x - 3$ B、 $f (x) = \sqrt{x^{2}} ， g (x) = x$ C、 $f (x) = \sqrt{4 x^{2} - 1} ， g (x) = \sqrt{2 x - 1} \cdot \sqrt{2 x + 1}$ D、 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1 ， g (t) = 2 t^{3} + 3 t^{2} - 1$

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10. 今年“五一”假期，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动．在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，则（）

A、小王和小张都中奖的概率为0.08 B、小王和小张都没有中奖的概率为0.46 C、小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44 D、小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92

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11. 下列命题中正确的是（）

A、“ $m < 4$ ”是“ $m < 3$ ”的必要不充分条件 B、“ $x < 2$ 且 $y < 3$ ”是“ $x + y < 5$ ”的充分不必要条件 C、“ $a > 2$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{2}$ ”的充要条件 D、“ $a < b$ ”是“ $a c^{2} < b c^{2}$ ”的充要条件

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 | x | + 3 ， x \geq - 2 \\ - 2 x - 11 ， x < - 2 \end{array}$ 若互不相等的实数 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ 满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的值可以是（）

A、 $- 8$ B、 $- 7$ C、 $- 6$ D、 $- 5$

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三、填空题

13. 某高中共有学生1000人，其中高一和高二各有400人，现采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本，那么高二抽取的人数为.

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14. 某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润（单位：万元）分别为 $y_{1} = 5 x - \frac{1}{4} x^{2}$ ， $y_{2} = 3 x$ ，其中 $x$ 为销售量（单位：吨）．若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为万元.

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15. 从分别写有 $1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7$ 的7张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字大于第二卡片上的数字的概率为.

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16. 若函数 $f (x) = l o g_{a} (1 - a x)$ 在 $(- ∞ ， \frac{1}{4}]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 设集合 $U = {x ∣ x \leq 5} ， A = {x ∣ 1 \leq x \leq 2} ， B = {x ∣ - 1 \leq x \leq 4}$ .求：

(1)、 $A \cap B$ ；

(2)、 $(∁_{U} A) ∪ (∁_{U} B)$ .

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18. 计算：

(1)、 $l g 7 + 2 l g 2 + l g \frac{25}{7}$ ；

(2)、 ${(3 \frac{3}{8})}^{- \frac{1}{3}} + 1 6^{0.25} - (\sqrt{2} \div \sqrt[3]{3})^{6}$ .

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19. 已知函数 $f (x) = \log_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．

(1)、求关于 $x$ 的不等式 $f (1 - x) > f (x + 3)$ 的解集；

(2)、若函数 $g (x) = a^{x} + f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的最大值和最小值之和为 $a^{2} + a - 1$ ，求实数 $a$ 的值．

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20. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + \frac{5}{2} m - \frac{1}{2}) x^{4 m^{2} - m}$ 既不是奇函数，也不是偶函数.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = x - 2 a f (x) + \frac{1}{2} a - \frac{3}{2}$ 的最小值为 $- 3$ ，求实数 $a$ 的值.

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21. 居民小区物业服务联系着千家万户，关系着居民的“幸福指数”．某物业公司为了调查小区业主对物业服务的满意程度，以便更好地为业主服务，随机调查了100名业主，根据这100名业主对物业服务的满意程度给出评分，分成[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、在这100名业主中，求评分在区间[70，80）的人数与评分在区间[50，60）的人数之差；

(2)、估计业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和90%分位数；

(3)、若小区物业服务满意度（满意度＝ $\frac{满意度平均分}{100}$ ）低于0.8，则物业公司需要对物业服务人员进行再培训．请根据你所学的统计知识，结合满意度，判断物业公司是否需要对物业服务人员进行再培训，并说明理由．（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）

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22. 已知函数f（x）＝ $l o g_{2} {}_{(\sqrt{x^{2} + 1} + x + a)}$ 是定义在R上的奇函数．

(1)、求实数a的值；

(2)、证明：函数f（x）在R上单调递增；

(3)、记 $g (x) = f (x) + 2^{x} - 2^{- x}$ ，对 $\forall$ x∈R，不等式 $g (x^{2} + 3) + g (- m | x + 1 |) \geq 0$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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